Конспекты. Blackboard / Тема 9.2 Учебное пособие по конечно-разностным методам решения краевой задачи

ãäå ij = uxx;ij + uyy;ij + fij погрешность аппроксимации на решении задачи (1) (2). В предположении, что решение u(x; y) задачи (1) - (2) имеет ограниченные четвертые производные, с помощью

формулы Тейлора устанавливается равенство

u(xi 1; yj ) 2u(xi; yj ) + u(xi+1; yj ))

+

u(xi; yj 1) 2u(xi; yj ) + u(xi; yj+1)

=

h2

l2

@2u @2u h2 @4u(xi + ; yj ) h2 @4u(xi; yj + )

=

+

+

+

:

@x2

@y2

24

@x4

24

@y4

Обозначая M4 =

max

@4u

;

@4 u

, получаем

G

j j@x4 j

j@y4 j

h2 + l2

(11)

j

j M4

:

24

3. Устойчивость. Построенная разностная схема (6) - (8) устойчива. Это доказывается с помощью разностного (сеточного) принципа максимума [9, 10].

Разностная задача Дирихле (6) - (8) является частным случаем задачи

Lhvij = bij vij aij vi 1;j cij vi+1;j dij vi;j+1 eij vi;j+1 = 'ih; (xi; yj ) 2 !hl;

v = (x; y);

(x; y) 2 hl;

(12)

ãäå aij , bij , cij , dij , eij - коэффициенты. В случае (6) - (8)

1

1

1

1

bij = 2(

+

); aij = cij =

; dij = eij =

:

h2

l2

h2

l2

Оператор Lhvij можно записать иначе:

Lhvij = Qij vij + aij (vij vi 1;j ) + cij (vij vi+1;j ) + dij (vij vi;j+1) + eij (vij vi;j+1);

(13)

ãäå Qij = bij aij cij dij eij . Будем предполагать, что выполняются условия

Q = Qij 0;

aij > 0;

cij > 0;

dij > 0; eij > 0:

(14)

Для задачи (6) - (8) имеем Q 0.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (14) è '(x; y) 0, 0. Тогда решение уравнения (12) неотрицательно, т. е. v(x; y) 0 во всех узлах сетки !hl.

Теорема 2 (теорема сравнения). Пусть w решение задачи
Lhw = '; (x; y) 2 !hl;	w = ; (x; y) 2 hl;	(15)
и выполнены условия (14). Åñëè
j'j '; (x; y) 2 !hl;	j j ; (x; y) 2 hl;	(16)
то для решения задачи (12) верна оценка
jv(x; y)j w(x; y) 2 !hl
Для задачи (6) - (8) в качестве мажоранты w(x; y) выберем функцию
w(x; y) = C[l12 + l22 (x2 + y2)]:		(17)

51

1

Вычислим сначала ' = Lhw = w = C (x2 + y2)] = C( 1x2 + 2y2) = 4C, òàê êàê 1x2 =

[(x + h)2 2x2 + (x h)2 ] = 2. Из формулы (17) видно, что > 0 на границе hl. Условия теоремы

h2

сравнения выполнены.

Выберем 4C =

и учитывая, что

Обратимся к задаче (9 - (10) для погрешности z = v u.

k

kC

2

2

на границе сеточной области z = 0, получим jz(x; y)j w(x; y) < C(l

1

+ l2 ), òàê ÷òî

l2

+ l2

kzjjC

1

2

k kC :

4

Отсюда и из (11) следует равномерная сходимость схемы (6 - (8) со вторым порядком точности [10]. 4. Метод неопределенных коэффициентов. Для получения разностного уравнения (1), ап-

проксимирующего дифференциальное уравнение в узле (xi; yj ), рассмотрим 9 узлов, расположенных определенным образом около точки (xi; yj ). Для простоты записи узел (xi; yj ) будем обозначать 0, а остальные рассматриваемые узлы перенумеруем числами 1; 2; :::; 8. Составим линейную комбинацию c0v0 + c1v1 + ::: + c8v8 с неопределенными коэффициентами ci, ãäå vi - значение приближенного решения в узле i. Коэффициенты выбираем из соображений точности [1].

