кривые второго порядка

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учебное пособие для вузов

Составители: Т.Н. Глушакова, И.Б. Крыжко, М.Е. Эксаревская

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2008

Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 27 декабря 2007 г., протокол № 4

Учебное пособие подготовлено на кафедрах вычислительной математики и прикладных информационных технологий и математического обеспечения ЭВМ факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика; 010904 – Механика

§ 1. Эллипс

О п р е д е л е н и е 1.1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 1.1).

Рис. 1.1						Рис. 1.2
1.1. Вывод уравнения эллипса
Пусть точка M (x, y) принадлежит эллипсу, F1 и F2								фокусы
(рис. 1.2). Проведем через точки				F1 и		F2 прямую (это будет ось
(OX)), отрезок [F1F2] разделим пополам, середину отрезка обозначим
через O и проведем через точку O прямую, перпендикулярную (F1F2).
Получим ось (OY ).
Пусть |F1F2| = 2c, тогда		F1(−c, 0) и				F2(c, 0).
Положим
r1 = |M F1| = q			,	r2 = |M F2| = q					. (1.1)
	(x + c)2 + y2						(x − c)2 + y2
О п р е д е л е н и е 1.2. r1				и	r2	называются фокальными
радиус-векторами точки		M (x, y).
Из определения эллипса следует,					что	r1 + r2 = const.		Положим
		r1 + r2 = 2a.						(1.2)
Очевидно, что 2a > 2c		и, следовательно,
			a > c.					(1.3)

Подставим (1.1) в (1.2), получим

q q

(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a.

3

Перенесем один из корней вправо:

q q

(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2.

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

q

(x + c)2 + y2 = 4a2 + (x − c)2 + y2 − 4a (x − c)2 + y2.

Приведем подобные слагаемые

q

2xc = −2xc + 4a2 − 4a (x − c)2 + y2.

Перенесем корень влево, а все остальные слагаемые вправо, приведем подобные слагаемые и разделим обе части уравнения на 4, получим

q

a (x − c)2 + y2 = a2 − xc.

Возведем обе части уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем

подобные слагаемые при x2:
a2[(x − c)2 + y2] = a4 − 2xca2 + x2c2,
a2x2 + a2c2 − a2 · 2xc + a2y2 = a4 − 2xca2 + x2c2,
a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + x2c2,
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).	(1.4)

Положим b2 = a2 − c2 (b2 > 0 в силу (1.3)), тогда из (1.4) следует,

что
b2x2 + a2y2 = a2b2.	(1.5)

Разделим (1.5) на a2b2, получим каноническое уравнение эл-

липса			y2
x2		+			= 1.	(1.6)
	a2			b2

1.2. Свойства эллипса

10. Симметрия относительно осей (OX) и (OY )

Пусть точка (p, q) принадлежит эллипсу, то есть

p2 + q2 = 1. a2 b2

4

Но тогда и точки

(p, −q),

(−p, q), (−p, −q)

также принадлежат

эллипсу, так как

p2

+

(−q)2

= 1,

(−p)2

+

q2

= 1,

(−p)2

+

(−q)2

= 1.

a2

b2

a2

b2

a2

b2

20. Точки пересечения эллипса с осями

(OX) и (OY )

1. Найдем точки пересечения эллипса с осью

(OX). Так как

y = 0,

то

x2

= 1,

откуда

x2 = a2,

поэтому

x = ±a.

a2

2. Найдем точки пересечения эллипса с осью

(OY ). Так как

x = 0,

y2

то

= 1,

откуда

y2 = b2,

поэтому

y = ±b.

b2

Точки A1(−a, 0),

A2(a, 0),

B1(0, −b),

B2(0, b)

пересечения эллипса

с его осями

(рис. 1.3)

называются вершинами эллипса.

Расстояние |A1A2| = 2a называется большой (фокальной) осью

эллипса, расстояние |B1B2|

= 2b малой осью эллипса.

Рас-

стояния от начала координат до вершин

A2(a, 0), B2(0, b) называются

соответственно большой и малой полуосями эллипса.

