Упражнения

1. Являются ли данные последовательности символов формулами языка КЛВ? Если нет, то укажите, где ошибка (ошибки).

1. T

2. Tp

3. T&p

4. p₁₂₇

5. q₅₊₇

6. r₄&s₇

7. Ø^

8. (Ø^)

9. Ø

10. É

11. É(рÉ)

12. sÉ

13. Éq

14. rq₄₄

15. (ØрÉÉq)&(Ø(q(Úp))

16. (Øр,q)Ø(qÚp)

17. (ØØØ(ØрÉq)&Ø(qÚp)

18. (ØрÉq)ÚØ(qÚp)(рÚØq)É(q&r)

19. (р Ú Øq) É (q &(s& r))

20. (&p&q)

21. (^^^)

2. Для следующих формул укажите их главные знаки и все их подформулы. Постройте их нагруженные деревья.

(a)Øр&q

(b)Ø(р&q)

(c)⁺ Ø(p⊃Øq)⊃((s≡r)(s≡q))

(d)Ø(Ø(Øрq)&Ø(qÚp))

(e)ØØ(Øрq)&Ø(qÚp)

3. В каких из нижеследующих предложений союзы «и», «но», «а» соответствуют конъюнкции КЛВ?

(a) Сегодня у нас 2 пары английского и одна пара математики.

(b) Тогда я решил: умру, но выучу хеттский язык!

(c) Встретились баба с пустыми ведрами и черная кошка, обе скончались на месте.

(d) Саша и Таня одного возраста.

(e) Саша и Таня – студентки.

(f) Если мы поможем ему, то и он нам тоже.

(g) Он заболел и умер.⁴

4. Укажите несколько предложений русского языка (необязательно истинных), которые имеют следующую логическую форму

1. Øp

2. p&q

3. pÚq

4. ØpÉq

5. p º(rÚØs)

6. (pÉr)&(ØpÉs)

7.  (p&q)&(sp)

Тема 2: От предложений естественного языка к их структурам (перевод предложений на яклв)

Пояснения и примеры

Для того, чтобы правильно перевести предложение на язык классической логики высказываний, т.е. найти его структуру с точки зрения ЯКЛВ надо, во-первых, чтобы результат вашего переводабылформулой ЯКЛВ; и уже во вторую очередь чтобы эта формула действительно соответствовала структуре рассматриваемого предложения.

В процедуре определения структуры предложения(с точки зрения ЯКЛВ) можно выделить следующие последовательные шаги.

(1) Выделяем все простые предложения, входящие в состав данного предложения.

(2) Для каждого из этих предложений вводим свой символ (свою пропозициональную переменную).

(3) Соединяем их так, чтобы отобразить смысл исходного предложения. (Иногда надо переформулировать предложение, чтобы стала очевидна его логическая структура.)

Структуры предложений без условной связи

Пример 1 Предложение: "И ты, и я знаем японский язык".

(1) В состав этого предложения этого предложения входят два элементарных:

- "ты знаешь японский язык"

- "я знаю японский язык".

(2) Введем для них (какую-нибудь) символизацию:

- "ты знаешь японский язык" – p,

- "я знаю японский язык" – q.

(3) В предложении утверждается истинность обоих простых предложений, поэтому его структурой является формула p&q.

Невернобыло бы в качестве итоговой формулы выписать такую:&p&q. Эта записьвообще не является формулой,и мы не сможем ее анализировать, не сможем с ней работать (а языковые структуры вводятся, как вы могли догадаться, не ради удовольствия, а ради изучения их свойств, классификации и проч.). Хотя в русском языке, как и в некоторых других, допустима конструкция с двойным "и": "И А.С.Пушкин, и М.Ю.Лермонтов знали французский" или с "ни": "Ни Чехия, ни Словакия не являются монархиями."

Пример 2 Ни Чехия, ни Словакия не являются монархиями.

простые предложения, входящие в состав предложения	их символизация
Чехия является монархией.	p
Словакия является монархией.	q

Предложение 2 явным образом содержит два отрицания и неявно – соединительное "и" (Чехия неявляется монархией,и Словакиянеявляется монархией), поэтому формулой, соответствующей структуре данного высказывания, является:p&q.

