Конспекты. Blackboard / Тема 9.2 Учебное пособие по конечно-разностным методам решения краевой задачи

получим в результате подстановки точного решения u(x) дифференциальной задачи (1) в разностное

уравнение (2).

Разлагая функцию ui k=u(xi kh) в точке x=xi по формуле Тейлора, получим

ui k=

p ( kh)l ui(l) + O(hp+1); k=0; m;

X

l=0

l!

f (x ; u

)=u0(x

kh)= p 1

( kh)l ui(l+1)

+ O(hp)=

p

( kh)l 1ui(l)

+ O(hp):

X

i k

i k

i

X

l!

(l

1)!

l=0

l=1

Подставляя эти разложения в выражение (5) для погрешности аппроксимации, имеем

=

m ak

p

( kh)l ui(l)

+

m

b

p

( kh)l 1ui(l)

+ O(hp);

X X

X X

i

k=0

h

l=0

l!

k=0

k

l=1

(l

1)!

m

ak

p

hl 1ui(l) m

l 1

p

X

X

X

i= ui k=0

h

+ l=1

(l

1)!

k=0( k)

(kak =l + bk ) + O(h ):

Отсюда видно, что порядок аппроксимации будет p, еcли выполнены условия

mm

X	X
ak =0;	kl 1(kak + lbk)=0; l =	1; p:		(6)
k=0	k=0

Еcли рассмотреть второе уравнение (6) при l=1 и учесть уcловие нормировки (3), то получим

уравнение

	m
	X
	kak = 1:
	k=0
Окончательно получаем cиcтему уравнений
m	m
X	X
kak = 1;	kl 1(kak + lbk )=0; l=2; p;			(7)
k=1	k=1

которая содержит p уравнений и 2m неизвестных a1; : : : ; am; b1; : : : ; bm. Коэффициенты a0 è b0

вычисляются по формулам

m	m
X	X

a0= ak ; b0=1 bk :

k=1 k=1

Для того, чтобы cиcтема (7) не была переопределена, необходимо потребовать, чтобы p 2m. Это требование означает, что порядок аппроксимации линейных m-шаговых разностных методов не может превосходить 2m.

Итак, наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных m-шаговых методов равен 2m, а явных - 2m 1.

Для методов Адамса (4) условия p-го порядка аппроксимации (7) принимают вид

m			m
X			X
l kl 1bk = 1; l =	2; p; b0 = 1		bk :	(8)
k=1			k=1

Отсюда видно, что наивысший порядок аппроксимации m-шагового метода Адамса равен m + 1, а наивысший порядок аппроксимации явного метода Адамса равен m [13].

11

1.2.3Устойчивость и cходимоcть разностных методов

Рассмотрим наряду с (2) однородное разностное уравнение

aovi + a1vi 1 + ::: + amvi m=0; i=m; m + 1; :::

(9)

и будем искать решение уравнения (9), имеющее вид vi=qi , ãäå q - число, подлежащее определению. Тогда для нахождения q получим характеристическое уравнение разностного метода (2)

aoqm + a1qm 1 + ::: + am 1q + am=0:

Говорят, что метод (2) удовлетворяет условию корней, еcли вcе корни q1; : : : ; qm характеристи-

ческого уравнения лежат внутри или на границе единичного круга комплексной облаcти, причем на границе единичного круга нет кратных корней. Разностный метод (2), удовлетворяющий условию корней, называется устойчивым методом.

Методы Адамса всегда удовлетворяют условию корней, так как q = 1.

Имеет место следующее утверждение [13].

Åñëè 0 ih X, выполнено условие корней, jzj = vj u(xj )j ! 0 ïðè h ! 0, j = 0; m 1, и разностное уравнение (2) àаппроксимирует исходное уравнение (1), то решение разностной задачи

(2) сходится при h ! 0 к решению исходной задачи (1).

Исследование сходимости метода (2) cводитcя к анализу погрешности аппроксимации и проверке уcловия корней.

