Metodichki / СЛАУ

	1		1 ~
Для решения системы определим обратную матрицу по формуле A				A,

~

где A- присоединенная матрица системы, состоящая из алгебраических дополнений основной транспонированной матрицы:

	~	A11	A21	A31
		A	A	A	.
	A
		12	22	32
		A	A	A
		13	23	33

Напомним, алгебраическим дополнением называется выражение вида

Aij ( 1)i j Mij, где Mij минор, получаемый из основного определителя

удалением из него i-ой строки и j-го столбца. Найдем Aij

A11	1 1	5										3						2,
	( 1)					1						1
A13	1 3				1						5							4,
	( 1)				1							1
A ( 1)2 2										2		1		1,
22										1		1
A ( 1)3 1						4								1						7,
31							5					3
A ( 1)3 3								2				4								6.
33								1				5

Обратная матрица имеет вид:

A12	1 2	1						3			2;
	( 1)	1						1
A ( 1)2 1					4					1						3;
21							1		1
A ( 1)2 3						2			4							2;
23						1			1
A ( 1)3 2							2		1			5;
32							1		3

		1		2		3	7
A	1				2	1	5
									. Убедимся в
			8
				4		6	6

правильности ее вычисления, используя формулу: A 1 A A A 1 I :

11

	1	2		3	7			2	4 1			1	8 0		0			1 0		0
			2	1	5			1	5	3				0 8	0				0 1	0		I
	8											8
				2				1	1 1
		4			6								0 0		8			0 0		1

Матрица вычислена верно.

Используя формулу (2.4) найдем неизвестные:

					1		2		3	7				3
				1
X A					B			2	1 5						1
						8			2
							4			6 1
1			2 3 3 ( 1) ( 7) 1											1		16				2
					2 3 1 ( 1) ( 5) 1												0				0
																							.
	8													8
			4 3 ( 2) ( 1) ( 6) 1													8				1

Матричным методом система решена верно.

Ответы к вариантам:
1)	(1; 1;1),	2)	(1; 2; 1),	3)	(2;1;1),	4)	( 1; 2; 1);
5)	( 1; 1;1),	6)	(2; 1;1),	7)	(2;1; 1),	8)	( 1;1; 1);
9)	(2; 2;1),	10) ( 2; 2; 1).

12

5. Решение СЛАУ размерности n m

Рассмотрим однородную СЛАУ:

a11x1 a12x2

... a1nxn 0,

a22x2

... a2nxn

0,

a21x1

.........................................

(3.1)

a

x

a

m2

x

2

... a

mn

x

n

0.

m1 1

Данная система всегда имеет хотя бы одно решение, например тривиальное

x10 x20 ... xn0 0.

Теорема: Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг r основной матрицы системы меньше числа n её неизвестных.

Следствие: Квадратная однородная СЛАУ имеет нетривиальное

решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю.

Если ранг матрицы однородной системы равен r, то система имеет

(n r) линейно независимых	решений: X1, X2,..., Xn r, называемых
фундаментальной системой решений.
Решения X1, X2,..., Xn r	являются линейно независимыми, если ранг

матрицы составленной из координатных строк этих векторов равен (n r)

числу этих решений.
Теорема: (о	структуре решений однородных СЛАУ). Пусть
X1, X2,..., Xn r	произвольная фундаментальная система решений

однородной системы линейных уравнений. Тогда любое решение системы представляет собой линейную комбинацию решений:

	Xoo C1X1	C2X2 ... Cn r Xn r	(3.2)
Здесь Xoo	общее решение	однородной системы,	C1, C2,...,Cn r -
произвольные	постоянные, а	X1, X2,..., Xn r фундаментальная система

13

решений, (частные решения однородной системы), найденная при условии,

что свободные неизвестные		xr 1,..., xn по очереди приравниваются 1, а
остальные	при этом равны	0. Неизвестные x1, x2 ,..., xr	называются
базисными неизвестными.
Решение неоднородной системы (1.1) в общем случае определяется
следующей теоремой:
Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение
неоднородной СЛАУ определяется формулой:
	Xoн Xoo Xчн		(3.3)
где Xoo-	общее решение соответствующей однородной системы, а Xчн-
частное решение неоднородной системы.

Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.

14

6. Варианты заданий

Найти общее решение неоднородной системы уравнений методом Гаусса:

	x1 3x2 2x3 4x4 6x5 1
										14x3 13x4 х5 1
1.	4x1 5x2																																				;
		1x								5x								6x								7x									5
															3										4									5
		1
	x 1x						2			5x				3				4x							4	6x						5			3
		1
	2x x			2					x		3					3x					4				2x					5				6х		6	2
		1
2. 2x1 x2 3х3 x4 2x5 х6 3;
	x 2x							2		7x						3		3x							4	4x							5		2х		6	4
		1
	x1 x2 3x3 2x4 5x5 2
																									2x5									1
3.	2x1 x2 5x3 4x4
		x 2x							3x							4x									3x										;
				2							3											4								5				3
		1
	x x		2													2x					4				x		5				7
		1
	4x 3x					2				x		3					x					4			x				5					3
		1
4.		x1 3x2																x4 2x5 2 ;
		x 5x					2			2x					3			2x							4	6x								5	7
		1
	2x1 x2 3x3 2x4 5x5 4
																																		2
5.	x1 3x2 6x3 3x4 3x5
		x 3x												x											2x									1		;
				2																4									5
		1
	x 5x			2					2x			3				2x							4			2x					5				5
		1
	x1 x2 2x3 3x4 5x5 1
																									3x5									2
6.	x1 x2 x3 2x4																																			;
		2x x								3x							x								7x									4
					2							3							4									5
		1
	2x 3x					2				5x			3					4x						4		x		5						3
		1

15

	2x1 x2 3x3 2x4 5x5 4
			x1 3x2 6x3 3x4 3x5																												2
7.
			x 3x											x								2x										;
						2														4							5			1
			1
			x 5x			2		2x			3			2x							4		2x					5				5
			1
	2x1 1x2 3x3 2x4 5x5 4
8.	x1 3x2 6x3 3x4 3x5 2
		x 3x										x								2x												;
				2												4								5			1
			1
	x 5x			2		2x			3		2x							4			2x				5				5
			1
	x1 2x2 4x3 7x4 3x5 1
																														0
9.	2x1 x2 x3 3x4 4x5
		x								2x											5x											;
																	4								5			2
			1
	4x x				2		x			3			x						4		3x					5			4
			1
	2x 3x						2	5x				3			4x							4	x						5			1
			1																													2 .
10.			x1		x2			x3							2x4								3x5
			x x				2	2x					3		3x							4	5x							5		5
			1

16

7. Решение типового варианта

1. Найти общее решение неоднородной системы уравнений

x1 x2 x3 x4 4
	x2	2x3 3x4		8
x1						20.
2x 4x 5x 10x					4
	1	2	3
2x 4x x 6x 4
	1	2	3	4

Решение: Для нахождения решения системы выпишем расширенную матрицу:

1	1	1	1	4
A 1	1	2	3	8	.
2	4	5	10	20
	4	1	6	4
2
Приведем		ее	к нижнему			треугольному виду элементарными

преобразованиями со строками. Для этого:

1)умножаем первую строку на ( 1) и складываем со второй;

2)умножаем первую строку на ( 2) и складываем с третьей строкой;

3)умножаем первую строку на ( 2) и складываем с четвертой строкой.