Пример 3Или я ничего не понимаю в людях, или он нас обманывает.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я ( хотя бы кое-как) разбираюсь в людях.	p
Он нас обманывает.	q

Как и в примере 1, неверен вариант: pq. Опять, хотя в русском языке допустимо употребить два "или", как в нашем примере, в языке логики высказываний это недопустимо: результат не будет осмысленной последовательностью символов (формулой). Связкасоединяет две формулы, которые располагают слева и справа от нее. р,q– формулы (по определению), значитpq– тоже формула, ноpq– не формула. Превратить эту запись в формулу можно, заполнив место перед первой дизъюнкцией: …pq(например,spq); но тогда результат перевода не отразит структуру исходного предложения) или убрав первую дизъюнкцию.

Правильный вариант: pq.

Пример 4Брюссель, Амстердам и Париж расположены в Западной Европе.

простые предложения, входящие в состав предложений 7, 8	символизация
Брюссель расположен в Западной Европе.	p
Амстердам расположен в Западной Европе.	q
Париж расположен в Западной Европе.	r

Если в формуле несколько подформул соединены конъюнкцией, например, так: ((А₁&А₂) &А₃)&А₄, - расстановка скобок не имеет значения. Данная формула несет ту же информацию, что и (А₁&А₂)&(А₃&А₄), и А₁&(А₂&(А₃&А₄)), и (А₁&(А₂&А₃))&А₄) (это утверждение обосновывается ниже в одном из упражнений). Поэтому в таких конструкциях скобки можно вообще опустить.

То же самое верно для дизъюнкции и для эквиваленции.

С учетом этого замечания структура примера 4определяется так:p&q&r.

Пример 5Из следующих городов: Екатеринбург, Новосибирск, Одесса, Житомир, - по меньшей мере один расположен в Европе.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Екатеринбург расположен в Европе.	p
Новосибирск расположен в Европе.	q
Одесса расположена в Европе.	r
Житомир расположен в Европе.	s

Выражению по меньшей мере одинв данном предложении соответствует нестрогоеили.

Структура предложения 5: pq rs

Пример 6Если моя бабушка слушает Эминем, то дедушка предпочитает музыку П.Чайковского.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Моя бабушка слушает Эминем.	p
Мой дедушка предпочитает музыку П.Чайковского.	q

В этом предложении выражение если – тоне вводит условную связь (т.е. не утверждается, что из первого вытекает второе), в нем просто сообщается, что бабушка такая,а дедушка – такой.

Структура предложения 6: pq

Структуры предложений с условной связью: если - то

Структуры А₁&А₂и А₂&А₁несут одну и ту же информацию⁵, поэтому если вместо правильного варианта (скажем) p&q, вы определите структуру предложения какq&р, это не будет грубой ошибкой. То же относится к А₁А₂и А₂А₁. Но в условных структурах (если А, то В) нельзя путать условие и следствие. Действительно, одно дело сказатьЕсли N.N. был на Красной площади, значит он был в Москве, и другое –Если N.N. был в Москве, значит он был на Красной площади. Первое предложение истинно, второе – необязательно, а разница между ними только в том, что поменяли местами условие и следствие.

Следующие типы условной связи различны:

- выражение следования в одну сторону: «если…, то…», «…, если…»

- выражение следования в одну сторону «…, только если»,« только если…, …»

- выражения равносильности(«если и только если»,«эквивалентно»,«тогда и только тогда»и т.д.)

Выражение "только" в условной связи меняет местами антецедент и консеквент (по отношению к высказыванию без "только"). Сравните два предложения: "NN. придет, если его пригласят" и "NN. придет, только если его пригласят". Первое говорит, что если вы пригласилиNN., то можете быть спокойны: он придет; второе предложение утверждает: если вы увиделиNN. у кого-то в гостях, значит его точно пригласили, не сам притащился. "Только" поменяло условие и вывод импликации.

2-й вариант определения структуры условного высказывания с толькотакой: условие записывается под отрицанием и следствие тоже, но местами не меняются, т.е. записи А, только если В также соответствует формулаАВ.

Так, утверждение "NN. придет, только если его пригласят" (В, только если А) можно переформулировать как "ЕслиNN.непригласят,тооннепридет" (Если не А, то не В).

Поскольку АВ (А достаточное условие для В) эквивалентноВА, то утверждение о достаточности можно записывать и по 2-му варианту -ВА, но мы не будем в дальнейшем пользоваться этой возможностью.

Пример 7Я приду вовремя, если не попаду в пробку.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я приду вовремя.	p
Я попаду в пробку.	q

Логические связки в данном предложении: "если то" () и отрицание ().

Условие: Я не попаду в пробку.

Следствие: Я приду вовремя.

Условие помещаем до импликации, следствие – после.

Структура предложения:qp.

