Metodichki / Векторная алгебра

				m				2																n		3,																																																																																						m									3																				n						2,
3)													2				,																													(														m					,			n				)							;							4)																																													3			,
																																																																											4
											2
(	m			,		n		)							;
											3																																																																3																																																																								5
				m				1,							n							3																																																																														m											3,																		n			2,
			5)																												2												,			(										m								,		n			)														;			6)																																																	(	m	,	n	)										;
																																																																											4																																																																				6
					m			4,									n					2																																																																														m											3,																		n			2,
				7)																																3								,		(														m					,			n				)													; 8)																																																		(	m	,	n	)											;
																																																																											3																																																																				6
				m				5																n		1,																																																																																									m																										n						4,
9)													2			,																																								(		m						,		n				)														;		10)																																													3		,
																																																																											4
											2
(	m			,		n		)							.
3.2.											4						Найти																													координаты																																								и																	модуль																															векторов:								a									,
																																																																																																																																																				b
(	a	2							b	) (3								a				4						b						).
													1)								a																					3																					k						,									b
																							2i																															j																												i								2j 5k ;
													2)								a																																																,
																																																					2k																									b
																							3i																							j																																				i								5j 4k ;
													3)								a												2																																		,											b
																																																							k
																							i																										j																																	3i													6j k ;
													4)								a																																															,																						3																												;
																																																							k																						b																														k
																							4i																									j																																		i																			j
													5)								a												2																																					,
																																																							5k																							b
																							i																								j																																			2i															4j 3k ;
													6)								a
																																																															4k											,			b																																	2k														;
																							2i																																	j																									i																						j
													7)								a																					2																																,																				5																															;
																																																															3k
																																																																													b																																		7k
																							i																																			j																							3i																										j
													8)								a																					6																														,																						4																														;
																																																															k															b																																	k
																							7i																																j																										2i																													j
													9)								a																					2																															,																																																		;
																																																															3k
																																																																														b																											2k
																							i																																			j																							5i																					j

10)a i 3j 5k , b 2i j k ;

3.3.Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах

AB и CB, высоту, опущенную на сторону, совпадающую с CB и площадь треугольника ABC, если:

1)A1;3; 1 , B 9; 4; 1 , C 4; 0; 5 ;

2)A 3;1;8 , B 2;1; 4 , C 0; 5; 1 ;

3)A 8; 3;5 , B 6;1; 4 , C 2; 5; 3 ;

4)A 4; 0;3 , B 2;3;5 , C 6; 2; 1 ;

5)A 2; 1; 7 , B 5; 4;3 , C 0;1; 2 ;

6)A 1; 2;1 , B 1; 4; 5 , C 6; 3;1 ;

7)A 3; 5; 4 , B 1; 4; 2 , C 2;1; 0 ;

21

8)A 5; 2; 4 , B 3; 1; 3 , C 0; 6; 2 ;

9)A 7; 0; 2 , B 5; 3;1 , C 2; 4;8 ;

10)A 1; 2; 4 , B 2;3; 5 , C 7;1; 6 .

3.4.Найти m n .

1)

m

2,

n

3,

m

n

5;

2)

m

4,

n

2,

m

n

6;

3)

m

2,

n

4,

m

n

5;

4)

m

3,

n

5,

m

n

4;

5)

m

1,

n

4,

m

n

2;

6)

m

8,

n

2,

m

n

3;

7)

m

4,

n

3,

m

n

3;

8)

m

2,

n

3,

m

n

1;

9)

m

4,

n

6,

m

n

5;

10)

m

5,

n

3,

m

n

8;

3.5. Являются ли векторы коллинеарными или ортогональными ?

1)

a

2i 4j 6k ,

b i 2j 3k ;

2)

a

2

,

6k

b

i

j

3i

2j 4k ;

3)

a

2

k

,

3i

j

b 3i

2j k ;

4)

a

5

,

b

;

4k

4i

j

5i

j

5)

a

i

2j 4k ,

b 5i j 2k ;

6)

a

4i

6j 2k , b 2i

3

j

k ;

7)

a

4

,

6

;

6k

b

9k

2i

j

3i

j

8)

a

3

,

2k

b

4k

;

i

j

3i

j

9)

a

6

,

8

;

4k

b

7k

5i

j

4i

j

10) a 4i 2j 3k , b 2i k .

3.6.При каком значении , точки A, B, C, D лежат в одной

плоскости?

1)A 4; 6;3 , B 5; ; 6 , C 4; 4; 3 , D 1;3; 2 ;

2)A ; 4; 5 , B 1; 2;3 , C 1; 2; 4 , D 1;3; 5 ;

3)A1; 4; 3 , B 2; 3;1 , C 0; ;5 , D 2; 3; 4 ;

4)A 3; 1; 4 , B 2; ;1 , C 2; 2; 4 , D 1;3; 2 ;

5)A1; 4; 2 , B 1; 3; , C 2; 4; 1 , D 2; 3;1 ;

6)A 3; ; 5 , B 2; 3; 4 , C 2; 4; 0 , D 1; 4;5 ;

7)A1; 4; 2 , B 1; 4;3 , C 3;1; 4 , D 1; 2; ;

8)A ; 4; 3 , B 3; 2; 4 , C 0; 0; 2 , D 3; 4; 4 ;

9)A 2; 3; 2 , B 1; ; 4 , C 1; 3;3 , D 5; 6;1 ;

10)A 2; 4; 1 , B 0;3; 5 , C 1; ; 1 , D 5; 7; 3 .

