Логический статус формул

В логической теории классическая логика высказываний (сокращенно - КЛВ) все формулы – структуры предложений – разбиваются на три непересекающихся класса:

• логические законы (=тождественно-истинные формулы)

• логические противоречия(=тождественно-ложные формулы)

• логически недетерминированныеформулы.

Формула А есть закон КЛВ, илилогический закон, е.т.е. она принимает значение «истина», при любой оценке переменных, входящих в ее состав. (Менее строго: логические законы – это такие структуры (предложений), которые могут порождать только истинные предложения; ложных предложений таких структур не существует.)

Формула А есть логическое противоречие, илитождественно-ложная, е.т.е. она принимает значение «ложь», при любой оценке переменных, входящих в ее состав. (Менее строго: логические противоречия – это такие структуры (предложений), которые могут порождать только ложные предложения; истинные предложения таких структур не существуют.)

Формула А есть логически недетерминирована, е.т.е. существует оценка переменных, входящих в ее состав, при которой она истинна, и существует оценка переменных, при которых она принимает значение «ложь». (Менее строго: логически недетерминированные формулы – это такие структуры (предложений), которым соответствуют как истинные предложения естественного языка, так и ложные.)¹⁰

Терминологически также выделяются структуры, которые могут породить хотя бы одно истинное предложение. Такие структуры называются выполнимыми. Более строго: формулавыполнима, е.т.е. существует оценка переменных, входящих в ее состав, при которой формула принимает значение «истина».

Упражнения

13. Что вам подсказывает ваша интуиция, каков логический статус нижеследующих формул – логический закон (ЛЗ), логическое противоречие (ЛП) или логически недетерминированная формула (ЛН)? Заполните первый столбец таблицы.

Теперь установите логический статус формул с помощью таблиц истинности, заполните второй столбец таблицы получившимися результатами и сравните их.

Формула	Интуитивно определённый статус	Таблично определённый статус

1. ⁺ Ø(pq)º(ØрØq)

2. ⁺ ^ É p

3. ⁺Ø(р & q)º(q& р)

4. ⁺ ((рÚØq)r)É(q &r)

5. p É T

6. ^

7. T

8. (р & q) º(q& р)

9. (р Éq)º(qÉp)

10. Ø(p&q)º(Øр &Øq)

11. p & (q & Øр)

12. ((р Ú (q Ú r)) º ((р Ú q) Ú r)

13. Ø(pÉq)º(р &Øq)

14. ((р Éq) & (рÉr))((ØqÚØr)ÉØp)

15. ((рÚqÚr) º s) É ((pºs) & (qºs) & (rºs))

16. Ø((TÉs)Ú(^É^))

14. Используя законы ассоциативности для & и Úопустите максимальное число скобок в формулах.

(a) ⁺ (((рÚ(q & r))Úq)Ú(((s&r)Úp)&q₁)) É (((p&s) & (q&s)) & (rÚs))

(b) ((р Ú (q & r)) Ú (s&(r&s₁))) É (((p &s) & (q &(rÚ s)) & (r Ú s))

(с) (((р&(q & r)) Ú (s&(r&s₁))) É (((p &s) & (q Ú (rÚ s)) & (r Ú s)))&p₁

15. Для следующих формул решите вопрос об их логическом статусе (является ли каждая из них тождественно-истинной, тождественно-ложной или логически недетерминированной), не строятаблицы истинности.

(a) (Ø((sÉ(рÚØq))É((q&r)Ú^)))&((sÚr)&(^&p))

(b) (((q&r)Úr₁))&((sÚr)&(p₁₂&p))) ((p₁₂r)((Tp₁₂)&(T)))

(с) (p&r&r₁&r₂&r₃)(((pp₁)&(p₂r₃))((sp)&(rq)))

(главный знак в формуле (с) – первая слева дизъюнкция)

Если истинность или ложность высказываний зависит не только от понимания логических связок (от логики), но и от фактов (от значения параметров), высказывание относим к логически недетерминированным. Скажем, предложение «Сегодня холодно и морозно» логически недетерминировано, т.к. его структуре – рq – соответствуют как истинные предложения, так и ложные. В высказывании «сегодня вторник и не вторник», напротив, от фактов (какой именно день недели) ничего не зависит: высказывание ложно, независимо от дня недели, в который оно произносится, поскольку его структура - рр - порождает только ложные предложения. Тогда говорим, что высказывание логически противоречиво. Если структура высказывания – закон логики, тогда это высказывание логически истинно. Если от фактов ничего не зависит, и структура предложения порождает высказывания только одного типа только истинные или только ложные, тогда говорим, что высказывание логически детерминировано.

16. Что вам подсказывает интуиция: значения (истина или ложь) следующих предложений зависят от фактов (т.е. являются логически недетерминированными) или в следующих предложениях от фактов ничего не зависит, а их (предложений) значения целиком определяются их структурой, т.е. (а) истинны в силу структуры (б) ложны в силу структуры; (в) они логически недетерминированы. Сначала решите, что вам подсказывает интуиция, затем установите ответ, проанализировав их структурную информацию с помощью таблиц истинности (т.е. найдите структуру предложения и проанализируйте ее как в упражнении 13.)

1. ⁺ Если неверно, что не знаешь английский, французский и немецкий, значит, ты знаешь эти языки.

2. Москва – столица России или Португалии.

3. Если верно, что Москва – столица Португалии, тогда верно, что она столица Португалии или России.

4. Либо если идет снег, то жарко, либо если жарко, то идет снег (или и то, и другое)¹¹.

5. Неверно, что если сегодня – четверг, то сегодня четверг.

6. Если на лекции не было Р.Раскольникова или Д.Разумихина, значит неверно сказать, что на лекции присутствовали Р.Раскольников или Д.Разумихин.

7. Дождь пойдет в том и только в том случае, если я возьму с собой зонтик, хотя неверно, что если я беру с собой зонт, то дождь пойдет.

8. То, что она изучает латынь или (2-й вариант) и латынь, и древнегреческий эквивалентно тому, что она изучает латынь.¹²