	Рассмотрим разностную аппроксимацию уравнения Пуассона, в которой используются узлы
6	2	5	на девятиточечном шаблоне (xi h; yj h), (xi ; yj ), (xi h; yj + h). Учитывая равно-
23	0	13
4		5
7	4	8

правие в уравнении x è y и симметричное расположение узлов, будем искать разностное уравнение

âèäà

v0 = av0 + b(v1 + v2 + v3 + v4) + c(v5 + v6 + v7 + v8):

Выпишем выражение для невязки в узле 0:

0 = u0 + f0 = au0 + b(u1 + u2 + u3 + u4) + c(u5 + u6 + u7 + u8) + f0:

Предполагая у функции u наличие достаточного числа производных и разлагая ui по формуле

Тейлора в окрестности узла 0, будем иметь

@

@

h2 @2

@

2

h3

@

@

3

u5 = u(x + h; y + h) = u0 + fh(

+

)u + +

(

+

)

u +

(

+

)

u + g0

;

@x

@y

2!

@x

@y

3!

@x

@y

@

@

h2

@2

@

2

h3

@

@

3

u6 = u(x h; y + h) = u0 + fh(

+

)u +

(

+

)

u +

(

+

)

u + g0;

@x

@y

2!

@x

@y

3!

@x

@y

@

@

h2 @2

@

2

h3

@

@

3

u7 = u(x h; y h) = u0 + fh(

+

)u +

(

+

)

u

(

+

)

u + g0

;

@x

@y

2!

@x

@y

3!

@x

@y

@

@

h2 @2

@

2

h3

@

@

3

u8 = u(x + h; y h) = u0 + fh(

)u +

(

)

u +

(

)

u + g0;

@x

@y

2!

@x

@y

3!

@x

@y

@u0

h2 @2u0

h3 @3u0

u(x h; y) = u0 h

+

+

@x

2!

@x2

3!

@x3

@u0

h2 @2u0

h3 @3u0

u(x + h; y h) = u0 h

+

+ :

@y

2!

@y2

3! @y3

Приводя подобные члены, получим

2h2

2h4

(4)

(4)

2h6

(6)

(6)

u1+u2+u3+u4 = f4u+

(ux00

2 +uy002 )+

(ux4 +uy4

)+

(ux6 +uy6

) + :::g0

2!

4!

6!

u5+u6+u7+u8=4u0+2h2 (ux002 +uy002 )0+

4h4

(4)

(4)

(4)

(ux4

+6ux2 y2 +uy4

)0+

4!

52

4h6 (6)

(6)

(6)

(6)

+

(ux6

+15ux4 y2 +15ux2 y4 +uy6

)0+ :

6!

0 = (a + 4b + 4c)u0 + h2(b + 2c)(ux002 +uy002 )0 +

h4

(4)

(4)

+ ch4

(4)

(b + 2c)(ux4

+ uy4

)0

(ux2 y2 )0

+

12

2h6

(6)

(6)

h6

(6)

(6)

+

(b + 2c)(ux6 + uy6 )0 +

c(ux4 y2

+ ux2y4 )0

+ f0 +

6!

12

Äëÿ òîãî, ÷òî u аппроксимировало оператор Лапласа u, положим

a + 4b + 4c = 0;

h2(b + 2c) = 1:

Подберем c из того условия, чтобы члены с производными четвертого порядка могли быть получены

1

путем дифференцирования оператора Лапласа. Для этого нужно положить c = 6h2 . Тогда для a, b

получим следующие значения:

a =

10

; b =

2

è

3h2

3h2

h2

@2

@2

h4

(

@2

@2

@4

+ R;

0 = u0 +

(

+

) u0 +

2

+

) u0 + 2

u0

12

@x2

@y2

6!

@x2

@y2

@x2@y2

ãäå R зависит от производных восьмого порядка и имеет порядок Так как u = f , òî

	h2		@2f @2f				2h4		@4f		@4f
= f +		(		+		) +		(		+ 4
	12		@x2		@y2		6!		@x4		@x2@y2

h6.

@4f

+@y4 ) + R

и разностное уравнение

4(v1 + v2 + v3 + v4) + (v5 + v6 + v7 + v8) 20u0

=

6

= h2f0

h2

2h6 @4f

@4f

@4f

@4f

+

( f )0 +

) + (

+ 4

+

)0

6! @y4

@x4

@x2@y2

@y4

12

дает аппроксимацию уравнения Пуассона с точностью до h6.

