7.82 А); б); в).

7.83 а); б); в).

7.84 а); б); в).

7.85 а); б); в).

7.86 а); б); в).

7.87 а); б); в).

7.88 а); б); в).

7.89 ; 7.90.

Интегралы вида , где-рациональная функция относительно аргументови, приводятся к интегралам вида, где-рациональная функция относительно аргумента, с помощьюуниверсальной тригонометрической подстановки . При этом используются формулы:,,.

Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:

1) , если, при этом:,;

2) , если, при этом:,;

3) , еслиили, при этом:,,;

4) , если, при этом. Здесь- рациональная функция относительно аргументов,.

Интегралы вида , где,- целые неотрицательные числа, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул:,.

Интегралы вида ,, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию по формулам:

;

;

.

В задачах 7.91-7.118 найти следующие интегралы от тригонометрических функций:

7.91. 7.92. 7.93.

7.94. 7.95. 7.96.

7.97. 7.98. 7.99.

7.100. 7.101. 7.102.

7.103 . 7.104.

7.105. 7.106. 7.107.

7.108. 7.109. 7.110.

7.111. 7.112. 7.113.

7.114. 7.115. 7.116.

7.117. 7.118.

Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:

; ;;.

В задачах 7.119-7.130 найти следующие интегралы от гиперболических функций:

7.119. 7.120. 7.121. 7.122. 7.123. 7.124.

7.125. 7.126. 7.127.

7.128 . 7.129. 7.130.

Интегралы вида , где-рациональная функция своих аргументов,-целые числа, вычисляются с помощью подстановки, где- наименьший общий знаменатель дробей.

Вычисление интегралов вида , где-рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трёхчленеи заменой, сводится к вычислению интегралов вида:

1) ; 2); 3),где - рациональная функция своих аргументов.

Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:

1)или ;

2) или ;

3) или

приводятся к интегралам вида или, где- рациональная функция своих аргументов

В задачах 7.131-7.140 найти следующие интегралы от иррациональных функций:

7.131 а) ; б); в).

7.132 а); б); в).

7.133 а); б); в).

7.134а); б);в)

7.135 а); б); в).

7.136. 7.137. 7.138

7.139 . 7.140.

1.3 Смешанные задачи на интегрирование.

В задачах 7.141-7.180 найти следующие интегралы:

7.141 . 7.142. 7.143.

7.144. 7.145. 7.146.

7.147. 7.148. 7.149. 7.150. 7.151. 7.152.

7.153. 7.154. 7.155.

7.156. 7.157. 7.158

7.159. 7.160. 7.161. 7.162. 7.1637.164. 7.165. 7.166. 7.167. 7.168. 7.169. 7.1707.171. 7.1727.173. 7.174. 7.175.

7.176. 7.177.

7.178. 7.179. 7.180.

§2.Определённый интеграл и методы его вычисления.

К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми ,,и кривой. Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше осиберётся со знаком «+», и ниже её – со знаком «» и называетсяопределённым интегралом от функции на отрезке. Определённый интеграл обозначается, где числа,называютсянижним и верхним пределами интегрирования.

Функция , для которой на отрезкесуществует определённый интеграл, называетсяинтегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезкеявляется её непрерывность на данном отрезке.

Если функция интегрируема на, то, по определению, полагают

, .