Пример 8Я приду вовремя, только если не попаду в пробку.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я приду вовремя.	p
Я попаду в пробку.	q

"Только" меняет местами антецедент и консеквент импликации, поэтому

структура данного предложения:pq.

Пример 9Я приду вовремя, если и только если не попаду в пробку.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я приду вовремя.	p
Я попаду в пробку.	q

"если и только если" – эквиваленция – .

Структура предложения:pq.

Таким образом,

«Если В, то А» = «А, если В»  ВА

«Только если В, (верно) А»= «А, только если В»  АВ (или ВА)

«А, если и только если В»  АВ ( или(А  В)&(ВА))

Рассмотрим 2 предложения.

Пример 10Если сегодня тринадцатое число и пятница, то мне не везет.

Пример 11 Сегодня тринадцатое число, и если сегодня (к тому же) пятница, то мне не везет.

простые предложения, входящие в состав предложений 8, 9	символизация
Сегодня тринадцатое число.	p
Сегодня пятница.	q
Сегодня мне везет.	r

Некоторые студенты определяют структуру предложения 8 так: p&qr. Это неверно, т.к. записьp&qrне является формулой, поскольку она допускает двоякое прочтение: либо (p&q)r, либоp&(qr). (Сравните с арифметической записью 4-3-1. В каком порядке производить вычисления? Без расстановки скобок, ответа на этот вопрос нет⁶).

Далее, предложениям (1) и (2) соответствуют разныеформулы, т.к. элементарные предложенияp,qиrпо-разному соединены в предложениях (1) и (2). В самом деле, первое предложение говорит о том, что кому-то не везет (¬r) если в наличии оказываются два условия: нынче 13-ое число и, кроме того, пятница (p&q). О том, в какой день (в какое число) произносится данное предложение, мы – в первом предложении – не знаем, поэтомуструктура примера 10 имеет вид(p&q)⊃r. Второе предложение сообщает, что оно формулируется 13-ого числа (p),и (&) далее сообщает, что имеется условная связь: если этот день выпал на пятницу (q), то кому-то (автору предложения) в этот день не повезет (¬r). Откуда получаем, чтоструктура предложения 11:p&(q⊃r).

Пример 12Если я не опоздаю, то объясню тебе задание, если разберусь в этом материале и у меня будет свободное время.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я опоздаю.	p
Я объясню тебе задание.	q
Я разберусь в этом материале.	s
У меня будет свободное время.	r

В этом предложении

условия:

Я не опоздаю;

Я разберусь в этом материале, и у меня будет свободное время;

и следствие:

Я объясню тебе это задание.

Второе из условий, разумеется, состоит из двух, но мы выделяем как одно условие предложение, которое введено с помощью если.

В записи А В до импликации помещается условие, после – следствие.

Структура предложения 12: p((sr)q)

Расстановка скобок (p(sr))qневерна!

Если непонятно почему, прочитайте эту структуру в соответствии с введенной символизацией. Получится так: "Я объясню тебе задание (q), если из того, что я не опоздаю(p)следует(), что я разберусь в материале и у меня будет свободное время", т.е. я объясню тебе задание, если ты мне докажешь, что из чего-то что-то следует. Как видите, на выходе получается предложение с другим (странным) смыслом.

2-й возможный вариант структуры примера 12 получим, если «соберем» все условия с помощью «и» (&), заключим их в скобку и поместим до импликации, а следствие – после:(p&sr)q.

2-й вариант менее точно отражает структуру примера 12, но формулы p((sr)q) и(p&(sr))qнесут одну и ту же информацию – логически эквивалентны (пока выражениелогически эквивалентныпусть означает для васв некотором смысле одно и то же; строгое определение понятия логической эквивалентности дается в теме 3 (разве что вы изучали логику и запомнили это определение)).

Если вариант 2 кажется вам проще и понятнее, определяйте структуру предложений типа примера 12 как в варианте 2.

Неверно в качестве структуры примеру 12 сопоставить формулуp(q(sr)) или (p&q)(sr), поскольку в этих формулах условие (sr) поставлено на место следствия (после импликации), а следствиеq– на место условия (до импликации).

Пример 13Если завтра суббота или воскресенье, то я высплюсь, если сосед сверху не будет петь, а снизу – продолжать ремонт.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Завтра суббота.	p
Завтра воскресенье.	q
Я высплюсь.	s
Сосед сверху будет петь.	r
Сосед снизу продолжает ремонт.	r1

В этом предложении

условия:

Завтра суббота или воскресенье;

Сосед сверху не будет петь, а снизу – продолжать ремонт;

и следствие:

Я высплюсь.