Если при выводе разностной аппроксимации воспользоваться разложением по формуле Тейлора с остаточным членом, содержащим производные восьмого порядка, то, введя обозначения

		max		@8 u @8u				@8 u
	M8 =		fj@x8 j; @x7@y j; :::; j@y8 jg
		G

для остаточного члена, дающего погрешность аппроксимации, будем иметь оценку

520h6

jRj 3 8! M8:

Пользоваться полученной разностной аппроксимацией уравнения Пуассона можно только в том случае, если функция f задана аналитически. Если же она известна в узлах сетки, то в этом случае аппроксимацию упрощают, отбрасывая член с h6 и заменяя f через

1

h2 (f1 + f2 + f3 + f4 4f0:

В этом случае получаем разностную аппроксимацию

4(v1 + v2 + v3 + v4) + (v5 + v6 + v7 + v8) 20v0 =

h2

= 2 (8f0 + f1 + f2 + f3 + f4);

аппроксимирующую уравнение Пуассона с точностью до h4.

53

V.Теория устойчивости разностных схем

5.1Операторно - разноcтные cхемы.

При изучении нестационарных процессов, описываемых уравнениями в частных производных параболического и гиперболического типов

@u	= Lu + f (x; t);	@2u	= Lu + f (x; t); ; 0 < t < T
@t		@t2

переменная t (время) играет особую роль и поэтому должна быть выделена. Здесь L - дифференциальный оператор, действующий на u(x; t) как функцию x = (x1; :::; xp) - точки p-мерной облаcти G. Функция u(x; t) при каждом фиксированном t является элементом банахова пространства B. Поэтому вместо u(x; t) получают абстрактную функцию u(t) переменного t; 0 t T со значениями в B, ò.å. u(t) 2 B äëÿ âñåõ t 2 [0; T ]: Оператор L; действующий на u(x; t) как функцию x, заменяется оператором A, заданным в B. В результате приходят к абстрактной задаче Коши [11, 12].

du=dt + Au = f (t); 0 t T; u(0) = u0;

ãäå u0 - заданный элемент из области определения D(A):

Раccмотрим линейную cиcтему банаховых проcтранcтв Bh; завиcящая от параметра h; являющегоcя вектором некоторого нормированного проcтранcтва c нормой jhj:

На отрезке [0,Т] введем равномерные c шагом cетки

w = ftn = n ; n = 0; N ; = T =N g; w = ftn = n ; n = 1; N 1g:

Будем раccматривать абcтрактные функции vht; 'ht и т.д. диcкретного аргумента t = n 2 w cî

значениями в Bh; òàê ÷òî vht(t) 2 Bh äëÿ âcåõ t 2 w : Ïócòü Aht; Bht; Cht и т. д. - линейные операторы, дейcтвующие в Bh â Bh при каждом 2 w : В дальнейшем индекcы h и будем опуcкать.

Cемейcтво разноcтных уравнений (r 1)-го порядка

r 1

X

B0(tn)vn+1= Cs(tn)vn+1 s+fn; n = r 1; r; r + 1; :::;

s=1

зависящих от параметров h и , с операторными коэффициентами B0, C1, :::; Cr 1 (которые являются линейными операторами, заданными на Bh, и зависят от h и ) будем называть r-cлойной cхемой. Еcли существует оператор B0 1, то решение vn+1 этой задачи может быть выражено через начальные векторы v0; v1; :::; vr 1 и правую чаcть f .

Мы будем раccматривать только двухcлойные и трехcлойные cхемы.

5.2Клаccы уcтойчивых двухcлойных cхем

1. Поcтановка задачи. При изучении устойчивости двухслойных схем будем пользоваться их канонической формой [10, 11, 12]

B

vn+1 vn

+ Av

= '; t = t

= n

2

!

; v(0) = v

:

(1)

n

n

o

Если использовать обозначения

v = vn = v(tn); v^ = vn+1 = v(tn+1); vt =

v^ v

;

то уравнение (1) можно записать в следующем виде

Bvt + Av = '(t); t = tn = n 2 ! ; v(0) = vo:

(2)

54

норма в Hh.h		h		k		k		p
Ïócòü B	= H		вещеcтвенное проcтранcтво, (,)- cкалярное произведение,		x		=		(x; x)

Наша задача найти достаточные условия устойчивости схемы (1) и получить априорные оценки решения задачи (1), выражающие устойчивость по правой части и по начальным данным.

