Свойства отношения логического следования

Определения, пояснения и примеры

В построенной системе имеется два типа условной связи (и, соответственно, два символа для нее): «внутреннее» следование (представленное в объектном языке) – импликация (É), и «внешнее» (относящееся к метаязыку) – отношение логического следования (⊨). Как соотносятся эти два типа условной связи? Об этом говорит теорема дедукции.

Ниже греческими буквами (гамма),(дельта) обозначены множества (произвольные) формул. (Например,={p,r&q},={(pºØq)É(qº(r&s)),Øp,pºq},={r,svr,Øp,Ør})

Теорема (о) дедукции

Если верно, что , А⊨В, тогда также верна выводимость⊨АÉВ

В других построениях логических теорий – аксиоматических – у теоремы дедукции помимо указанного выше есть еще одно важнейшее значение. Там она значительно облегчает поиск доказательства¹⁸. Но в описанном табличном построении классической логики высказываний вообще не моделируется (важнейшая) процедурапоискадоказательства. Здесь мы можем только для предъявленного (простейшего) рассуждения сказать, следует или нет из посылок заключение. Но одно и то же утверждение можно по-разному обосновывать. Доказательства могут оцениваться как простые, сложные, громоздкие, изящные и т.д.: важно,какмы добрались от посылок к заключению, каким путем, какие понятия и методы использовали. Это «как» табличный метод совершенно не схватывает. Разумеется, это недостаток.

Упражнения

25. Докажите теорему дедукции.

26. Примените теорему дедукции к данным схемам рассуждения максимальное число раз

1. r⊨T

2. p,q⊨T

3. PºØq,qº(r&s),Øp⊨rvs

4. pºq, (q&s)É(r&p),Ør⊨Øp

Рефлексивность отношения логического следования

Для любой формулы А верно, что А⊨А.

Транзитивность отношения логического следования

Если верно: , А⊨В и,В⊨С, тогда,, А⊨С.

Монотонность отношения логического следования

Если верно: , А⊨В, тогда также верно , , А ⊨В.

(Логическая правильность (схемы) рассуждения сохраняется при добавлении новых посылок.)

Упражнения

27. Доказать рефлексивность, транзитивность и монотонность отношения ⊨.

28. Свойство монотонности отношения логического следования говорит, что если к логически корректному умозаключению добавить еще какие-то допущения, оно останется логически правильным. А если к логически неправильному умозаключения добавить посылки, оно (а) останется неправильным, (б) станет правильным или (в) может стать правильным? Ответ поясните.

29. А если из правильного убрать посылки?

30. А из неправильного?

31. Определите, являются ли следующие умозаключения правильными, опираясь только на знание правильных (modusponens,modustollens) и неправильных условно-категорических умозаключений, а также ряда законов логики (де Морган и коммутативности и др.) и свойства транзитивности и монотонности отношения логического следования.

1. Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но ты не умнее. Значит, я не император.

2. Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но я не император. Значит, ты не умнее.

3. Только если сегодня суббота, у меня есть шанс выспаться. Шанс есть. Значит, суббота.

4. Если сегодня суббота, у меня есть шанс выспаться. Шанс есть. Значит, суббота.

5. Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но я не император. Да и ты тоже. Значит, ты не умнее.

6. Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия. Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра нет ни логики, ни математики.

7. Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия. Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра нет логики или математики.

8. Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия. Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра логики нет.

32. Наличие противоречия (т.е. утверждения вида «А и не-А») в теории, основанной на классической логике, имеет для нее катастрофические последствия. Какие? Казалось бы, ну получил ты, что какое-то утверждение, и его отрицание верны, ну, выпил триста капель валерьянки, успокоился, живешь и работаешь дальше, изучаешь свою теорию. Почему не так? (И дело не в валерьянке и не в количестве капель.)

33. Для следующих схем рассуждения определите, являются ли они логически корректными, не строятаблицы истинности (в некоторых случаях предполагается, что студенты знают ряд законов КЛВ).

