20фотоефект

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА.

ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

ЗВЕДЕННЯ ОСНОВНИХ ФОРМУЛ

20.1 Енергія фотона

		WΦ = hν =	hc	, або WΦ = hω ,
			λ
	де h	- стала Планка; h =			h	- стала Планка – Дірака;
					2π

c - швидкість світла у вакуумі; ν - та λ - відповідно частота та довжина електромагнітного випромінювання; ω - циклічна частота.

20.2 Маса та імпульс фотона виражаються такими формулами:

m = Wc2Φ = hcλ і p = mc = λh .

20.3Формула Ейнштейна для зовнішнього фотоефекту:

а) у загальному випадку

WΦ = hν = A +WK max ,

де WΦ = hν - енергія фотона, який падає на поверхню металу; A – робота виходу електрона із металу; WK max – максимальна кінетична енергія фотоелектрона;

70

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

б) у випадку, коли енергія фотона значно більша за роботу виходу ( hν >> A), тоді

hν =WK max .

20.4 Максимальна кінетична енергія фотоелектрона в

двох випадках (нерелятивістському і релятивістському) визначається різними формулами:

а) якщо фотоефект викликаний фотоном, який має відносно малу енергію ( hν = hω < 5 кеВ), то

W	=	m v2
		0 max	,
K max		2

де m0 – маса спокою електрона;

б) якщо фотоефект викликаний фотоном, який має велику енергію ( hν = hω >> 5 кеВ) , то

	1
WK max =(m −m0 )c2 = m0c2			−1	,
		2
	1−β

де β = vmaxc ; m – маса релятивістського електрона.

20.5 Червона межа фотоефекту

λ0 = hcA , або λ0 = 2πAhc ; ν0 = Ah , або ω0 = hA ,

де λ 0 – максимальна довжина хвилі випромінювання (ν0 - та ω0 – мінімальні частота і циклічна частота), при яких ще можливий фотоефект.

71

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

20.6 Зміна довжини хвилі λ фотона при розсіянні його на частинці (ефект Комптона) на кут θ

		′		2πh			2πh		2 θ
					(1−cosθ) , або				2 ,
	λ = λ		−λ = mc			λ = 2 mc sin

де m – маса частинки віддачі; λ і λ′ - довжини падаючої та розсіяної хвиль.

20.7 Комптонівська довжина хвилі

λС = 2mcπh .

(При розсіянні фотона на електроні λ С = 2,436 пм).

72

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

Приклад 20.1 Лазер у безперервному режимі випромінює світло з довжиною хвилі λ = 600 нм при потужності N = 40 мВт. Скі-

льки фотонів він випромінює за t =1c ?

		Розв’язання
	n −?	Енергія фотона
		WΦ = hcλ ,
	λ = 600 нм = 6 10−7 м,
	N = 40 мВт = 0, 4 Вт,
	t =1c.	де h - стала Планка; c - швид-
		кість світла у вакуумі; λ - довжина

світлової хвилі.

Енергія лазерного випромінювання за час t складає

W = Nt ,

тоді кількість фотонів, які випромінюються за час t лазе-

ром:

n = W = Ntλ . WΦ hc

Підставимо числові значення фізичних величин у отриманий вираз та виконаємо обчислення

n =	0, 4 6 10−7	18
		=1, 2 10 .
	6, 63 10−34 3 108

Перевіримо розмірність одиниць одержаної величини:

73

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

n =	[N ][t][λ]		Вт с м Дж с м
	[h][c]	=			=	Дж с м	=1.
			Дж с	м
				с

Відповідь: n =1, 2 1018 .

Приклад 20.2

На металічну пластину падає монохроматичний пучок світла з частотою ν = 7,3 1014 Гц . Червона межа фотоефекту для даного матеріалу дорівнює λ0 =560 нм. Визначити максимальну швидкість vmax фотоелектронів.

Розв’язання

vmax −?

Для

визначення

максимальної

швидкості фотоелектронів скористує-

мося рівнянням Ейнштейна для фото-

ν = 7,3 1014 Гц ,

λ =560 нм =5, 6 10−7

м,

ефекту

0

m =9,1 10−31 кг.

hν

=

A +

mv2

max

.

(1)

2

Робота виходу фотоелектронів із металу дорівнює

A = h

c

.

(2)

λ0

Підставимо вираз (2) в (1):

hν =

hc

+

mv2

.