1.2.4 Многошаговые методы Адамса

Пусть требуется найти решение начальной задачи
u0 = f (x; u); x 2 [0; 1]	(1)
u(0) = u0:	(2)

Будем считать, что уже найдено несколько приближенных значений vj u(xj ) (j = 0; 1; :::; i) решения u = u(x) задачи (1)-(2) на равномерной сетке xj = jh, и нужно получить правило для вычисления очередного значения vi+1 [3]. Для вывода таких правил используем интегро-интерполяционный подход. А именно, проинтегрировав левую и правую часть уравнения (1) по промежутку [xi; xi+1],

в полученном равенстве

	xi+1
ui+1 = u(xi) +	Z	f (x; u(x))dx	(3)

xi

под интеграл вместо функции f (x; u(x)) подставим интерполирующий ее многочлен Pk (x). Дополняя известные дискретные приближенные значения fj = f (xj ; vj ) ïðè j = 1; 2; :::; i пока что неизвестным значением fi+1 = f (xi+1; vi+1), можно построить таблицу конечных разностей, служащую основой для образования интерполяционных многочленов k-ой степени для интерполирования назад из то-

÷åê (xi; fi) è (xi+1; fi+1).

При интерполировании назад из узла xi по второй интерполяционной формуле Ньютона имеем

Pk (x) = Pk (xi + qh) = fi + q4fi 1 + q(q + 1) 42fi 2+ 2!

+

q(q + 1)(q + 2)

4

3f

+ ::: +

q(q + 1):::(q + k 1)

kf

;

(4)

i 3

i k

3!

k!

4

à èç óçëà xi+1 по той же формуле получаем многочлен

~

~

q(q + 1)

2

Pk (x) = Pk (xi+1 + qh) = fi+1 + q4fi +

2!

4

fi 1+

12

+	q(q + 1)(q + 2)	4	3f		+ ::: +	q(q + 1):::(q + k 1)	4	kf		:	(5)
				i 2		k!			i k+1
3!

~

Подстановка многочленов Pk (x) è Pk (x) в равенство (3) приводит к формулам для вычисления очередного значения vi+1 âèäà

xi+1
vi+1 = vi + Z	Pk (x)dx;	(6)
xi
xi+1
vi+1 = vi + Z	P~k (x)dx:	(7)

xi

В результате применения к интегралам в (6) и (7) формулы Ньютона-Лейбница получается два семейства методов, называемых многошаговыми методами Адамса. Рассмотрим по отдельности

каждое из этих семейств.

Экстраполяционные методы Адамса-Башфорта. Чтобы подставить в (6) многочлен (4),

зависящий от переменной q = x xi , сделаем в интеграле h

в соответствии с которой

xi+1

R

Pk (x)dx замену переменной x = xi+qh,

xi

			xi+1				1
			Z			Pk (x)dx = h Z					Pk (xi + qh)dq:
			xi				0
Тогда формула (6) может быть переписана в виде
						vi+1 = vi + hIk ;															(8)
ãäå
1			q2				q3				q2				1		q4			1
Ik = Z																			i
	Pk (xi + qh)dq =	fiq +			4fi 1 + (				+			)42fi 2 +				(		+ q3 + q2)43fi 3 + +:::			=
			2				6				4				6		4			0
0		h
			1				5			42fi 2 +			3	43fi 3							(9)
		= fi +				4fi 1 +											+ :::
				2				12					8

Таким образом, на основе (8) получается следующая конечноразностная формула, определяющая

экстраполяционный метода Адамса-Башфорта:

vi+1 = vi + h fi +	1	4fi 1	+	5	42fi 2	+	3	43fi 3	+ :::	(10)
	2			12			8

Приведем наиболее простые частные случаи метода Адамса-Башфорта. k = 0; vi+1 = vi + hf (xi; vi);

h

k = 1; vi+1 = vi + 2 [3f (xi; vi) f (xi 1; vi 1)];

h

k = 2; vi+1 = vi + 12 [23f (xi; vi) 16f (xi 1; vi 1) + 5f (xi 2; vi 2)]:

Эти формулы определяют методы Адамса-Башфорта соответственно первого, второго и третьего порядков.