		Рис. 1.3	Рис. 1.4
		30. Рассмотрим уравнение эллипса (1.6). Очевидно, что		x2	≤ 1,
				a2
	y2
		≤ 1, поэтому x2 ≤ a2 и	y2 ≤ b2, и, следовательно, |x| ≤ a,	|y| ≤ b
	b2
(рис. 1.4).

Таким образом, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2a, 2b.

5

40. Понятие эксцентриситета

c

О п р е д е л е н и е

1.3. Отношение

e =

называется эксцентри-

a

ситетом эллипса.

В силу (1.3) всегда

e < 1.

Эксцентриситет характеризует сплющенность эллипса: если

e → 1,

то эллипс вырождается в отрезок, так как

√

= v

= v

=

a2

1

e =

c

a2 − b2

− b2

b2

1

при b

0;

2

a

a

u

a

2

u

− a

→

→

u

u

t

t

если же e → 0,

то эллипс стремится к окружности, так как

= v

e =

c

1

b2

0

при

b

a.

2

a

u

→

→

u − a

t

Заметим, что фокальные радиус-векторы вычисляются следующим

образом:	r1 = a + ex .
	r2 = a	−	ex

50. Понятие директрисы О п р е д е л е н и е 1.4. Директрисами эллипса называются две

прямые,	a	параллельные	малой оси и отстоящие от нее на расстоянии,
равном		(на рис. 1.5	это прямые (CD) и (P Q)).
	e						a
				a
Уравнения директрис имеют следующий вид:				x = −		,	x =		.
					e			e

З а м е ч а н и е. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса (r1 или r2) к расстоянию от той же точки до соответствующей

(то есть расположенной по эту же сторону от малой оси) директрисы (d1
или d2) равно эксцентриситету:	r1	= e и	r2	= e.
	d1		d2

60. Касательная к эллипсу

Уравнение касательной к эллипсу в точке касания M0(x0, y0) (рис. 1.6) имеет вид

xx0	+	yy0		= 1.	(1.7)
2		b	2
a

6

Рис. 1.5

Рис. 1.6

§ 2. Гипербола

О п р е д е л е н и е 2.1. Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний которых от двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 2.1).

2.1. Вывод уравнения гиперболы

Пусть точка

M (x, y) принадлежит ги-

перболе,

F1 и

F2 фокусы

(рис. 2.2).

Проведем через точки F1

и F2 прямую.

Разделим отрезок

[F1F2] пополам, середи-

Рис. 2.1

ну отрезка [F1F2]

обозначим через O и

проведем через точку

O прямую,

перпендикулярную прямой

(F1F2).

Будем считать, что прямая (F1F2) это ось (OX), а перпендикулярная

ей прямая это ось (OY ).

Пусть

|F1F2| = 2c,

r1 = |M F1|

и

r2 = |M F2| фокальные радиус-

векторы точки M . Из определения гиперболы следует, что

r1 − r2 =

= const.

В зависимости от расположения точки M

(на левой или

правой ветвях гиперболы) могут быть два случая: r1 −r2 = −2a

(точка

M принадлежит левой ветви гиперболы) и

r1 − r2 = 2a

(точка M

принадлежит правой ветви гиперболы), поэтому в общем случае

r1 − r2 = ±2a.

(2.1)

Очевидно, что 2a < 2c, поэтому

a < c.

Так как F1(−c, 0),

F2(c, 0), то

r2 = |M F2| = q

r1 = |M F1| = q

,

.

(2.2)

(x + c)2 + y2

(x − c)2 + y2

7

Подставим (2.2) в (2.1), получим

q q

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = ±2a.

Перенесем второй корень вправо:

q q

(x + c)2 + y2 = (x − c)2 + y2 ± 2a.

Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные слагаемые, получим

√

x2 + c2 + 2xc + y2 = x2 + c2 − 2x + y2 ± 4a x2 + c2 + y2 − 2xc + 4a2,

√

4xc − 4a2 = ±4a x2 + c2 + y2 − 2xc.

