2. Расстояние от точки до прямой
Имеем уравнение
прямой
:
и произвольную точку
.
Прямую определяет вектор нормали
и точка
.
Расстояние от точки до прямой можно
определить как проекцию
,
т.е.
(2.1)
Если дано нормированное уравнение прямой, то
.
(2.2)
Совокупность
лежащих на данной плоскости
прямых, проходящих через точку
,
называютпучком
прямых с
центром в точке
.
Теорема.
Если
и
уравнения двух различных прямых,
пресекающихся в некоторой точке
,
а
и
произвольные неравные друг другу числа,
то
(2.3)
-есть уравнение
прямой, проходящей через точку
.
Более того, какова бы ни была наперед
заданная проходящая через точку
прямая, она определяется выше записанным
уравнением при некоторых
и
.
3. Условия параллельности и ортогональности двух прямых. Угол между прямыми
Расположение прямых на плоскости определяется по взаимному расположению их направляющих векторов или отношением угловых коэффициентов.
Пусть прямые
:
и
:
,
заданные своими
векторами нормали
и
соответственно.
1) Если
,
то
и следовательно
(3.1)
2) Если
,
то
,
значит
и
(3.2)
Если
- угол между прямыми
,
то он равен углу между векторами нормали
.
И, следовательно:
(3.3)
Пусть прямые
:
и
:
, заданы
направляющими векторами
и
.
1) Если
,
то
и
.
(3.4)
2) Если
,
то
и
,
.
(3.5)
- угол между прямыми
равен углу между векторами
и, следовательно по аналогии с (3.3)
.
(3.6)
Пусть прямые
:
и
:
заданы своими угловыми коэффициентами
.
Тогда
(рис.3.1) и
соответственно:
(3.7)
Рис.3.1
Подставляя в
формулу (3.7) значения
получаем:
(3.8)
Если рассматриваемые
прямые
и
параллельны, то они имеют одинаковый
угол наклона к оси
и их угловые коэффициенты равны
. (3.9)
Если же прямые
ортогональны, т.е.
,
то из условия, что
не определен следует
и
(3.10)
При решении задач
полезно знать формулу, связывающую
координаты нормального
и направляющего
векторов данной прямой, следующую из
их ортогональности:
,
(3.11)
Координаты могут отличаться знаками, но это всего лишь переориентация вектора.
4. Практикум
Даны три точки
и уравнения прямых
.
1) Какая из точек
принадлежит прямой
;
2) Найти точку
пересечения прямых
;
3) Уравнение прямой
проходит через точки
и
,
найти координаты вектора нормали и
направляющего вектора;
4) записать общее
уравнение прямой проходящей через точку
параллельную
и точку
ортогональной
;
5) Записать уравнение
прямой проходящей через середину отрезка
,
ортогональной к нему. Найти ее угловой
коэффициент:
6) Через точку
пересечения прямых
,
провести прямую параллельную
и ортогональную
.
1) 
,
,
, 
,
;
,
,
.
2) 
,
,
;
, 
;
, 
, 
.
3) 
,
,
;
, 
;
, 
, 
.
4) 
,
,
;
, 
;
, 
, 
.
5) 
,
, 
;
, 
;
, 
, 
.
6) 
,
,
;
, 
;
, 
, 
.
7) 
, 
, 
;
, 
;
, 
, 
.
8) 
,
,
;
, 
;
, 
, 
.
9) 
,
,
;
, 
;
, 
, 
.
10) 
,
,
;
,
;
, 
, 
.
Прямая отсекает на координатных осях
и
отрезки
и
соответственно. Найти ее направляющие
вектора и угловой коэффициент.
1)
,
; 6)
,
;
2)
,
; 7)
,
;
3)
,
; 8)
,
;
4)
,
; 9)
,
;
5)
,
; 10)
,
.
Чему равно расстояние от начала координат до прямых. Вычислить расстояние между прямыми.
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) 
, 
;
4) 
, 
;
5) 
, 
;
6) 
, 
;
7) 
, 
;
8) 
, 
;
9) 
, 
;
10)
, 
;
Выяснить как расположены прямые на плоскости: параллельно, ортогонально или просто пересекаются.
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) 
, 
;
4) 
, 
;
5) 
, 
;
6) 
, 
;
7) 
, 
;
8) 
, 
;
9) 
, 
;
10) 
, 
.