3. Матричная форма расчёта шарнирно-консольных балок

Матрицы используются для определения усилий в сложных системах, нахождения перемещений и, в частности, для отыскания усилий по линиям влияния и единичным эпюрам от системы сосредоточенных грузов.

Матрицей А называется упорядоченная таблица чисел, элементов a i j размерностью из m строк и n столбцов (). Если m = n, то матрица – квадратная.

Матрица в виде одного столбца n =1 – матрица-столбец.

При m =1 имеем матрицу-строку.

Матрицей влияния усилия L называют таблицы, составленные в определённом порядке из ординат линий влияния или единичных эпюр усилия.

Квадратная матрица Lm, размером , элементами которой являются изгибающие моменты, называетсяматрицей влияния момента.

Прямоугольная матрица L_Q, размером , элементами которой являются поперечные силы, называетсяматрицей влияния поперечных сил. Здесь , m – количество расчётных сечений.

В матричных расчётах нагрузку и эпюры удобно изображать в виде столбцов чисел.

Векторы внутренних усилий M и Q формируются через вектор внешней нагрузки F и матрицу влияния L.

Матрицы влияния можно формировать по столбцам и строкам.

3.1. Формирование матриц влияния по столбцам

Порядок формирования матриц влияния изгибающих моментов Lm и поперечных сил L_Q по столбцам, то есть с использованием единичных эпюр изгибающих моментов М и поперечных сил Q:

• нумеруются сечения в узловых точках 1, 2, 3, ..., m и в середине выделенных участков 1, 2, ..., ;

• в каждое расчётное сечение или узел поочерёдно перемещается груз F=1 и строятся единичные эпюры M и Q (рис. 3.1),

• формируются матрицы влияния Lm и L_Qс единичных эпюр М и Q.

Для матрицы влияния моментов Lm количество строк равно количеству сечений m, а количество столбцов числу единичных эпюр изгибающих моментов М.

Рис. 3.1. Единичные эпюры М и Q в простой и консольной балках

Для матрицы влияния поперечных сил L_Q количество строк равно количеству сечений , а количество столбцов – числу единичных эпюр поперечных силQ.

В каждом сечении m, проставляются значения с соответствующих эпюр с учётом знака.

3.2. Формирование матриц по строкам

Порядок формирования матриц влияния Lm и L_Q по строкам, то есть с использованием линий влияния усилий М и Q:

• нумеруются расчётные сечения 1, 2, ..., m и сечения в середине расчётных участков 1, 2, ..., ;

• строятся лв M для сечений 1, 2, ..., m;

• строятся лв Q для сечений 1, 2, ..., ;

• формируются матрицы влияния Lm и L_Q с линий влияния изгибающих моментов М и поперечных сил Q.

Для матрицы влияния моментов Lm количество строк равно числу линий влияния М, а количество столбцов – числу расчётных сечений m; для матрицы влияния поперечных сил Lq количество строк равно числу линий влияния Q , а количество столбцов – числу расчётных сечений m.

В каждом сечении m проставляются значения ординат с соответствующих линий влияния усилий с учётом знака.

4. Пример составления и применения матриц влияния для многопролётных статически определимых балок

Для многопролётной шарнирной балки требуется:

• вычертить в масштабе схему балки и указать размеры пролётов в метрах;

• проверить геометрическую неизменяемость системы;

• заменить распределённую нагрузку силами, сосредоточенными в уздах деления балки на участки, составить вектор нагрузки;

• составить матрицы влияния моментов и поперечных сил, используя единичные эпюры;

• получить с помощью матриц влияния векторы изгибающих моментов и поперечных сил;

• построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от заданной нагрузки;

• с помощью матрицы влияния построить линию влияния изгибающего момента в сечении m;

– загрузить линии влияния R_n, M_K, Q_K1 заданной постоянной нагрузкой и сравнить полученные значения R, M, Q с ординатами эпюр;

• составить вектор нагрузки, матрицы влияния моментов L_m и поперечных сил L_Q, используя линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил;

• получить с помощью матриц влияния векторы изгибающих моментов М и поперечных сил Q, построить эпюры M_F и Q_F и сравнить с аналитическим расчётом;

• загрузить линии влияния M_K подвижной нагрузкой НК-80 и определить экстремальное значение М;

• определить наибольшее значение М по линиям влияния, используя таблицы эквивалентных нагрузок.

Схема шарнирно-консольной балки и исходные данные приведены на рис. 5.1.

Дано:

d = 4м, L = 3м,

L₁ = 12м,

F = 8кн, n = 3

q = 3кн/м.

Рис. 5.1 Схема многопролётной балки