22

3.7. Установить, компланарны ли векторы a, b, c , в случае их не компланарности выяснить, какую тройку (правую или левую) они образуют, и вычислить объем построенного на них параллелепипеда.

1)		a	(5,1, 4),	b ( 3, 5, 2),																	c		(2, 3, 1);
2)		a	(7, 2,1),			b								(3, 5, 61),									c	( 4, 3,1);
3)		a	(6,1, 3),										b					( 3, 2,1),				c		(1, 2, 4);
4)		a	(1, 1,1),						b							( 3,1, 5),							c		(2, 0, 1);
5)		a	( 2, 5,1),							b								(3, 2, 4),			c	( 4, 3,1);
6)		a	(3, 1, 2),											b				( 2,1, 3),				c		(5, 4, 0);
7)		a	(3, 2, 4),																b	( 2, 0, 5),						c	(1, 4, 3);
8)		a	(4,1, 5),		b							( 2, 4, 3),											c	(0, 2, 3);
9)		a	(2, 7,1),				b					( 3, 0, 3),									c	( 4, 3, 5);

10) a ( 3, 5,1), b (4, 2, 1), c (1, 5, 3).

										§3.3 Решение типового задания
3.1.				Вычислить								(	m		n	) (	m	2	n	)		, если известно, что:		m		2,
n		5,
			(	m	,	n	)			.
								6
				Решение:

Прежде чем вычислить модуль векторного произведения, вычислим само произведение векторов.

(m n) (m 2n)

используя свойство дистрибутивности 3. получим

m m m 2n n m n 2n

Используя свойство антикоммутативности 1. и формулу векторного квадрата

(3.2)

m 2n m n 3(m n).

Т.о. мы получили

(

m

n

) (

m

2

n

) 3(

m

n

).

Вычислим модуль

полученного выражения, используя формулу (3.1):

(

m

n

) (

m

2

n

)

3

m

n

3 2 5 sin

15.

6

(2

a

) (

a

3

),

a

3.2. Найти координаты и модуль векторов:

b

,

b

b

если

векторы

заданы

линейной

комбинацией

базисных

векторов:

a

3i

4j 2k , b

i j 3k .

Решение:

23

Для вычисления координат вектора a b будем использовать формулу (3.4):

				i				j		k
				3			4			2
a		b
				1			1			3

вычислим определитель, разложив его по элементам

первой строки:

									4	2				3			2				3					4
	c		a	b i							j							k										10i 11j 7k ;
									1	3				1			3				1	1
Или в координатной форме:															c	(10,11, 7).																						.
																							c						102 112			72
Вычислим модуль полученного вектора:																																					270
Для нахождения										координат							и	модуля									выражения						дающего вектор

(2a b) (a 3b), раскроем векторное произведение:

(2a b) (a 3b) 2(a a) 2 3(a b) (b a) 3(b b)

Используя свойство антикоммутативности и векторного квадрата, получим

7(a b) 7 c .

Подставляя в полученное соотношение координаты вектора с, получим:

(2a b) (a 3b) 7с ( 70; 77; 49).

Откуда модуль вектора:

(2a b) (a 3b) ( 70)2 ( 77)2 ( 49)2 12930.

3.3. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах

AB и CB. Высоту, опущенную на сторону, совпадающую с CB. Площадь треугольника ABC, если: A 2; 5; 3 , B 1; 4; 7 , C 1; 2;3 .

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и CB, равна модулю векторного произведения этих векторов (3.1). Вычислим координаты

AB и CB:

AB (1 2; 4 5; 7 ( 3)) ( 1; 1;10);

CB (1 ( 1); 4 ( 2); 7 3) (2; 6; 4).

																											i						j		k
Найдем их векторное произведение:																					AB		СB				1					1			10
																											2					6			4
			1	10						1	10						1	1
i						j							k								64i 24j 4k														( 64; 24; 4).
			6	4						2	4						2	6

24

Тогда S▄			AB					СB										( 64)2													242 ( 4)2																								4688		.
Площадь треугольника вычисляется как одна вторая площади
параллелограмма:
	1								1																																		.
S				S▄																														4688
												AB							СB
2				2																											2
Высота, опущенная на сторону																														CB					, вычисляется как отношение площади
параллелограмма к длине стороны:h																																							S									.
																																						CB
																																							22 62										42									.
Вычислим длину стороны																		CB				:						СВ																												56
																							.
И найдем высоту:h															4688
																56																																		m		n
							m			n															m					3,											n				5,									9.
3.4. Найти														, если

Решение:

По определению, модуль векторного произведения вычисляется по формуле

(3.1): m n m n sin(m,n). Скалярное произведение по формуле (2.1):

m n m n cos(m,n). Тогда выражая косинус и определяя через него синус угла, мы определим модуль векторного произведения.

																	m					n					9									3
cos(				m				,	n		)																											;
																	m					n						3 5					5
																																														2
																		1 cos2																									3							4
sin(m,n)																											(m,n)											1													;
																																																		5
																																											5
																																								4
	m				n								m							n	sin(					m			,	n		) 3 5									12.
																																						5				a
													3.5. Являются ли векторы
																																												3i					6j 2k ,							b i				2j 7k

коллинеарными или ортогональными?

