ИЗГИБ
1. Внутренние силовые факторы
2. Напряжения при изгибе.
2.1. Напряжения при чистом изгибе.
2.2. Напряжения при поперечном изгибе.
3. Расчет на прочность
4. Косой изгиб
ИЗГИБ
1. Внутренние силовые факторы
При чистом изгибе в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если кроме того возникает поперечная сила, то такой изгиб называют поперечным. Брус, работающий на изгиб, называют балкой. Эпюру моментов в строительных подразделениях принято строить на растянутых волокнах. На рис. 3.1 показана консольно закрепленная балка. В заделке возникает реактивный момент MA=Ра.
Рис. 3.1
Правило знаков для поперечных сил показано на рис. 3.2 а.
а) б)
Рис. 3.2
Дифференциальные зависимости при изгибе. Выделим элемент балки длиной dx (рис. 3.2 б)
∑FYK: q dx= dQ
∑MC: Q dx+q dx2/2=dM
(3.1)
2. Напряжения при изгибе. Расчет на прочность
2.1. Напряжения при чистом изгибе.
Для балки, показанной на рис. 3.1 чистый изгиб реализуется на участке АВ.
При изгибе одна часть сечения, например нижняя (рис. 3.3), оказывается растянутой, а другая ─ сжатой. При определении напряженно- деформированного состояния используют гипотезу плоских сечений. Рассмотрим элемент балки длиной dx. Начальная длина волокна, имеющего координату y, которая отсчитывается от нейтральной оси, изменится на длину:
(aa1+bb1)= 2 aa1= ε dx,
где ε ─ линейная деформация.
Рис. 3.3
Причем aa1/ y= dx/2ρ = ε dx/2y,
где ρ ─ радиус кривизны оси балки.
Тогда ε = y/ ρ
Деформации ε распределены линейно по высоте сечения.
П
ри
линейной связи между напряжениями и
деформацией (см. закон Гука): σ=Eε
σ=E y/ρ= σmax y/ymax, (а)
здесь координата y отсчитывается от нейтральной линии (на нейтральной линии напряжения равны нулю), разделяющей области растяжения и сжатия.
Нормальная сила в сечении
N= ∫σ dA= E ∫ y dA/ρ= E SZ/ρ, SZ= ∫ y dA
где SZ ─ статический момент сечения.
N=0 при SZ= 0 (б)
Условие (б) соблюдается, если нейтральная линия (ось Z) проходит через центр тяжести сечения.
Изгибающий момент M (здесь и далее индекс Z опущен):
M= ∫ σ y dA = Е ∫ y2 dA / ρ = σmax J /ymax
J= ∫ y2 dA
г
де
J─
осевой момент инерции.
σmax= M ymax / J= M / W ; W= J/ ymax (3.2)
где W ─ осевой момент сопротивления.
σ= M y / J (3.3)
Изменение кривизны бруса происходит в плоскости момента, если она проходит через одну из главных осей инерции. Центробежный момент инерции относительно главных осей
JZY=∫ zy dA=0
Такой изгиб называют прямым.
2.2. Напряжения при поперечном изгибе
Для балки, показанной на рис. 3.1 чистый изгиб реализуется на участке ВС. Внутренние силовые факторы в сечениях балки показаны на рис. 3.4 а. Поперечные силы:
Q=∫τdA
В поперечных сечениях балки возникают касательные напряжения τ, и эти сечения не остаются плоскими, однако это искажение незначительно и им при определении нормальных напряжений пренебрегают, что дает возможность использовать полученные ранее соотношения для определения нормальных напряжений σ при чистом изгибе.
Распределение касательных напряжений определим из условия равновесия выделенного элемента балки (рис. 3.4 б, в).
а) б) в)
Рис. 3.4
При чистом изгибе нормальные напряжения в левом и правом сечении взаимно уравновешены, а при поперечном в правом сечении имеют место дополнительные напряжения и элементарные силы dσdА, которые суммируются, вследствие чего возникает дополнительная нормальная сила:
dN*=∫dσ dA*,
которая (см. рис. 3.4 в) уравновешиваются за счет касательных напряжений τ в горизонтальном сечении, площадь которого b dх:
dN*= τ b dх, (а)
где b ─ ширина балки в продольном сечении при y= y1.
Согласно (3.3):
dσ= dМ y / J и dN*= dМ ∫ y dA*/ J (б)
Тогда τ b dх= dМ S*/ J
здесь S*= ∫ y dA* ─ статический момент отсеченной части сечения.
(3.4)
Для прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h: dA=b dy, осевой момент инерции:
(3.5)
Осевой момент сопротивления:
(3.6)
Нормальные напряжения:
Максимальные напряжения растяжения и сжатия в точках наиболее удаленных от нейтральной линии:
(3.7)
В этих точках касательные напряжения равны нулю. Статический момент отсеченной части сечения:
Касательные напряжения (рис. 3.5):
Максимальное значение τ ─ на нейтральной линии:
Для круглого поперечного сечения
J=πD4/64; W=πD3/32.