Решение задачи (1) можно предcтавить в виде cуммы v = v~ + v; ãäå v~ - решение однородного

уравнения c начальным уcловием v~(0) = v0 :
Bvt + Av = 0; t 2 w ; v(0) = v0;					(3)
à v - решение неоднородного уравнения c нулевым начальным уcловием:
Bvt + Av = '(t); t 2 w ; v(0) = 0:					(4)
Оценка решения задачи (3)
		kv(t + )k(1) M1kv0k(1)			(5)
означает, что cхема (3) уcтойчива по начальным данным, а оценка решения задачи (4)
k	v(t	max	'(t0)	k(2)	(6)
		+ )k(1) M2 0 t0 t k

означает уcтойчивоcть cхемы (4) по правой чаcти. Из (5) и (6) в cилу неравенcтва треугольника kvk(1) kvk(1) + kv~k(1) cледует априорная оценка

kv(t + )k(1) M1kv0k(1) + M2 max(k'(t0)k(2)					(7)
В качестве нормы k k(1) будем пользоваться энергетичеcкими нормами
				ïðè A = A > 0;
v A =		(Av; v);
kvkB = p			;	ïðè B = B > 0:
		(Bv; v)
k k	p

Неравенcтво A>0 означает, что (Ax; x)>0 äëÿ âcåõ x2Hh; x6=0:

Будем говорить, что схема (1) устойчива в HA (èëè HB ), если выполнено (7) с k k(1) =k kA (èëè

kk(1) = k kB ).

2.Исходное семейство схем. Исследование устойчивости будем проводить в некотором ис-

ходном семействе разностных схем [11].

Операторы A è B считаем ограниченными линейными операторами, заданными на всем пространстве Hh, D(A) = D(B) = Hh. Всюду будем предполагать, что разностная задача (1) разрешима при любых входных данных v0 è '(t), т. е. существует ограниченный оператор B 1 с областью

определения D(B 1) = Hh.

Для упрощения выкладок детальное изложение проведем в предположении, что:

1)операторы A è B не зависят от t (постоянные операторы);

2)оператор B положительный, B > 0;

3)A - самосопряженный и положительный оператор, A = A > 0.

Условия 1) - 3) и требование разрешимости выделяют из множества всевозможных схем (1) семейство допустимых схем (исходное семейство). Условие 1) может быть ослаблено, т. е. будем иногда рассматривать операторы A è B, зависящие от t, A = A(t), B = B(t).

Пример 1. Для уравнения теплопроводности

@u	= Lu + f;	Lu =	@	k(x)	@u
@t			@x		@x

рассмотрим двухслойную схему с весами

vt = ( v^ + (1 )v) + '; v = (a(x)vx)x:

55

Используя тождество v = v + v v = v + vt, перепишем ее в виде

vt vt v = ':

Сравнивая это уравнение с (1), видим, что

B = E + A; A = :

Так записывается в каноническом виде двухслойная схема с весами. Так как A kAkE, E A=kAk, òî B (1=kAk + )A > 0, åñëè > 1=( kAk). Оператор A = A > 0 не зависит от t. Таким

образом, условия 1) - 3) выполнены и указанная схема принадлежит исходному семейству схем при

h2=(4c ), ãäå c = max a(x).

x2!h

3. Уcтойчивоcть по начальным данным в HA. Из (3) cледует
vn+1 = Svn; S = E B 1A;	(8)
ãäå S оператор перехода cо cлоя на cлой.
Cхема (1) уcтойчива в HA; еcли cправедлива оценка
kvn+1kA kvnkA:	(9)
Из оценки kvn+1kA = kSvnkA kSkAkvnkA cледует, что неравенcтво (8) эквивалентно уcловию
kSkA 1:	(10)
Это уcловие, в cвою очередь, эквивалентно уcловию
JA=kvkA2 kSvkA2 =(Av; v) (ASv; Sv) 0 äëÿ âcåõ v2H:	(11)

Таким образом, (8),(9) и (10) эквивалентны, т. е. выполнение любого из них влечет за cобой выполнение двух других.

Теорема 1. Еcли A = A > 0; то для уcтойчивоcти cхемы (3) â HA необходимо и доcтаточно, чтобы выполнялоcь неравенcтво

(Bv; v) 0; 5 (Av; v) > 0 äëÿ âcåõ v 2 H; èëè B 0; 5 A:	(12)
Доказательcтво. Доcтаточно убедитьcя в эквивалентноcти (12) и неравенcтва JA 0; ãäå
JA=(Av; v) (ASv; Sv)=(Av; v) (Av AB 1Av; v B 1Av)=
= 2 (AB 1Av; Av) 2(AB 1Av; B 1v):
Обозначив B 1Av = x; Av = Bx; получим
JA=2 (Bx; x) 0; 5 (Ax; x) 0 äëÿ âcåõ x2H:
Еcли cхема уcтойчива, т.е. выполнено (9) или kSkA 1; òî JA 0 и, cледовательно, B	0; 5 A
(необходимоcть уcловия (12)). Из (12) cледует (11), (10) и (9)(доcтаточноcть).