Структура предложения 13: (pq)  ((r&r₁)  s).

2-й вариант структуры примера 13: ((pq) & (r&r₁))s.

Пример 14 Если монета станет ребром, я пойду на занятия и даже послушаю преподавателей, если, кроме того, погода будет хорошей и у меня не будет плохих предчувствий.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Монета станет ребром.	p
Я пойду на занятия.	q
Я буду слушать, что говорят преподаватели на занятиях.	r
Погода будет хорошей.	s
У меня плохие предчувствия.	p1

Структура предложения: p((sp₁)(q&r)).

Или так: (p&sp₁)(q&r).

Расстановка скобок (p((sp₁))(q&r) неверна!

Пример15Если верно, что если ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой), ты болеешь за их противников, значит ты шотландец.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой).	p
Ты болеешь за противников англичан.	q
Ты шотландец.	r

А в этом предложении ситуация такая: ты шотландец, если из чего-то что-то следует, т.е. следствие – Ты шотландец, а условиеЕсли ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой), ты болеешь за их противников.

Структура предложения: (pq)r.

Расстановка скобок p(qr) неверна.

Пример 16Если монета станет ребром, я пойду на занятия, если, кроме того, погода будет хорошей и у меня не будет плохих предчувствий, в противном случае [т.е. если все-таки выпадет орел или решка] я пойду на ипподром или же останусь дома и предамся размышлениям о смысле жизни.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Монета станет ребром.	p
Я пойду на занятия.	q
Погода будет хорошей.	r
У меня плохие предчувствия.	s
Я пойду на ипподром.	p1
Я останусь дома.	q1
Я буду размышлять о смысле жизни.	r1

Структура предложения: (p((r s)q))& (p(p₁  (q₁&r₁))

Пример 17Если ты знаешь английский, немецкий, французский, итальянский, испанский, польский, китайский, японский и русский языки, ты полиглот.

С учетом замечания об опускании скобок, структуру примера 17 можно выразить так на ЯКЛВ (символизацию восстановите сами) (p&q&r&s&p₁&q₁&r₁&s₁&p₂ )q₂.

Пример 18Я поеду в январе в Египет, разве что завалю сессию.

Это предложение без изменения смысла можно переформулировать так: Если я не завалю сессию, я поеду на Мальту.

Выражение разве чтовводитусловие с отрицаниеми может быть заменено наесли не.

разве что = если не

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я поеду в январе на Мальту.	p
Я завалю сессию.	q

Структура примера 18:qр.

Пример 19 Если я пью кофе, я бодр и радостен, разве что кто-то нахамил или подложил свинью.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я пью кофе.	p
Я бодр.	q
Я радостен.	r
Кто-то мне нахамил.	s
Кто-то подложил мне свинью.	s1

В этом предложении два условия: первое введено с помощью если(«Я пью кофе»), второе с помощьюразве что(«Кто-то нахамил мне или подложил свинью») и, значит, есть условие с отрицанием; следствие: «Я бодр и радостен».

Структура примера 19 (1-й вариант):р((s s₁)(q&r)).

Невернобыло бы поместить отрицание перед каждой переменной, т.е. вместо(ss₁) записать (ss₁). Во-первых, эти формулы несут разную информацию⁷. Во-вторых,А разве что ВозначаетЕсли не В, то А. Значит, отрицание должно стоять перед всем предложение В, а не перед какими-то его составляющими.

Менее точную структуру предложения 19 получим, если соберем обе посылки с помощью «и» (&), проотрицав вторую (из-за разве что), поместим их до импликации, следствие - после.

2-й вариант структуры примера 19: (р &(s s₁))(q&r).

*

Не всякому сложноподчиненному предложению будет соответствовать составная формула (со связками). Например, предложение Она сказала, что занята, не разбивается на составные в нашей системе анализа (с помощью имеющихся у нас связок: и, или и т.д.), поэтому при определении его структуры единственный правильный вариант – заменить все предложение одной пропозициональной переменной (р,qи т.п.).

достаточное условие, необходимое условие, необходимое и достаточное условие

Предложениям, в которых составные части связаны с помощью выражений необходимое условие,достаточное условиеилинеобходимое и достаточное условие, соответствуют структуры с условной связью. В нашем языке и теории, которая будет построена ниже на его основе, таким предложениям сопоставляются формулы с импликацией –. (Такое сопоставление в развиваемой ниже теории будет иметь некоторые интуитивно неестественные следствия, о которых будет сказано в следующей теме.)

