задачник по математике Белый / ГЛАВА_6_A5_2004
.docГЛАВА 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§1.Область определения. Предел функции. Непрерывность.
В задачах 6.1-6.17 найти и изобразить графически область определения следующих функций:
6.1 6.2
6.3 6.4
6.5 6.6
6.7 6.8
6.9 6.10
6.11 6.12
6.13 6.14
6.15 6.16 6.17 6.18
6.19. Построить линии уровня следующих функций:
а) ; б) ; в) ; г) .
6.20 Найти следующие двойные пределы:
а) б)
в) г)
6.21 Найти точки разрыва следующих функций:
а) ; б) ;
в) ; г) .
§2. Частные производные
В задачах 6.22-6.32 найти частные производные от следующих функций:
6.22 6.23
6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29 6.30 6.31 6.32
В задачах 6.33-6.34 найти частные производные от следующих функций:
6.33 6.34
6.35 Проверить равенство , если
а) ; б) .
6.36 Проверить равенство , если
В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:
6.37 , если 6.38 , если
6.39 , если
6.40, если
§3 Дифференциал.
В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:
6.41 6.42
6.43 6.44
6.45 6.46
6.47 Найти значение полного дифференциала функции при
6.48 Найти значение полного дифференциала функции при
6.49 Вычислить приближенно:
а) б) в) г) д) е)
ж) з)
6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами и , если первая сторона увеличится на , а вторая сторона уменьшится на ?
6.51 Центральный угол сектора увеличился на . На сколько следует приближённо уменьшить радиус сектора , чтобы площадь сектора осталась без изменения?
6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если увеличится на , увеличится на , уменьшится на .
6.53 Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R=2,5 м, высоту Н=4м и толщину стенок l=1дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.
6.54 В усеченном конусе радиусы оснований R=20 см, r=10 см и высота h=30 см. Как приближенно изменится объем конуса , если R увеличить на 2мм, r увеличить на 3мм, а h уменьшить на 1 мм?
6.55 Найти в указанной точке второй дифференциал функций:
а) б)
§4. Дифференцирование сложных и неявных функций.
Производная по направлению и градиент.
6.56 Найти если
а) , где
б) , где
в) , где
г) , где
6.57 Найти , если
а) , где
б) , где
6.58 Найти и , если
а) , где
б) , где
в) , где
г) , где
6.59 Найти и , если
а) где
б) где
6.60 Найти , если
а) где
б) где
6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям: а) , .
б) ,
в) , .
г) , .
6.62 Предполагая, что произвольная функция дифферен-цируема достаточное число раз, проверить следующие равенства:
а) , если .
б) , если .
в) , если .
г) , если .
6.63 Найти производную для функций , заданных неявно:
а) б)
в) г)
д) е)
6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:
а) если ;
б) если .
6.65 Найти частные производные для функций заданных неявно:
а) б)
в) г)
6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке , если:
а)
б)
6.67 Найти дифференциал и производную функции заданной неявно, если:
а) ; б) ;
в) ; г)
6.68 Найти производную по направлению вектора , градиент и его величину || в заданной точке для следующих функций:
а) , ,
б) , ,
в) , ,
г) , ,
6.69 Найти угол между градиентами функции в точках и .
6.70 Найти угол между градиентами функций и в точке .
6.71 Найти в точке , если:
а) , ; б) , .
§5. Некоторые приложения частных производных.
6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:
а) б)
в)
г)
6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:
а)
б) в)
г)
6.74 Для поверхности найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости
6.75 Для поверхности найти уравнение нормали, параллельной прямой
6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:
а) ; б) ;
в) ; г) .
6.77. Найти частные эластичности и функций в указанных точках :
а) , ; б) , .
6.78 Найти а) среднюю и предельную производительности труда; б) среднюю и предельную фондоотдачу; в) эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция , где - объём выпускаемой продукции, - объём производственных фондов, - объём трудовых ресурсов, имеет вид: 1) , , .
2) , , .
§6 Формула Тейлора.
6.79 Разложить по формуле Тейлора следующие функции в окрестности указанных точек:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
6.80 Выписать члены до второго порядка включительно формулы Тейлора для функции в окрестности заданной точки:
а) б)
в)
6.81 Разложить функции по формуле Маклорена до членов третьего порядка включительно:
а) б)
§7 Экстремумы функций нескольких переменных
В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:
6.82 6.83 6.84 6.85
6.86 6.87
6.88 (x>0,y>0) 6.89
6.90 6.91
6.92 6.93
6.94 6.95
6.96
6.97
6.98
6.99 6.100
В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:
6.101 при
6.102 при
6.103 при
6.104 при