Разделим обе части равенства на				4 и возведем их в квадрат:
c2x2 − 2xca2 + a4 = a2x2 + a2c2 + a2y2 − 2a2xc,
(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2).
Положим b2 = c2 − a2 (так как c > a),					тогда последнее уравнение
перепишется в виде
b2x2 − a2y2 = a2b2.					(2.3)
Разделим уравнение (2.3) на		a2b2,		получим каноническое уравне-
ние гиперболы
	x2	−	y2	= 1.	(2.4)
	a2		b2

Рис. 2.2

Рис. 2.3

2.2. Свойства гиперболы

10. Симметрия относительно осей (OX) и (OY )

Пусть точка (p, q) принадлежит гиперболе, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы (2.4), то есть

8

p2

q2

(2.5)

−

= 1.

a2

b2

(−p, −q)

Но тогда и координаты точек

(−p, q), (p, −q),

также удо-

влетворяют уравнению (2.5), так как

(−p)2

q2

= 1,

p2

(−q)2

= 1,

(−p)2

(−q)2

= 1.

a2 −

−

a2

− b2

b2

a2

b2

20. Точки пересечения с осью

(OX)

Положим в уравнении (2.4)

y = 0,

тогда

x2 = a2

и x = ±a. Таким

образом, точки

A1(−a, 0)

и A2(a, 0) точки пересечения с осью (OX)

(рис. 2.3).

Их называют

действительными вершинами гипербо-

лы, а расстояние |A1A2| = 2a действительной (вещественной) или фокальной осью гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу, поэтому действительное число 2b называется мнимой осью гиперболы. Числа a и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Очевидно, что гипербола состоит из двух ветвей правой и левой, простирающихся в бесконечность.

З а м е ч а н и е. Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и

направлена по оси (OX), а действительная ось длиной					2b совпадает с
осью (OY ), то уравнение гиперболы имеет вид
−	x2	y2			(2.6)
		+		= 1.
	a2		b2

Оп р е д е л е н и е 2.2. Гиперболы, заданные уравнениями (2.4) и (2.6), называются сопряженными гиперболами.

Оп р е д е л е н и е 2.3. Если a = b, гипербола называется

равносторонней.

30. Асимптоты гиперболы

У гиперболы есть две асимптоты прямые, к которым приближается гипербола при x → ±∞.

Перепишем уравнение (2.4) следующим образом:

y2

x2

x2

b v

=

−

1, y2

= b2(

−

1), y =

±

x2

−

1.

b

a

a

u a

t

2

2

2

u

2

9

u

−

2

u a

Рассмотрим сначала случай

t

1.

y = b v x2

Проделаем следующие преобразования:

y = b v

√

(√

x2

b

=

b

1 =

x2

a2

x2

a2

x + x) =

2

u

−

a

−

a

−

−

u a

(√

t

√

√

2

2

2

− a

2

+ x)

b

b

x) =

b

x +

b

(

x

− a

− x)(

x

=

=

x +

x2

−

a2

−

·

a

a

a

a

√x2

−

a2

+

x

=

b

x +

b

x

2 − a2 − x2

=

b

x +

b

−a2

=

a

a

·

√x2

−

a2

+

x

a

a

· √x2

−

a2

+

x

b

ab

=

x

−

√

.

a

x

x2

−

a2

+

√

ab

При

,

а

√

+ 0,

x

→

+

x2

−

a2

+ x

→

+

x →

x

2

a

2

∞

∞

b

−

+

поэтому гипербола приближается к прямой

y =

x.

u

a

−

−

2

Аналогично для случая

y =

b v x2

1

получаем вторую асимп-

тоту

t

y= −ab x.

За м е ч а н и е. Асимптоты являются диагоналями прямоугольни-

ка, центр которого совпадает с центром гиперболы, а стороны равны и параллельны осям гиперболы (рис. 2.4).

Рис. 2.4				Рис. 2.5
40. Из уравнения (2.4) следует, что	x2	y2		≥ 1, поэтому	x2
		= 1 +				≥ 1
	a2		b2		a2
и, следовательно, |x| ≥ a.

10