достаточное условие

То, что А является достаточным условиемдля В, означает чтоеслинаступает А,тонаступает и В, и в нашем формальном языке выражается структуройА  В.

Пример 20 Две чашки эспрессо утром являются достаточным условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я выпиваю две чашки эспрессо утром.	p
Я бодр в течение дня.	q

Структура примера 20:р  q.

Пример 21 Неверно, что две чашки эспрессо утром являются достаточным условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

Символизация - из прошлого примера.

Структура примера 21:(рq).

Варианты рq и рq неверны: в примере 21 отрицание относится ко всей конструкции сесли - то.

необходимое условие

То, что А является необходимым условиемдля В, означает чтоесли ненаступает А,то нет и В, и в нашем формальном языке выражается структуройАВ. Последняя формула эквивалентнаВ  А.

Пример 22 Две чашки эспрессо утром являются необходимым условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

Символизация - из примера 20.

Структура примера 22:

1-й вариант: рq;

2-й вариант: q  р.

необходимое и достаточное условие

А является необходимым и достаточным условиемдля В означает, таким образом, верность двух импликаций:ВАиАВ. Введя символ для «и», получаем (ВА)&(АВ). Последняя формула логически эквивалентнаА  В. (Иногда выражение АВ рассматривают просто как сокращение для (ВА)&(АВ).)

Пример 23 Потеря сознания - необходимое и достаточное условие для того, чтобы я пропустил финал чемпионата мира или Европы по футболу.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я потерял сознание.	p
Я пропустил финал чемпионата мира по футболу.	q
Я пропустил финал чемпионата Европы по футболу.	r

необходимое и достаточное условие –

или –

Структура примера 20: р  (q  r).

Пример 24 Радостная новость – достаточное, но необходимое условие для того, чтобы Пал Палыч напился.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
У Пал Палыча радостная новость.	p
Пал Палыч напился.	q

Предложение 24 говорит, что если у П.П. радостная новость, он напивается (рq) (достаточность), в то же время неверно, что если П.П. напился, то обязательно по причине радостной новости -(qр) (не необходимость).

Структура примера 24: (рq)&(qр).

Выше было рассмотрено, как в языке логики высказываний можно выразить информацию о том, что А необходимое и/или достаточное условие для В. Такое представление в изучаемой ниже теории окажется слишком широким, т.е. некоторыепредложения видаЕсли А, то В,А только если В,А необходимое/достаточное условие для Вбудут истинными с точки зрения построенной логической системы, но их будет трудно назвать истинными с точки зрения содержательной теории или здравого смысла. Правдани одно ложное с точки зрения построенной логической теории предложение не окажется истинным (с какой бы то ни было (осмысленной) точки зрения).

Резюмируем некоторые

соответствия между записями с параметрами в естественном языке и формулами

запись с параметрами в естественном языке	формульное соответствие
А и В	A&B
И А, и В
Как А, так и В
А или В	АВ
Или А, или В (или и то, и другое)
А, либо В
А1 и А2 и … и Аn	А1&А2&… &Аn
А1 или А2 или … или Аn	А1 А2  …  Аn
Если А, то В	А  В
В, если А
А достаточное условие для В
Только если А, (верно) В	ВА или А  В
В, только если А
А необходимое условие для В
А, если и только если В А, тогда и только тогда, когда В	А  В или (А  В)(ВА)
А необходимое и достаточное условие для В
А, разве что В	 В  А

Резюмируем

наиболее часто встречающиеся ошибки при определении структуры высказываний.

Криминал:«вообще не формула»   
Тип структуры	Неправильный вариант(ы), вообще не формула	Правильный вариант
И А, и В	&A&B	A&B
Или А, или В	АВ	АВ
Если А, то В	 (АВ);  АВ	АВ

Для сравнения представьте, что вам предложили поработать со следующими записями: (х+²)-у=+ или6у=12. Вы поймете, что кто-то совсем плохой, поскольку эти записи вообще не имеют смысла, они не являются правильно построенными арифметическими выражениями. (Ну, так не будьте такими же «совсем плохими».)

Ошибка: формула, но «не та»
Тип структуры	Неправильный вариант	Правильный вариант
А, если В	А В	В А
А, только если В	А В	А В
А, только если В	В А	А В
Если А, то В, если С.	А (ВС) или (А В)С	А (СВ) или (А С)В