Проинтегрируем остаточный член Rk(x) = f (k+1)( ; u( )) !k+1(x) интерполяционной формулы

(k + 1)!

Лагранжа. Применительно к конечноразностной интерполяционной формуле (4) функция Rk(x)

преобразуется к виду

	f (k+1)	( ; u( ))
Rk (xi + qh) =			q(q + 1):::(q + k)hk+1	;	(11)
	(k + 1)!

13

т. е. можно считать величиной O(h(k+1) . Таким образом, метод Адамса, порождаемый интерполированием правой части уравнения (1) с помощью многочлена k-й степени, является методом

(k + 1)-го порядка точности (относительно шага h).

Название экстраполяционный метод связно с тем, что интерполяционный многочлен Pk (x) для равенства (6) строился по узлам, расположенным на промежутке [xi k ; xi], а применялся к отрезку

[xi; xi+1], т. е. делалось экстраполирование.

Интерполяционные методы Адамса-Моултона. В интеграле, фигурирующем в формуле

~

(7), делаем замену x = xi+1 + qh и подставляем в него выражение Pk (x), определяемое формулой

(5). Приходим к аналогичному (8) равенству

~

vi+1 = vi + hIk ;

ãäå

0				q2					q3			q2				1		q4				0
I~k = Z	P~k (xi+1 + qh)dq =	h
			fi+1q +				4fi + (				+		)42fi 1 +				(		+ q3	+ q2)43fi 2	+ +:::
					2				6			4				6		4				1
1																					i
		= fi+1			1		4fi	1		42fi 1				1	43fi 2 :::
					2			12						24

Отсюда следует конечноразностная формула интерполяционного метода Адамса-Моултоны:

=

(12)

vi+1 = vi + h fi+1	1	4fi	1	42fi	1	43fi 2	+ :::	(13)
	2		12		24

Приведем наиболее простые частные случаи метода Адамса-Моулсона. k = 0; vi+1 = vi + hf (xi+1; vi+1);

h

k = 1; vi+1 = vi + 2 [f (xi+1; vi+1) + f (xi; vi)]; h

k = 2; vi+1 = vi + 12 [5f (xi+1; vi+1) + 8f (xi; vi) f (xi 1; vi 1)]:

Первые две формулы определяют неявный метод Эйлера и метод трапеции, имеющие первый и второй порядок точности соответственно. Оба эти метода являются одношаговыми, а следующий за ними метод Адамса-Моултона относится уже к двухшаговым методам. Таким образом, для интерполяционных методов Адамса-Моултона порядок шаговости на единицу ниже порядка точности метода.

Важное различие в экстраполяционных и интерполяционных методах Адамса заключается в том, что первые из них являются явные, а вторые неявными.

II.Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость

2.1Введение

Дадим изложение основных понятий теории разностных схем самого общего вида, безотносительно к конкретной структуре исходного дифференциального уравнения и аппроксимирующей его разностной схемы [9, 13].

Пусть дана исходная дифференциальная задача

Lu = f;

(1)

14

ãäå x 2 G, G - область m-мерного пространства, f (x) - заданная функция, L - линейный дифферен-

циальный оператор. Предполагается, что дополнительные условия (типа начальных и граничных условий) учтены оператором L и правой частью f .

Для построения разностной схемы прежде всего вводится сетка Gh - конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметром h шагом сетки. В общем случае параметр h вектор, причем определена jhj длина вектора h. Обычно сетка

Gh выбирается так, что при jhj ! 0 множество Gh стремится заполнить всю область G. Функция, определенная в точках сетки G, называется сеточной функций.