	1 1				1 1		4				2		2 2 2			8
1)			1 2 3 8 ,						2)
		1									2 4 5 10 20 ;
		0		2	1	4	4					0	6	3	12	12
	2			2		2	2		8
3)				4		1	6		4 .
		2
		0		2		1	4		4

Полученные результаты записываем в матрицу эквивалентную исходной:

17

1	1 1		1	4		1	1	1	1	4
A 1	1	2	3	8	~ 0 2			1	4	4
2 4		5	10	20		0 6		3	12	12
			6	4			2	1	4
2 4 1						0				4

В данной приведенной матрице если все элементы третьей строки поделить на три, а элементы четвертой строки умножить на минус один, то они совпадут с элементами второй строки. Это означает, что три последние строки являются линейно зависимыми (выражаются одна через другую) и,

следовательно, две из них можно обнулить.

1	1	1	1	4
A 0 2		1	4	4 .
0	0	0	0	0
	0	0	0
0				0

Количество ненулевых строк (хотя бы один элемент не равен нулю) в

основной (до вертикальной черты), и в расширенной матрицах, равно двум,

следовательно,						RgA RgA			r 2, поэтому согласно теореме
Кронеккера-Капелли система совместна т.е. имеет решение.
	По приведенной матрице запишем неоднородную систему
эквивалентную исходной системе:
x	x	2	x	3		x	4	4
1								.
	2x2 x3 4x4 4

Определим количество базисных и свободных переменных. Общее число переменных системы равно четырем n 4 а r 2. Следовательно,

число базисных переменных равно двум (r 2), а число свободных переменных определим соотношением n r 4 2 2.

Согласно теореме о фундаментальном решении неоднородной системы: Xон Xoo Xчн.

18

Найдем общее решение однородной системы, которое зависит от

значения двух свободных неизвестных:

Xoo C1X1 C2X2.

По

исходной

приведенной

системе запишем

однородную:

x

x

2

x

3

x

4

0

1

.

2x2 x3 4x4 0

В

качестве

базисных неизвестных

выберем

х1, х2,

т.к. минор,

полученный

на

пересечении

первых

двух

столбцов

и строк,

M2

1

1

2

отличен от

нуля.

Свободными

являются

оставшиеся

0

2

неизвестные х3, х4.

Перенесем свободные неизвестные вправо:

	x	x	2	x	3	x	4 .
	1
		2x2 x3 4x4

Для определения частных решений X1, X2 выберем свободные неизвестные

произвольными константами.

1)Для определения Х1, например, возьмем х3 1, х4 0. Получим систему

	x x		2	1 0				,		x x		2	1		.
	1										1
	2x2 1 4 0										2x2 1
Откуда x					1	,	x	3	.
								2
		2		2			1
													T		3			1
Получили первое частное решение системы: X1																				1 0	.
																		2
															2
	2) Для определения Х2									возьмем	х3 0, х4			1. Получим систему

19

	x	x		1	Откуда x2 2, x1	3.
	1		2	.
		2x2 4

Получили второе частное решение системы: X2T																	3 2				0		1 .
Запишем общее решение однородной системы:
										3							3		C 3C
														3
																						2
											2						2			1
											1			2			1	C 2C
Xоо C1X1 C2X2 C1 2 C2														0		2				1		2	.
											1									C1
														1
											0									C2
Найдем				Хчн		-		некоторое частное решение												неоднородной системы
x	x	2		x	3		x	4	4	.
1
	2x2 x3 4x4 4
Для	этого выберем								свободные переменные								в		виде		х3 0, х4					0 и
подставим в систему. Получим:
x	x			4					Откуда x2 2,					x1 6.
1			2			.
	2x2 4
Частное решение имеет вид: ХчнТ													6	2		0	0
Убедимся в правильности вычислений, сделаем проверку																					А Хчн				В
1	1			1 1 6						1 6 ( 1) 2 1 0 ( 1) 0													4
1	1 2 3						2				1 6 1 2 2 0 3 0												8
											2 6 4 2 5 0 10 0													.
2	4 5 10 0																						20
	4
2				1 6 0						2 6 ( 4) 2 1 0 ( 6) 0													4

Вычислено верно. Окончательно имеем:

20