(a) p&p, qÉØr ⊨ Ør

(b) p& q₁&q₄&p&s, qÉØr ⊨ ØrÉq

(c) p&q₁&q₄&s, q₁ º p, q ⊨ (ØrØq₁srp)&(pØqØsØpØq₄)

(d) p&q₁&q₄&s, rq₁ss₁p ⊨ p₄q₄s₄q₄

(e) T⊨Ø(p & q) º (Øр & Øq)

(f) ⊨Ø(p & q) º (Øр & Øq)

(g) p⊨Ø(p & q) º (Øр  Øq)

(h) T⊨ (р É q) º (q É p)

Ответы

Гл.3 Упр.2 (с)

Подформулы:

q , p, s, r

¬q

p⊃¬q

¬(p⊃¬q)

s≡r

s≡q

(s≡r)v(s≡q)

¬(p⊃¬q)⊃((s≡r)v(s≡q))

(то есть все формулы, расположенные в узлах дерева)

Главный знак – вторая импликация:

(¬(p⊃¬q)⊃((s≡r)v(s≡q)))

(вторая импликация – последний при построении данной формулы знак).

Нагруженное дерево формулы:

Гл.3 Упр.6

1. q р

2. р q

3. р q

4. p₁р₂р₃ rq

5. p(rq)

6. 1-й вариант: (rq)р

2-й вариант:p(rq)

7. (p₁р₂р₃r)q

8. 1-й вариант: (p₁р₂р₃r)q

2-й вариант:q(p₁р₂р₃r) )

9. p(rq)

10. 1-й вариант: q  ((s₁  s₂  s₃  s₄ )  (p₁  р₂  р₃  r))

2-й вариант: (q  s₁  s₂  s₃  s₄ )  (p₁  р₂  р₃  r)

11. 1-й вариант: (q₁q₂)((s₁s₂)(p₁р₂р₃r))

2-й вариант: ((q₁q₂)(s₁s₂))(p₁р₂р₃r)

12. (s₁s₂)(рs)

13. 1-й вариант:р(p₁р₂)

2-й вариант: (p₁р₂)р

14. р (p₁р₂)

15. р (p₁р₂)

Гл.3 Упр.9

1. И ты прав, и я, а преподаватель не прав.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я прав.	p
Ты прав.	q
Преподаватель прав.	r

Структура: q&p&r

2. Я пью крепкий кофе, если и только если хочу спать или у меня много работы.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я пью крепкий кофе.	p
Я хочу спать.	q
У меня много работы.	r

Структура: р(qr)

3. Я займусь изучением логики, если скоро зачет по этому предмету и преподаватель не ставит "автоматы".

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я займусь изучением логики.	p
У меня скоро зачет по логике.	q
Преподаватель логики ставит автоматы.	r

Структура:(qr)р

4. Я займусь изучением логики, только если скоро зачет по этому предмету и преподаватель не ставит "автоматы".

Символизация, та же, что в предыдущем примере.

Структура:

1-й вариант: (qr)р

2-й вариант: р (qr)

5. Я займусь изучением логики, если скоро зачет по этому предмету или преподаватель не ставит "автоматы", разве что буду уверен, что сумею списать.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я займусь изучением логики.	p
У меня скоро зачет по логике.	q
Преподаватель логики ставит автоматы.	r
Я буду уверен, что сумею списать.	s

Структура

1-й вариант:(qr)(sр)

2-й вариант: ((qr)s)р

6. Если ты знаешь английский, французский, испанский и немецкий, в Европе ты не пропадешь, если имеешь пару тысяч долларов, евро или фунтов стерлингов.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Ты знаешь английский.	p
Ты знаешь французский.	q
Ты знаешь испанский.	r
Ты знаешь немецкий.	s
В Европе ты пропадешь.	p1
У тебя есть пару тысяч долларов.	q2
У тебя есть пару тысяч евро.	r2
У тебя есть пару тысяч фунтов.	s2

Структура

1-й вариант: (рqrs) ((q₂  r₂  s₂ )  p₁)

2-й вариант: (р  q  r  s  (q₂  r₂  s₂ ))  p₁

7. Если ты работаешь пять дней в неделю, то я всего лишь два.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Ты работаешь пять дней в неделю.	p
Я работаю два дня в неделю.	q

Структура:рq. (Вариант рq неверен.)