Пример 1. На отрезке G = [a; b] введем произвольную неравномерную сетку Gh, т. е. множество

точек

	Gh = fxi 2 [a; b]jx0 = a < x1 < ::: < xN = bg:
Обозначим hi=xi xi 1, i=1; N . Тогда h=(h1; :::; hN ), jhj=			1 i N i	j j	s	i=1	i
						N
			max h . Можно определить	h =		P	h .

Пример 2. На плоскости (x; t) рассматривается область G=f0<x<1; 0<t T g. Сетка Gh состоит

из точек (xi; tn), ãäå xi = ih, i = 0; N , hN = 1, tn = n , n = 0; K, K = T . Здесь можно положить

p

p

h

2

2

h

2

+ .

jhj =

+

, ëèáî jhj =

После введения сетки Gh следует заменить в уравнении (1) дифференциальный оператор L разностным оператором Lh, правую часть f (x) сеточной функций 'h(x). В результате получим

систему разностных уравнений
Lhvh = 'h;	(2)

которая называется разностной схемой èëè разностной задачей.

2.2Погрешность аппроксимации и погрешность схемы

Перейдем к изложению основных понятий теории разностных схем: аппроксимации, корректности (устойчивости) и сходимости. Прежде чем давать формальные определения, заметим, что свойство аппроксимации означает близость разностного оператора к дифференциальному. Отсюда еще не следует, вообще говоря, близость решений дифференциального и разностного уравнения. Свойство устойчивости разностной схемы является ее внутренним свойством, не зависящим от того, аппроксимирует ли эта схема какое-либо дифференциальное уравнение. Оказывается, однако, что если разностная схема аппроксимирует корректно поставленную задачу и устойчива, то ее решение сходится при jhj ! 0 к решению исходной дифференциальной задачи.

Будем считать, что решение u(x) задачи (1) принадлежит линейному нормированному простран-

ñòâó U , k kBo - норма в U . Например, Bo = C[a; b], kuko = max ju(x)j. Аналогично считаем, что

x2[a;b]

сеточные функции vh; 'h являются элементами линейного нормированного пространства Bh (пространства сеточных функций) с нормой k kh. По существу, имеем семейство линейных нормированных пространств, зависящих от параметра h.

Чтобы иметь возможность сравнивать функции из различных пространств, вводится оператор проектирования ph : Bo ! Bh. Это, по определению, линейный оператор, сопоставляющий каждой функции из Bo некоторую функцию из Bh. Для функции u 2 Bo обозначим через uh ее проекцию на пространство Bh, ò. å. uh(x) = phu(x).

Приведем примеры операторов проектирования.

Пример 3. Пусть Bo пространство непрерывных функций на [0,1] и Gh равномерная сетка с шагом h:

Gh = fxi = ih; i = 0; N ; hN = 1g:

Тогда в качестве оператора проектирования можно взять оператор вычисления значения функции в данной точке сетки. Этот оператор определяется следующим образом:

(phu)(xi) = u(xi); i = 0; N :

15

Пример 4. Пусть Bo - пространство функций, интегрируемых на [0,1], Gh та же сетка, что и в

предыдущем примере. Тогда в качестве оператора проектирования можно взять оператор осреднения

1

xi +0;5h

Z

(3)

u(x)dx;

i=1; N 1;

(phu)(xi)=

h

xi 0;5h

1

0;5h

1

1

(phu)(xo)=

Z

u(x)dx;

(phu)(xN )=

Z

u(x)dx:

(4)

0; 5h

0; 5h

0

1 0;5h

В дальнейшем будем требовать, чтобы нормы в Bh áûëè согласованы с нормой в исходном

пространстве Bo. Это означает, что для любой u 2 Bo выполняется условие
lim	p		u	kh = kuko:	(5)
jhj!0 k		h

Требование согласованности норм обеспечивает единственность предела сеточных функций при

jhj!0. Действительно, если для u; w 2 Bo имеем

lim

v

p

u

kh

= 0, lim v

h

p

w

kh

= 0, òî

jhj!0 k

h

h

jhj!0 k

h

согласно (5)

kphu phwkh = k(phu vh) + (vh phw)kh kphu vhkh + kvh phwkh

è

lim

p

(u

w)

kh

= 0;

ku wko = jhj!0 k

h

ò. å. u = w.

