- •1.1.Основные методы вычисления неопределённого интеграла.
- •7.12 А); б); в).
- •7.51 А); б).
- •7.82 А); б); в).
- •7.91. 7.92. 7.93.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •7.198 А); б); в).
- •7.205 . 7.206. 7.207.
- •7.220 . 7.2217.222.
- •7.246 А) ;
- •7.247 А) ;
- •7.248 А) ;
- •7.249 А) ;
- •4.2 Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики, физики и экономики.
7.205 . 7.206. 7.207.
7.208 . 7.209. 7.210.
7.211 . 7.212. 7.213.
В задачах 7.214-7.219, используя признаки сходимости, исследовать сходимость следующих интегралов:
7.214. 7.215. 7.216.
7.217 7.2187.219.
3.2. Интегралы от неограниченных функций.
Если функция интегрируема прии, тонесобственным интегралом второго рода от функции на отрезкеназываетсяи обозначается, т.е.. Аналогично, в случаеи:.
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Признаки сходимости и расходимости.
1. Пусть при ,,. Тогда, еслисходится, то сходится и, еслирасходится, то расходится и.
2. Если и, т.е.~при, то:1) при сходится;2) при расходится.
Аналогично устанавливаются признаки сходимости и расходимости при,,.
В задачах 7.220-7.228 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).
7.220 . 7.2217.222.
7.223. 7.224. 7.225.
7.226. 7.227. 7.228.
В задачах 7.229-7.234, используя признаки сходимости, исследовать сходимость следующих интегралов:
7.229 . 7.230. 7.231.
7.232 . 7.233. 7.234.
§4.Некоторые приложения определенного интеграла.
4.1. Геометрические приложения определённого интеграла.
Площадь фигуры ,равна
.
Площадь фигуры ,равна
.
Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями ,, прямыми,и осью, то её площадь равна, гдеиопределяются из уравнений,(на отрезке).
Площадь криволинейного сектора ,, где- полярные координаты, равна.
В задачах 7.235-7.238 вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в прямоугольных координатах:
7.235 а) ,; б),;
в) ,.
7.236 а),; б),;в),,,.
7.237 а) ,,;
б) ,; в),,,,.
7.238 а) ,; б),;
в) ,,.
7.239 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , касательной к ней в точкеи осями координат.
В задачах 7.240-7.243 вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями: а) заданными параметрически;
б) заданными в полярных координатах.
7.240 а) (астроида);
б) ,(окружности).
7.241 а) (эллипс) и ;
б) (трилистник) .
7.242 а)(циклоида) и ;
б) (кардиоида)
7.243 а) (кардиоида);
б) (лемниската).
7.244 Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой и окружностью).
7.245 Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью и кардиоидой(вне кардиоиды).
Длина дуги плоской кривой ,равна
Длина дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями ,,, равна.
Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями ,,,, равна:
.
Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением ,, равна.
В задачах 7.246-7.249 найти длины дуг следующих кривых:
7.246 А) ;
б) (астроида);
в) (кардиоида).
7.247 А) ;
б)
в) (окружность).
7.248 А) ;
б) (циклоида)
в) (спираль Архимеда).