8. Я выучу английский, китайский или японский, только если буду усердно заниматься, у меня будет достаточно свободного времени и, кроме того, я смогу съездить в страну изучаемого языка.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я выучу английский.	p
Я выучу китайский.	q
Я выучу японский.	r
Я буду усердно заниматься.	s
У меня будет достаточно свободного времени.	p1
Я смогу съездить в страну изучаемого языка.	q1

Структура:

1-й вариант: (sp₁  q₁)(рqr)

2-й вариант: (р qr)(sp₁  q₁)

9. Если у меня будет много свободного времени, я выучу английский и японский, а если не будет, тогда только английский.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
У меня будет много свободного времени.	p
Я выучу английский.	q
Я выучу японский.	r

Структура:(р(qr))(р(qr))

Гл.3 Упр.11(а)

Москва – столица России- истина,

Рим – столица Греции– ложь.

Предложения соединены союзом "а", с логической точки зрения – конъюнкцией. Если с помощью конъюнкции соединяются истинное и ложное предложение, результирующее предложение – по определению конъюнкции – будет ложным.

Ответ: логическое значение данного высказывания – ложь.

Гл.3 Упр. 12(а)Будем вычислять значение формулы в следующем порядке:

1 2 6 3 5 4

(ØрÉq) & (ØqÉØr)

ϕ₁(Øр)= л; (при этой оценке р полагаем истинным, тогда его отрицание будет ложным – по определению отрицания)

ϕ₁(ØрÉq)= и;

ϕ₁(Øq)= л;

ϕ₁(Ør) =и;

ϕ₁(ØqÉØr) = и;

ϕ₁((ØрÉq) & (ØqÉØr))=и.

Гл.3 Упр.13

Ответ к 1)

Разбор решения

1. Вычисляем количество различных переменных, входящих в состав этой формулы: = 2 (p,q)

2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В данной случае имеем:

2 1 6 3 5 4

Ø(pq)º(ØрØq),

т.е. сначала вычисляем значение (pq), затемØ(pq) и т.д.

Главный знак этой формулы (связка, которая вводилась последней при построении данной формулы) – эквиваленция (º). Важно понимать, где главный знак формулы, т.к. ее логический статус будем определять, рассматривая столбец именно под главным знаком формулы (итоговый столбец).

3. Вычисляем количество строк в таблице для данной формулы. Если формула содержит nразличных переменных, то количество строк в таблице для данной формулы =2ⁿ. В нашем случае в таблице будет (2²=)4 строки.

4. Строим таблицу.

Порядок вычисления действий 				2	1	6	3	5	4
функции оценок перемен ных pиq	p	q		Ø	(pq)		(Øp		Øq)
1	и	и		л	и	и	л	л	л
2	и	л		л	и	л	л	и	и
3	л	и		л	и	л	и	и	л
4	л	л		и	л	и	и	и	и

Например, определяется так:

А		B
и	и	и
и	и	л
л	и	и
л	л	л

Из таблицы видно, что формула вида АВ ложна только в том случае, если и слева, и справа от дизъюнкции () формулы оценены как ложные. Это и воспроизведено в таблице для нашей формулы – под знаком.

Далее мы вычислили значение формулы Ø(pq). Отрицание меняет значение формулы на противоположное:

Ø	А
л	и
и	л

Значение столбца под первым отрицанием (2) вычисляем по значению столбца под первой конъюнкцией (1).

Значение столбца под р вычисляем по столбцу под р. Например, если р – «и» при первой оценке (₁), тогдар при этой же оценке (т.е. в первой строке) принимает значение «л» и т.д.

Значение столбца под qвычисляем по столбцу подq.

Значение столбца под второй дизъюнкцией - в формуле (ØрØq) вычисляем по столбцам подр и подq.

Значение столбца под эквиваленцией () вычисляем по столбцам под первым отрицанием (второе действие -Ø(pq) и под второй дизъюнкцией - (Øр  Øq) (пятое действие).

Эквиваленцию вычисляем по следующему определению:

А		B
и	и	и
и	л	л
л	л	и
л	и	л

Проанализируем теперь построенную для формулы Ø(pq)º(ØрØq) таблицу истинности.

Под главным знаком формулы - - иногда стоит истинна («и»), а иногда ложь («л»), значитлогический статус этой формулы: логически недетерминированная.

Более культурный анализ таблицы звучит так. Существует оценка переменных pиq(например,₁), при которой формула принимает значение «и» и существует оценка этих переменных (например,₃), при которой формула принимает значение «л». Следовательно, данная формула логически недетерминирована.

Ответ к 2)

Число параметров в формуле: n=1.

Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2ⁿ=2¹=2

оценки переменной р	^	р	^ É p
 1	л	и	и
2	л	л	и

.

Формула принимает значение «истина» при любой оценке переменной р. Логический статус формулы: тождественно-истинная (= закон логики, общезначимая)

Ответ к 3) Ø(р & q)º(q & р)

1. Число параметров в формуле: n=1.

2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В данной случае имеем:

2 1 5 4

Ø(pq)º(qр),

т.е. сначала вычисляем значение (p q), затемØ(pq) и т.д.

3. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2ⁿ=2¹=2

4. Строим таблицу (немного не так, как в примере 1).

р	q	p q	Ø(pq)	(q р)	Ø(pq)º(qр)
и	и	и	л	и	л
и	л	л	и	л	л
л	и	л	и	л	л
л	л	л	и	л	л

Анализ таблицы: при любой оценке параметров р и q формула принимает значение «л». Логический статус формулы: логическое противоречие (тождественно-ложная).

Ответ к 4)((рÚØq)r)É(q &r)

1. Число параметров в формуле: n= 3.

2. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2ⁿ=2³=8

3. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В данной случае имеем:

1) Øq

2) р ÚØq

3) (р ÚØq)r

4) r

5) (q & r)

6) ((р ÚØq)r)É(q &r)

Данная последовательность вычислений не единственно возможная (как и выше разобранных примерах 1 и 3). Скажем, не будет ошибкой сначала вычислить r, а затемq. Но ошибочно сначала пытаться вычислить, например, рÚØq, а уже затемØq¹⁹.

4. Строим таблицу

Функции оценки переменных	p	q	r	Øq	r	рÚØq	(рÚØq)r	q & r	((рÚØq)r) É(q&r)
1	и	и	и	л	л	и	и	л	л
2	и	и	л	л	и	и	л	и	и
3	и	л	и	и	л	и	и	л	л
4	и	л	л	и	и	и	л	л	и
5	л	и	и	л	л	л	л	л	и
6	л	и	л	л	и	л	л	и	и
7	л	л	и	и	л	и	и	л	л
8	л	л	л	и	и	и	л	л	и

Анализ таблицы: существует оценка переменных р, q и r, при которой формула принимает значение «и» (например,₂), и существует оценка переменных р, q и r, при которой формула принимает значение «л» (например,₁).Логический статус формулы: выполнимая, логически недетерминированная.

Гл.3 Упр.16 а)

Если неверно, что ты не знаешь английский, французский и немецкий, значит ты знаешь эти языки.

Сначала найдем структуру этого предложения, затем проанализируем ее таблично.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Ты знаешь английский.	p
Ты знаешь французский.	q
Ты знаешь немецкий.	r

Структура предложения: (рqr)(рqr).

1. Число параметров в формуле: n= 3.2. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2ⁿ=2³=8.

3. Последовательность вычислений (один из возможных вариантов):

1. р

2. q

3. r

4. р q

5. р qr

6.  (рqr)

7. р q

8. р qr

9. (рqr)(рqr)

p	q	r	р	Øq	r	рØq	рØqr	(рØqr)	р  q	р  q  r	(рqr) (рqr)
и	и	и	л	л	л	л	л	и	и	и	и
и	и	л	л	л	и	л	л	и	и	л	л
и	л	и	л	и	л	л	л	и	л	л	л
и	л	л	л	и	и	л	л	и	л	л	л
л	и	и	и	л	л	л	л	и	л	л	л
л	и	л	и	л	и	л	л	и	л	л	л
л	л	и	и	и	л	и	л	и	л	л	л
л	л	л	и	и	и	и	и	л	л	л	и

Из таблицы видно, что при некоторых значениях переменных формула истинна, при других – ложна. Значит, данная формула логически недетерминирована, а вместе с нейлогически недетерминировано и исходное высказывание, по которому она была получена. Последнее означает, что истинность или ложность данного высказывания зависит не только от понимания связок, но и от «фактов» - от значений простых предложений, входящих в его состав.

Гл.3 Упр.19

1)p&q⊨pvq

В данной схеме умозаключения одна посылка: p&q.

⊨ - шаг вывода,pvq – заключение.

Проверяем, следует ли из информации посылок информация заключения.

Число переменных в схеме умозаключения: n=2.

Число строк в таблице: 2ⁿ, т.е. 2², т.е.4.