Пример 5. Сеточная норма

v

h

= v

N

h

j

vi

j

2; hN = 1

k k

u i=1

uX

согласована с нормой в L2

t

v

h

= v

1

v(x)

2 :

k k

uZ

j

j

u 0

u

Сеточная норма

t

v

h = v

N

vi

j

2; hN = 1

k k

u i=1 j

uX

t

N

не согласована ни с одной из норм для функций непрерывного аргумента, так как ряд

jvij2 может

i=0

расходиться. Сеточная норма

P

k

v

kh

= max

v

ij

0 i N j

согласована с нормой в C.

Пусть u(x) - решение исходной задачи (1) и vh - решение разностной задачи (2).

Определение 1. Сеточная функция zh(x) = vh(x) phu(x), x 2 Gh, называется погрешностью разностной схемы (2).

Подставим vh(x) = phu(x) + zh(x) в уравнение (2). Тогда получим, что погрешность zh(x) óäî-

влетворяет уравнению
Lhzh(x) = h; x 2 Gh;	(6)

16

ãäå
h(x) = 'h(x) Lh(phu(x)) '(x) Lhuh(x):	(7)

Определение 2. Сеточная функция h(x), определенная формулой (7), называется погрешностью аппроксимации разностной задачи (2) на решении исходной дифференциальной задачи (1) или невязкой.

Преобразуем выражение для h(x). Проектируя уравнение (1) на сетку Gh, получим

phLu(x) = phf (x)

или, учитывая принятые обозначения,
h(x) = [(Lu)h(x) Lhuh(x)] + ('h(x) fh(x));		(8)
ò. å.
h(x) = h;1(x) +	h;2(x);
ãäå
h;1(x) = (Lu)h(x) Lhuh(x);	h;2(x) = 'h(x) fh(x):	(9)

Определение 3. Функции h;1(x) è h;2(x) называются, соответственно, погрешностью аппроксимации дифференциального оператора L разностным оператором Lh и погрешностью аппроксимации правой части.

Определение 4. Говорят, что разностная задача (2) аппроксимирует исходную задачу (1), если k hkh ! 0 ïðè jhj ! 0. Разностная задача имеет имеет k-é порядок аппроксимации, если существуют постоянные k > 0, M1 > 0, не зависящие от h и такие, что

k kh M1jhk j:

Аналогично определяют погрешность аппроксимации и порядок погрешности аппроксимации правых частей и дифференциального оператора.

Замечание. Порядок погрешности аппроксимации на решении может оказаться выше, чем порядок аппроксимации оператора 1 и правой части 2 в отдельности. Например, нетрудно показать,

что разностное уравнение

vxx;i = 'i; 'i = fi + h2 fi00

12

имеет четвертый порядок аппроксимации на решении дифференциального уравнения u00(x) = f (x),

хотя дифференциальный оператор и правая часть аппроксимируется лишь со вторым порядком.

2.3Корректность разностной схемы. Сходимость. Связь между устойчивостью и сходимостью

Определение 5. Разностная схема (2) называется корректной, если 1) ее решение существует и единственно при любых правых частях 'h 2 Bh и 2) существует постоянная M2 > 0, не зависящая

îò h и такая, что при любых 'h 2 Bh справедлива оценка
kvhkh M2k'hkh:	(10)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной задачи от правой части называется устойчивостью разностной схемы. Заметим, что требование 1) эквивалентно существованию оператора Lh 1, обратного оператору L, а требование 2) эквивалентно равномерной по h ограниченности оператора Lh 1.

Основным вопросом теории разностных схем является вопрос о сходимости.

17

Определение 6. Решение разностной схемы (2) сходится к решению дифференциальной задачи (1), если jhj ! 0

kvh phukh ! 0:

Разностная схема имеет k-é порядок точности, если существуют постоянные k > 0, M3 > 0, íå

зависящие от h и такие что,

kvh phukh M3jhjk :

Справедлива следующая теорема о связи устойчивости и сходимости.