Решение:

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю (свойство 5. скалярного произведения). Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны (3.3).

Вычислим скалярное произведение векторов а и b :

a b 3 1 ( 6) ( 2) 2 7 29 0 векторы не ортогональны. Проверим условие пропорциональности их координат:

25

	3		6		21	3
	1		2		7

координаты пропорциональны, следовательно, векторы

а и b коллинеарны.	A1; 1;1 ,	B 2; 2; ,
3.6. При каком значении , точки

C 2; 1;3 и D 0;1;3 лежат в одной плоскости?

Решение:

Точки лежат в одной плоскости, если построенные на них вектора AB,

АC и AD компланарны. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (3.6). Вычислим координаты

векторов:								AB 1;3; 1 , АC 1; 0; 2 и AD 1; 2;																																	2 .
					Приравняем к нулю смешанное произведение векторов
																			1			3			1
																			1			0					2			0
						AB			AC					AD
																			1			2					2
Раскроем определитель																			по первой строке и найдем .
		1			3		1					1					0		2		3				1		2			( 1)						1		0
		1			0
								2									2		2						1		2									1		2
			1		2		2																									16								9.
																											1						8;
4 12 ( 1) 2 0;
					3.7.																										2											a	(4,1, 3),
									Установить,													компланарны										ли				векторы
				(2, 5, 1) и											c	(1, 1,1)в											случае				их не					компланарности выяснить,
			b

какую тройку (правую или левую) они образуют, вычислить объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Решение:

Вычислим смешанное произведение векторов a, b, c :

						4	1	3		5	1			2	1		2	5
а b c						2	5	1	4				1			( 3)			34.
										1	1			1	1		1	1
						1	1	1

Из полученного результата делаем следующие заключения:

1)Смешанное произведение не равно нулю, следовательно, векторы не компланарны.

2)Смешанное произведение больше нуля, следовательно, векторы образуют правую тройку.

3) Объем

параллелепипеда

по

формуле

3.5:

V а b c 34 34ед2.

26

§4 Дополнительные задачи

1) Даны три вектора

a

i 2j 3k ,

b 3i j 4k ,

с

i

j k .

Найти координаты вектора d удовлетворяющего условиям: a d 12,

b d

17,

c

d 0.

V 15,

(d (1; 2; 3))

2.

Объем

тетраэдра

три его

вершины

находятся в

точках

A1; 2; 1 ,

B 2; 0;1 ,

C 3; 5;1 .

Найти координаты четвертой вершины

D,

если известно, что она

лежит

на оси

аппликат.

(D1 0; 0; 2 ,

D2 0; 0;8 ).

3.

Доказать

компланарность

векторов

a

,

,

c

,

зная

что

b

a

b

b

c

c

a

0.

4.

Убедившись,

что

векторы

a

7i

6j 6k

и b 6i 2j 9k

можно рассматривать как ребра куба, найти его третье ребро.

(

c1,

c

9

))

2k

2 (6i

j

5.

Даны

четыре вектора

a

(1; 2; 3),

(2; 2;1),

c

(4; 0; 3),

b

(16;10;18). Найти вектор

e

, являющийся проекцией вектора

d

d

на

плоскость, определяемую векторами

a

и

b

,

при

направлении

проектирования, параллельном вектору

c

.

(e ( 4;10; 3))

27

Библиографический список

1.Любимова О.Н., Дегтярева Н.Е. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Владивосток.: изд-во ДВГТУ, 2008г. - 167с.

2.:Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. С-Петербург.:

Профессия, 2006. – 200с.

3.Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2001. -160с.

Содержание

§1.1 Векторы. Линейные операции над векторами. Деление		3
отрезка в данном отношении.
§1.2	Практикум.	5
§1.3	Решение типового задания.	8
§2.1 Скалярное произведение векторов		11
§2.2 Практикум.		12
§2.3 Решение типового задания.		14
§3.1	Векторное и смешанное произведение векторов.	18
§3.2 Практикум.		19
§3.3 Решение типового задания.		22
§4. Дополнительные задачи		25
Библиографический список		26
Содержание		27

28

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Методические указания Составители: Дегтярева Н.Е. Корректор:

Технический редактор Подписано в печать . Формат Печать офсетная. Усл.печ.л. Уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Заказ

__________________________________________________________________

Издательство ДВГТУ.690650, Владивосток, Пушкинская, 10 Типография издательства ДВГТУ, 690650, Владивосток, Пушкинская, 10

29