Данные о производстве рабочими продукции за смену

Количество произведенной рабочими продукции за смену, шт., x	Число рабочих, чел., fi	Середина интервала, шт., хi
3 — 5	10	4
5 — 7	30	6
7 — 9	40	8
9 — 11	15	10
11 — 13	5	12
Итого	100	-

Определим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала "от - до". Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы - от 5 до 7 шт. и т. д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант, или закрытые интервалы. Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной.

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала:

где x_н – начальное значение интервала,

x_к – конечное значение интервала.

Так, для первой группы дискретная величина х₁ будет равна:

x₁ = (3 + 5) / 2 = 4 шт. и т.д. (см. табл.3, столб.3)

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

шт.

Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.

Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами.

Пример 4. Таблица 4

Данные о производстве рабочими продукции за смену

Количество произведенной рабочими продукции за смену, шт., x	Число рабочих, чел., fi	Середина интервала, шт., хi
до 5	10	4
5 - 7	30	6
7 - 9	40	8
9-11	15	10
свыше 11	5	12
Итого	100	-

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей.

Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

Общее правило: признаком-весом для определяемого признака, выраженного относительным показателем (удельным весом, показателем степени выполнения плана, относительной величиной интенсивности и т.д.) служит тот признак, который является знаменателем (базой).

Например, для вычисления средней урожайности по группе однородных культур следует индивидуальные значения урожайностей умножить на соответствующие площади посевов, а затем, полученную величину разделить на общую посевную площадь.

Значения признака всегда могут быть заменены долями каждой единицы совокупности в общем объеме этого весового признака (или долями групп в итоге этого признака).

Рассмотрим изложенные моменты на примере расчета среднедушевого денежного дохода населения двух городов.

Пример 5. Таблица 5

Распределение населения по размеру среднедушевого денежного дохода

Размер среднедушевого денежного дохода в месяц, руб., x	Численность населения городов				Середина интервала, xi
	А		Б
	тыс. чел.	в % к итогу	тыс. чел.	в % к итогу
до 1 000	12	30	9	10	750
1 000 – 1 500	8	20	9	10	1 250
1 500 – 3 000	8	20	27	30	2 250
3 000 – 6 000	8	20	27	30	4 500
свыше 6 000	4	10	18	20	7 500
Итого	40	100	90	100	-

Необходимо определить размер среднедушевого денежного дохода населения обоих городов. Для этого сначала находятся середины интервалов. Данный ряд является рядом распределения с открытыми интервалами, поэтому величина первого интервала принимается равной величине второго интервала, т.е. 500 (тогда первый интервал будет "500 – 1 000"), а величина последнего интервала принимается равной величине предпоследнего, т.е. 3 000 руб. ("6 000 – 9 000"). Середины интервалов тогда будут следующими: (500 + 1 000)/2 = 750; (1 000 + 1 500)/2 = 1 250; и т.д. (см. столб.6 табл.5).

Далее, подставляя в формулу, вычисляется средний размер душевого денежного дохода населения двух городов:

можно записать иначе:

руб.

Если же необходимо определить размер среднедушевого дохода в каждом из городов и в среднем по двум городам, задача решается в два этапа. Сначала определяется размер среднедушевого денежного дохода в каждом из городов:

Далее также по формуле средней арифметической взвешенной рассчитывается среднедушевой денежный доход в городах А и Б:

Допускается расчет как в первом случае, однако последний более рационален, поскольку позволяет избежать повторения одних и тех же математических действий.

Необходимо обратить внимание, что нельзя находить среднедушевой доход по формуле средней арифметической простой ((2 575 + 3 725) / 2 = 3 150 руб.), поскольку в каждом из городов различный и среднедушевой доход, и численность населения. Это подтверждают полученные результаты: в первых двух случаях среднедушевой денежный доход в двух городах составляет 3 371 руб., а в последнем (неверном) – 3 150 руб. Это произошло, поскольку остался не учтен тот факт, что в городе с более высоким среднедушевым доходом, численность населения также выше. Однако, если бы численность населения в обоих городах была одинакова, расчет производился по формуле средней арифметической простой.

Численность населения в абсолютном выражении можно заменить на удельные веса каждой группы населения:

Однако, нужно помнить, что рассчитать среднедушевой доход в двух городах нельзя, если неизвестна общая численность населения в каждом из городов (или их соотношение). При таком расчете численность предполагается одинаковая, и результат, соответственно, получается неверным.

Основные свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю:

Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю:

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз:

Для взвешенной средней:

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число:

Для взвешенной средней:

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится:

5. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая

Средняя гармоническая простая рассчитывается как отношение числа единиц совокупности к сумме величин, обратных индивидуальным значениям признака (вариантам):

или .

Пример 6.

Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком – со скоростью 60 км/ч.