Теорема 1. Пусть разностная схема Lhvh = 'h является корректной и аппроксимирует задачу Lu = f на решении с порядком hk и устойчива. Тогда решение разностной задачи vh сходится к решению u исходной задачи, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство следует прямо из определений. Действительно, уравнение для погрешности (6) имеет ту же структуру, что и разностная задача (2). Поэтому из требования корректности следует оценка

kzhkh M2k hkh:

(11)

Поскольку константа M2 не зависит от h, получаем, что при k hkh ! 0 норма погрешности zh также стремится к нулю, т. е. схема сходится. Если k hkh M1jhjk , то из (11) получим

kzhkh M1M2jhjk ;

т. е. разностная схема имеет k-й порядок точности.

Значение приведенной выше теоремы состоит в том, что она позволяет разделить изучение сходимости на два отдельных этапа: доказательство аппроксимации и доказательство устойчивости. Обычно более сложным является исследование устойчивости, которое состоит в получении оценок вида (10), называемых априорными оценками.

Замечание. Теорема доказана в предположении, что решение vh и правая часть 'h измеряются в

одной и той же норме. Однако, изменив соответствующие определения, можно легко показать, что теорема остается справедливой и в том случае, когда решение измеряется в одной норме, а правая часть - в другой [9, 12].

III.Разностные методы решения краевых задач

Выделяют несколько конструктивных подходов к построению разностных cхем: а) метод конечных разностей;

б) интегро-интерполяционный метод (метод баланcа); в) метод неопределенных коэффициентов;

г) вариационно-разноcтные методы.

Ниже рассматриваются первые три метода на отдельных примерах.

3.1Метод конечных разноcтей

Идея метода конечных разностей решения краевых задач проста и видна из самого названия: вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации.

Рассмотрим линейную краевую задачу для дифференциального уравнения

Lu = u00 + p(x)u + q(x) = f (x); x 2 [0; 1];	(1)
l0u = 0u(0) + 0u0(0) = 0;	(2)
l1u = 1u(1) + 1u0(1) = 1;	(3)

18

где к коэффициентам краевых условий (2), (3) предъявляется требование

j 0j + j 0j =6 0; j 1j + j 1j =6 0;

а функции p = p(x); q = q(x) è f = f (x) в уравнении (1) должны быть такими, чтобы данная задача

имела единственное решение u = u(x) в заданном функциональном пространстве. Краевые условия

(2), (3) определяют третью краевую задачу для уравнения (1), содержащую в себе первую (когда0 = 1 = 0) или вторую (при 0 = 1 = 0) краевые задачи.

На отрезке [0,1] введем равномерную cетку !=fxi=ih; i=0; M ; h=1=M g. На этой сетке опреде-

ляются сеточные функции [3]

pi = p(xi); qi = q(xi); fi = f (xi);	(4)
отвечающие функциональным коэффициентам дифференциального уравнения (1).
Фиксируя в уравнении (1) x = xi, с учетом обозначений (4) приходим к равенствам
u00(xi) + piu0(xi) + qiu(xi) = fi;	(5)

где целая переменная i может принимать значения от 0 до M по числу узлов сетки, а под u(xi), u0(xi), u00(xi) понимаются значения точного решения u(x) и его производных в i-ом узле. В каждом внутреннем узле сетки !h, ò. å. ïðè i = 1; M 1, значения производных аппроксимируем конечно-

разностными отношениями по симметричным формулам второго порядка точности

u0(xi) = u(xi+1) u(xi 1) + O(h2); 2h

u00(xi) = u(xi 1) 2u(xi) + u(xi+1) + O(h2): h2

В результате подстановки последних в равенство (5) при i = 1; 2; :::; M 1, получаем

	ui+1 2ui + ui 1	+ pi	u(xi+1) u(xi 1)	+ qiu(xi) = fi + O(h2):
	h2		2h

Отбрасывая неопределенное слагаемое O(h2), приходим к разностному уравнению относительного

приближенных значений решения

	vi+1 2vi + vi 1	+ pi	vi+1 vi 1	+ qivi = fi:	(6)
	h2		2h

После приведения подобных членов в (6) получаем стандартное трехточечное разностное урав-

нение второго порядка
	h		(2 h2qi)vi + (1 +	h		= h2fi;	(7)
(1		pi)vi 1			pi)vi+1
	2			2

ãäå i = 1; 2; :::; M 1.

