2. Основная часть

2.1. Краткая теоретическая справка

Выборочное распределение среднего значения А при неиз­вестной дисперсии имеет распределение Стьюдента:

Р{[А - t_Рn* S(А)] <m_х<[А + t_Рn* S (А)]}.

Доверительный интервал определяется через квантиль Стью­дента (см. таблицу) от - t_Рn* S(А) до + t_Рn* S(А).

Коэффициенты Стьюдента

n -1	P = 0,95	P = 0,99	n - 1	P = 0,95	P = 0,99
3 4 5 6 7 8 10 12 14	3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,228 2,179 2,145	5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,169 3,055 2,977	16 18 20 22 24 26 28 30 ∞	2,120 2,101 2,086 2,074 2,064 2,056 2,048 2,043 1,960	2,921 2,878 2,845 2,819 2,797 2,779 2,763 2,750 2,576

Этот интер­вал будет шире и при увеличении числа измерений п прибли­жается к интервалу, рассчитанному через квантиль Лапласа z. В этом случае доверительный интервал будет

А ± t_Рn* S(А)

где S(А) = √∑(xi – А)²/n(n – 1)

Определение доверительного интервала для выборочной дисперсии и среднеквадратического отклонения результатов измерений.

Случайная величина х имеет нормальное распределение со средним значением т_х и дисперсией σх² . Оценка дисперсии выборки объема п независимых значений случайной величины х:

S² = ∑(xi – А)²/(n – 1)

Отношение k* S²/ σх² = χ²

имеет χ² (хи-квадрат) распределе­ние Пирсона с к = п - 1 степенями свободы.

Пользуясь χ² (см. таблицу), можно найти границы довери­тельного интервала для оценки дисперсии результатов измерений при заданной доверительной вероятности Р = 1 - q, где q — уро­вень значимости.

Квантиль χ² - распределения при различных k,q

K	1 – q/2			q/2
	0,99	0,95	0,90	0,10	0,05	0,01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 30	0,0000157 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,571 4,660 5,812 7.015 8,260 14,953	0,000393 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 5,226 6,571 7,962 9,390 10,851 18,493	0,0158 0,211 0,584 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 6,304 7,790 9,312 10,865 12,444 20,599	2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017 13,362 14,684 15,987 18,549 21,064 23,542 25,989 28,412 40,256	3,841 5,991 7.815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 21,026 23,685 26,296 28,869 31,410 43,773	6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,309 26,217 29,141 32,000 34,805 37,566 50,892

Этот интервал строится таким образом, чтобы вероятность выхода дисперсии за его границы не превышала не­которой малой величины q, причем вероятности выхода за обе границы интервала равны между собой и составляют q/2, Грани­цы χ²| доверительного интервала находятся как

Р{ χ²k;q/2 < χ² < χ²k;1 – q/2} = 1 - q

Зная границы доверительного интервала для верительный интервал для χ² , построим доверительных интервал для дисперсии

Р{(n – 1)S²/ χ²k;q/2 < σх² < (n – 1)S²/ χ²k;1 – q/2} = 1 - q

Полученное выражение означает, что с вероятностью P = 1 - q истинное значение σх² дисперсии резуль­татов измерений лежит в интервале (S1; S2), границы которого

S1 = (n – 1)S²/ χ²k;q/2; S2 = (n – 1)S²/ χ²k;1 – q/2