функции оценок переменных pиq	p	q	p&q	⊨	pvq
1	и	и	и		и
2	и	л	л		и
3	л	и	л		и
4	л	л	л		л

В столбце под p&qпросто стоит определение связки, в столбце подpvq–. Анализируя данную схему рассуждения на логическую правильность, принимаем в расчет только эти столбцы. Проверяем, реализуется ли для этой схемы умозаключения логически неприемлемая ситуация: переход от всех истинных посылок к ложному заключению. В нашем случае проверяем, есть ли такая оценка_iпеременных р и q, что_i (p&q) = и,_i(pvq)=л. При₁посылка истинна и заключение истинно, - нормально. При₂и₃посылка ложна, заключение истинно, - не искомый случай. Наконец для₄имеем:₄(p&q)=л,₄(pvq)=л. Таким образом, какими бы ни были предложения р иq(а мы просмотрели все возможности), от истинного утверждения к ложному, рассуждая по данной схеме, мы не придем.

Анализ таблицы: не существует оценки переменных р иq, при которой посылка истинна, а заключение – ложно.Вывод: схема умозаключения логически правильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) имеет место.

2) pvq ⊨p

Посылка: pvq.

⊨ - шаг вывода,p – заключение.

Число переменных в схеме умозаключения: n=2.

Число строк в таблице: 2ⁿ, т.е. 2², т.е.4.

функции оценок переменных pиq	p	q	pvq	⊨	р
1	и	и	и
2	и	л	и
3	л	и	и
4	л	л	л

Проверяем, реализуется ли для данной схемы логически неприемлемая ситуация, т.е. существует ли такая оценка параметров _i, что_i(pvq)=и,_i(p)=л. Такая оценка есть. Для₃имеем:₃ (pvq)=и,₃(р)=л.

Анализ таблицы: существует оценка переменных р иq, при которой посылка истинна, а заключение – ложно (₃).Вывод: схема умозаключения логически неправильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) не имеет места.

3) pºq,qÉr,Øp⊨Ør

Посылки: pºq,qÉr,Øp.

⊨ - шаг вывода.

Заключение – Ør.

Число переменных в схеме умозаключения: n=3.

Число строк в таблице: 2ⁿ, т.е. 2³, т.е.8.

Проверяем, есть ли такая оценка параметров р, q и r, для которой верно:(pºq)=и, (qÉr)=и, (Øp)=и, (Ør) =л (логически неприемлемый случай).

Функции оценки переменных	p	q	r	pºq	qÉr	Øр	⊨	r
1	и	и	и	и	и	л		л
2	и	и	л	и	л	л		и
3	и	л	и	л	и	л		л
4	и	л	л	л	и	л		и
5	л	и	и	л	и	и		л
6	л	и	л	л	л	и		и
7	л	л	и	и	и	и	*	л
8	л	л	л	и	и	и		и

Анализ таблицы: существует оценка переменных р, q и r, при которой все посылки истинны, а заключение ложно (₇).Вывод: схема умозаключения логически неправильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) не имеет места.

4)(pq), rºТ⊨Ø(pºr)

(Прочтем схему рассуждения: из р или qследует логическая ложь, аrэквивалентна логической истине. Следовательно, р иrне эквивалентны.)

В этой схеме умозаключения две посылки: (pq), rºТ.

Заключение:Ø(pºr)

Число переменных в схеме умозаключения: n=3 ( иТ не переменные, а (с точностью до наоборот) константы – за этими символами закреплено только одно значение,лиисоответственно).

Число строк в таблице: 2ⁿ, т.е. 2³, т.е.8.

Проверяем, есть ли такая оценка параметров р, q и r, для которой верно:((p  q)  )=и, (r ºТ)=и, (Ø(pº r)) =л

Функции оценки переменных	p	q	r		Т	p  q	(p  q)  	r ºТ	⊨	рr	(рr)
1	и	и	и	л	и	и	л	и		и	л
2	и	и	л	л	и	и	л	л		л	и
3	и	л	и	л	и	и	л	и		и	л
4	и	л	л	л	и	и	л	л		л	и
5	л	и	и	л	и	и	л	и		л	и
6	л	и	л	л	и	и	л	л		и	л
7	л	л	и	л	и	л	и	и		л	и
8	л	л	л	л	и	л	и	л		и	л

Анализируя таблицу, принимаем в расчет только значения под главными знаками формул (т.е. промежуточные вычисления: pq и рr, - не учитываем).