Равенство (7) представляет собой компактную запись системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, в которой число уравнений равно M 1, в то время как неизвестных M + 1 : v0; v1; :::; vM . Два недостающих уравнения этой системы получаем

на основе краевых условий (2), (3) данной задачи.

Рассмотрим два варианта аппроксимации входящих в краевые условия значений первой произ-

водной решения в точках 0 = x0 è 1 = xM :
u0(0) =	u(x1) u(x0)	+ O(h) =	3u(x0) + 4u(x1 ) u(x2)	+ O(h2);
	h		2h

19

	u0(1) =	u(xM ) u(xM 1)	+ O(h) =	u(xM 2) 4u(xM 1) + 3u(xM )	+ O(h2):
		h		2h

В первом варианте, при аппроксимации u0(0) è u0(1) в (2), (3) двухточечными разностными

отношениями первого порядка, имеем
0u(x0) + 0				u(x1) u(x0)	+ O(h) = 0;
				h
1u(xM ) + 1			u(xM ) u(xM 1)			+ O(h) = 1:
				h
Отсюда после отбрасывания слагаемого O(h) и упрощения, получаем нулевое и M -е уравнения
		(h 0 0)v0 + 1v1 = h 0							(8)
è
1vM 1 + (h 1 + 1)vM = h 1									(9)
системы алгебраических уравнений, задаваемой равенством (7).
Во втором варианте имеем аналогично
0u(x0) + 0		3u(x0) + 4u(x1) u(x2)					+ O(h2) = 0;
				2h
1u(xM ) + 1	u(xM 2) 4u(xM 1) + 3u(xM )							+ O(h2) = 1;
				2h
откуда следуют дополнительные к (7) связи между тремя первыми неизвестными
(2h 0 3 0 )v0 + 4 0v1 0v2 = 2h 0									(10)
и тремя последними
1vM 2 4 1vM 1 + (2h 1 + 3 1)vM = 2h 1:									(11)

Сравним теперь два рассматриваемых варианта. В первом из них система линейных алгебраи- ческих уравнений, образованная уравнениями (7), (8) и (9), имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов, и к ней можно сразу применить метод прогонки. Во втором случае соответствующая методу прогонки структура матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений еще должна быть создана, для чего нужно из уравнения (10) с помощью уравнения, получающегося из (7) при i = 1, исключить неизвестное v2, а из (11) с с помощью (7) при i = M 1 исключить vM 2.

Усложнения, сопутствующие второму варианту могут быть оправданы тем, что в этом случае исходная дифференциальная краевая задача полностью аппроксимируется алгебраической системой относительно компонент решения vi с точностью O(h2).

Устойчивость построенной конечноразностной схемы решения краевой задачи (1)-(3) связана с устойчивостью метода прогонки. Это можно гарантировать, когда матрица коэффициентов имеет свойство диагонального преобладания.

Условие диагонального преобладания для (7) означает, что должно выполняться неравенство

j2 h2qij > j1 +	h		h		(12)
		pij + j1		pij 8i 2 f1; 2; :::; M 1g:
	2		2

Рассмотрим, что представляет собой правая часть этого неравенства. Раскрывая модули, имеем

1 +

pi

+ 1

pi

=

8

2;

åñëè

hpi

2;

h

h

hpi;

åñëè

hpi < 2;

j

j

j

j

< hpi;

åñëè jhpi >j 2:

2

2

:

20