задачник по математике Белый_1 / ГЛАВА_7_А5_2004(продолжение)

§2.Определённый интеграл и методы его вычисления.

7.181 Используя теорему об оценке определённого интеграла, оценить следующие интегралы:

а) ; б); в)

7.182 Не вычисляя интегралов, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или

7.183 Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:

а) на ; б) на ;

в) на ; г) на .

7.184 Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам:

а) ; б)

7.185 Можно ли в интеграле положить .

7.186 Доказать, что для непрерывной на отрезке функции имеем: 1), если - нечётная функция;

2), если - чётная функция.

7.187 Доказать, что если -непрерывная периодическая функция, определённая при и имеющая период , то , где - любое число.

7.188 Доказать справедливость следующих равенств:

1); 2);

3); 4) .

7.189 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

В задачах 7.190-7.204 вычислить следующие интегралы:

7.190 а) б) в)

7.191 а) б) в)

7.192 а) б) в)

7.193 а) б) в)

7.194 а) б) в)

7.195 а) б) в)

7.196 а) б) в)

7.197 а) б) в)

7.198 а) б) в)

7.199 а) б) в)

7.200 а) б) в)

7.201 а) б) в)

7.202 а) б) в)

7.203 а) б) в)

7.204 а) б) в)

§ 3. Несобственные интегралы.

3.1 Интегралы с бесконечными пределами.

В задачах 7.205-7.213 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

7.205 7.206 7.207

7.208 7.209 7.210

7.211 7.212 7.213

В задачах 7.214-7.219, используя признаки сравнения, исследовать сходимость следующих интегралов:

7.214 7.215 7.216

7.217 7.218 7.219

3.2. Интегралы от неограниченных функций.

В задачах 7.220-7.228 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

7.220 7.221 7.222

7.223 7.224 7.225

7.226 7.227 7.228

В задачах 7.229-7.234, используя признаки сравнения, исследовать сходимость следующих интегралов:

7.229 7.230 7.231

7.232 7.233 7.234

§4.Некоторые приложения определенного интеграла.

4.1. Геометрические приложения определённого интеграла.

В задачах 7.235-7.238 вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями, заданными в прямоугольных координатах:

7.235 а) , ; б) , ;

в) ,

7.236 а), ; б), ; в) , , ,

7.237 а) , , ;

б) ,; в) , , , , .

7.238 а) , ; б) ,;

в) , , .

7.239 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , касательной к ней в точке и осями координат .

В задачах 7.240-7.243 вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями: а) заданными параметрически;

б) заданными в полярных координатах.

7.240 а) (астроида);

б) , (окружности).

7.241 а) (эллипс) и ;

б) (трилистник) .

7.242 а) (циклоида)

и ;

б) (кардиоида)

7.243 а) (кардиоида);

б) (лемниската).

7.244 Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой и окружностью ).

7.245 Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью и кардиоидой (вне кардиоиды).

В задачах 7.246-7.249 найти длины дуг следующих кривых:

7.246 а) ;

б) (астроида);

в) (кардиоида).

7.247 а) ;

б)

в) (окружность).

7.248 а) ;

б) (циклоида)

в) (спираль Архимеда).

7.249 а) ;

б) ;

в) (гиперболическая спираль) .

7.250 На циклоиде найти точку , которая делит длину первой арки циклоиды в отношении , считая от начала координат.

В задачах 7.251-7.253 найти площади поверхностей, образованных вращением кривых вокруг указанной оси.

7.251 а) , вокруг оси ;

б) (циклоида) вокруг оси ;

в) (кардиоида) вокруг полярной оси.

7.252 а) , вокруг оси ;

б) (эвольвента окружности)

вокруг оси ;

в) (окружность) вокруг полярной оси.

7.253 а) , вокруг оси ;

б) вокруг оси ;

в) (окружность) вокруг полярной оси.

7.254 Вычислить объёмы тел, ограниченных следующими поверхностями:

а) , ; б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

В задачах 7.255-7.260 вычислить объемы тел, полученных вращением плоской фигуры Ф , ограниченной указанными линиями вокруг: а) оси ; б) оси .

7.255 Ф: .

7.256 Ф: . 7.257 Ф: .

7.258 Ф: .

7.259 Ф:

7.260 Ф: , (циклоида).

7.261 Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ,,, .

7.262 Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием и высотой вокруг высоты.

4.2 Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики, физики и экономики.

7.263 Найти статический момент синусоиды относительно оси Ох.

7.264 Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох дуги кривой .

7.265 Найти статический момент и момент инерции полуокружности радиуса а относительно ее диаметра.

7.266 Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох одной арки циклоиды .

7.267 Найти координаты центра масс дуги окружности , расположенной в первой четверти.

7.268 Найти координаты центра масс дуги астроиды , расположенной выше оси Ох.

7.269 Найти массу стержня длины , если линейная плотность стержня меняется по закону (кг/м³) , где - расстояние от одного из концов стержня.

7.270 Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/сек). Найти путь , пройденный телом за от начала движения.

7.271 Вычислить путь, пройденный свободно падающим в пустоте телом за , если известно, что скорость свободного падения в пустоте определяется формулой , где - начальная скорость тела, - ускорение свободного падения.

7.272 Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью , без учета сопротивления воздуха равна , где t- протекшее время, g- ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту поднимется тело?

7.273 Какую работу надо затратить (в ), чтобы растянуть пружину на , если сила в растягивает её на (Указание: по закону Гука сила прямо пропорциональна растяжению пружины).

7.274 Сила тока, измеряемая в амперах, определяется формулой . Найти количество электричества (в кулонах), протекшее через поперечное сечение проводника за , считая время от начала опыта.

7.275 Найти количество тепла , выделяемое переменным током в течение периода в проводнике с сопротивлением (Указание: по закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяемой постоянным током за время , равно ).