Анализ таблицы: не существует оценки переменных р, q и r , при которой все посылки истинны, а заключение – ложно.Вывод: схема умозаключения логически правильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) имеет место.

Гл.3 Упр.20

1)Неверно, что он знает английский и французский. Значит, французским он не владеет.

В этом умозаключении одна посылка:Неверно, что он знает английский и французский.

Значит–шаг вывода.

Заключение:Французским он не владеет.

Найдем структуру умозаключения. В его составе два простых высказывания.

простые предложения, входящие в состав умозаключения	символизация
Он знает английский.	p
Он знает французский.	q

Структура посылки:(рq)

Структура заключения:q

Структура умозаключения:(рq)⊨q

Проанализируем структуру умозаключения таблично.

функции оценок переменных pиq	p	q	рq	(рq)	⊨	q
1	и	и	и	л		л
2	и	л	л	и		и
3	л	и	л	и	*	л
4	л	л	л	и		и

Анализ таблицы: существует оценка переменных р иq, при которой посылка истинна, а заключение – ложно (₃).Вывод: схема умозаключения логически неправильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) не имеет места. Следовательно, и исходное рассуждение, по которому была получена данная схема, логически некорректна.

2) Неверно, что он знает английский или французский. Значит, французским он не владеет.

Структура умозаключения:(рq)⊨q

Таблица истинности для данной структуры рассуждения:

функции оценок переменных pиq	p	q	рq	(р  q)	⊨	q
1	и	и	и	л		л
2	и	л	и	л		и
3	л	и	и	л		л
4	л	л	л	и		и

Анализ таблицы: не существует оценки переменных р иq, при которой посылка истинна, а заключение – ложно.Вывод: схема умозаключения логически правильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) имеет место; рассматриваемое умозаключение логически правильно.

3) Если сегодня воскресенье, то я высплюсь или схожу в гости. Я и выспался, и в гости сходил. Значит, сегодня воскресенье.

В этом умозаключении посылки:

(1) Если сегодня воскресенье, то я высплюсь или схожу в гости.

(2) Я и выспался, и в гости сходил.

Заключение:Сегодня воскресенье

Найдем структуру умозаключения. В его составе два простых высказывания.

простые предложения, входящие в состав умозаключения	символизация
Сегодня воскресенье.	p
Я высплюсь.	q
Я схожу в гости.	r

Структура 1-й посылки: р(qr)

Структура 2-й посылки: qr

Структура заключения: р

Структура умозаключения: р(qr), qr⊨р

Проанализируем структуру умозаключения таблично.

Функции оценки переменных	p	q	r	qr	р(qr)	qr	⊨	р
1	и	и	и	и	и	и		и
2	и	и	л	и	и	л		и
3	и	л	и	и	и	л		и
4	и	л	л	л	л	л		и
5	л	и	и	и	и	и	*	л
6	л	и	л	и	и	л		л
7	л	л	и	и	и	л		л
8	л	л	л	л	и	л		л

Анализ таблицы: существует оценка переменных р, q и r, при которой все посылки истинны, а заключение ложно (₅).Вывод: схема умозаключения логически некорректна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) не имеет места; исходное умозаключение, по которой была построена данная схема, логически неправильна.

Гл.3 Упр.21

1) – 3)В формулах из 1-3 две переменные: р и q. Построим таблицы для всех формул из 1-3.

функции оценок переменных pиq	p	q	рq	рq	рq	рq	qр	(рq)(qр)	р	рq
1	и	и	и	л	и	и	и	и	л	и
2	и	л	и	и	л	л	и	л	л	л
3	л	и	и	и	л	и	л	л	и	и
4	л	л	л	л	и	и	и	и	и	и

1)Рассмотрим отношение между строгой и нестрогой дизъюнкцией:pvq - pvq.

(а) pvq|pvq(при₁имеем₁(pvq)=и,₁(pvq)=л)

(б) pvq|=pvq(нет оценки параметров р и q, при которой посылка (pvq) истинна, а заключение pvq– ложно.)

Из (а) и (б) и следует, что строгая дизъюнкция логически сильнее нестрогой, структура pvqлогически подчиняетсяpvq.