(3)

λ

max

2

0

74

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

Розв’язавши це рівняння відносно швидкості, одержимо

vmax :

v2		=		2h			ν −		c
max									λ0
					m
v			=			2h		ν −		c	.
	max
										λ0
							m

Підставивши числові значення фізичних величин в останнє співвідношення, одержимо відповідь

vmax =	2 6,63 10−34	(7,3 1014 −	3 108	) =5,32·105 (м/c).
	9,1 10−31		560 10−9

Перевіримо розмірність одиниць одержаної величини:

[h]

[c]

Дж с

Н м с

кг м2

м

[v] =

[ν]−

=

=

=

=

.

кг c

кг с

кг с

2

c

[m]

[λ]

Відповідь: vmax =5,32 105 мс.

Приклад 20.3 Фотон з енергією WΦ =10 еВ падає на сріб-

ну пластину і викликає фотоефект. Визначити імпульс р, отриманий пластиною, вважаючи, що напрями руху фотона і фотоелектрона лежать на одній прямій, перпендикулярній до поверхні пластини.

75

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

Розв’язання

						При падінні фотона на срібну
	p - ?			пластинку з неї вибивається фото-
				електрон. Імпульс, що передається
				пластинці, складається з імпульсу
W =10 еВ =1, 6 10−18			Дж.	фотоелектрона та імпульсу фотона:
	Φ
						p = pф + рe .		(1)
	Імпульс фотона дорівнює
				pΦ	=	WΦ	,	(2)
						c
	де c – швидкість світла.
	Імпульс електрона визначається співвідношенням
				pe	= mve .			(3)

Швидкість фотоелектрона знайдемо з рівняння Ейнштейна для фотоефекту:

W = A +	mv2	v =	2	(W − A)		(4)
	e
	2			m .
Φ		e

Підставивши вираз (4) в (3), одержимо

	pe = m	2 (W − A)	= 2m(W − A).	(5)
		m

Тепер підставимо співвідношення (2) і (5) в (1):

76

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

p =	WΦ	+ 2m(W − A).	(6)
	c

Після підстановки числових значень величин одержимо відповідь:

p =

10 1, 6 10−19

+

2 9,1 10−31 10−19 (10 1, 6 −7,5) =

8

3 10

=1, 24 10−19 (кг м с).

Зробимо перевірку розмірності фізичної величини:

[ p] =

[W ]

+ [m][W

] =

Дж

+

кг Дж =

Н м с

+ кг Н м =

[c]

м/с

м

= кг м c + кг кг м м =

кг м + кг м =

кг м .

с2

с2

с

с

с

Відповідь: p =1, 24 10−19 кг мс.

Приклад 20.4 Яка частка енергії фотона припадає при ефекті Комптона на електрон віддачі, якщо розсіювання фотона від-

бувається на кут θ = π2 ? Енергія фотона до розсіювання

W1 = 0,51МеВ.

77

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

Розв’язання

У відповідності до формули Компто- ω - ? на зміна довжини хвилі фотона, що розсія-

вся на електроні, дорівнює

	W1 = 0, 51МеВ,							h
		π			′
	θ =			λ			−λ = mc (1−cosθ).
		2 .
		де λ - таλ′ довжини хвиль фотона, що падає на електрон,
	та розсіяного.
		Виразимо довжини хвиль λ та λ′ фотона до і після розсі-
	ювання через енергію, врахувавши, що W = hν = h									c	, тоді
										λ
		hc	− hc =	h			(1−cosθ).				(1)
		W ′		mc
			W

Розділимо обидві частини рівності (1) на hc , тоді одержи-

мо

W1′ −W1 = mc1 2 (1−cosθ).

Із цього співвідношення знайдемо енергію фотона, що розсіявся:

W ′=		W
			.
	W	(1−cosθ)+1
	mc2

У відповідності до закону збереження енергії кінетична енергія електрона віддачі дорівнює

78

20 КВАНТОВА ПРИРОДА СВІТЛА. ФОТОЕФЕКТ ТА ЕФЕКТ КОМПТОНА

Wk	=W −W ′=W −		W		.
		W	(1−cosθ)+1
		mc2

Тепер можемо знайти частку енергії, яка припадає на електрон віддачі:

ω =1−		1	.	(2)
	W	(1−cosθ)+1
	mc2

Після підставлення у (2) числових значень фізичних величин одержимо

ω =1 −		1						=0,499.
		0,51 106 1,6 10−19			π
			1	−cos			+1
		9,1 10−31 (3 108 )2			2

Відповідь: ω =0,499.

Приклад 20.5 Визначити імпульс електрона віддачі, якщо фотон з енергією WΦ =1,53 МеВ у результаті розсіювання на

вільному електроні втратив третину своєї енергії.

p - ?

WΦ =1,53 МеВ =1,53 10−13 Дж.

Розв’язання

Для розв’язання задачі спочатку знайдемо енергію розсіяного фотона. Для цього скористаємося формулою Комптона

79