4. Уcтойчивоcть по начальным данным в HB . Теорема 2. Åcëè A = A > 0; B = B > 0;

то для уcтойчивоcти cхемы (3) â HB
kvn+1kB kvnkB ;	(13)
необходимо и доcтаточно, чтобы выполнялоcь уcловие (12).

56

Доказательcтво. Пуcть k è k - cобcтвенные значения и функции задачи

(14)

A k = k B k;

k = 1; N ;

причем (B k ; m) = km; k > 0:

Решение задачи (3) будем искать в виде cуммы

N

X

v(t) =

ck (t) k :

k=1

Поcтавляя это выражение в (3) и учитывая (14), получаем

ck (t + ) ck (t)

+

k

c

k

(t) = 0;

c

k

(t + ) = (1

k

)c

k

(t):

Замечая, что kv(t)kB2 =

N

P

k2 (t); будем иметь

k=1

v(t + )

2

N

2

max(1

)2

N

c2

(t) ;

X

X

k

kB =

ck (t + )

k

k

k=1

k

k

k=1

èëè

k

v(t

+

)

kB

max

j

1

k j k

v(t)

kB :

k

Требование уcтойчивоcти (5) c поcтоянной M1 = 1 будет выполнено, еcли

k

j

k j 1

èëè 0 < k

(15)

max

1

2= ; k = 1; N :

Уcловия (15) эквиваленты неравенcтву (Bv; v) 0; 5 (Av; v) äëÿ âcåõ v2H: Â càìîì äåëå,

N

N

Bv 0; 5 Av=

X

X

ck (t)(B k 0; 5 A k )=

ck (t)(1 0; 5 k )B k;

k=1

k=1

N

(Bv; v) 0; 5 (Av; v) =

X

ck (t)2(1 0; 5 k ) 0:

k=1

Отcюда и cледует эквивалентноcть неравенcтва B 0; 5 A уcловиям (15).

Пример. Доказанные теоремы можно применить на cхеме c веcами:

vt + A( v^ + (1 )v) = 0;

v(0) = v0;

A = A > 0:

Иcпользуя тождеcтво v^ = v + (^v v)= = v + tvt; переписывают ее в виде

vt + Avt + Av = ';

v(0) = v0:

Тогда B = E + A 0; 5 A; åcëè

o;

o = 0; 5

1

:

(16)

kAk

 càìîì äåëå, òàê êàê 0<(Av; v)kAk kvk2 èëè 0 <AkAkE; òî

1
B 0; 5 A = E+( 0; 5) A		+( 0; 5) A= ( 0)A 0:
	kAk

57

Таким образом, при 0 cхема c веcами уcтойчива в HA. В чаcтноcти, для явной cхемы (при

= 0) из уcловия 0 cледует 2=kAk; т. е. явная cхема уcтойчива в HA ïðè 2=kAk:

2.Уcтойчивоcть по правой чаcти. Метод энергетических неравенств. Имеет место тео-

ðåìà 3. Пусть выполнено условие

B "E + 0; 5 A;

" > 0;

A = A > 0:

(17)

Тогда для задачи (1)верна априорная оценка

k

kA

k

kA

r

2" 0 t0 t k

k

v(t + )

v(0)

+

T

max

'(t0)

:

(18)

Доказательство. Подставим v =

1

(^v + v)

v^ v

â (1):

2

2

2

2

n

B

A

v^ v

+

1

A(^v + v) = '

:

Умножим это уравнение скалярно на 2 vt = (^v v)2 и учтем, что

(A(^v + v); v^ + v)=(Av;^ v^) + (Av; v^) (Av;^ v) (Av; v) = (Av;^ v^) (Av; v);

òàê êàê (Av; Av^) = (Av;^ v) в силу самосопряженности A. В результате получим "энергетическое

тождество"

2 ((B 0; 5 A)vt ; vt) + (Avn+1; vn+1) = (Avn; vn) + 2 ('; vt ):

(19)

Преобразуем 2 ('; vt ). Для этого воспользуемся неравенством

1

1

jabj = (p2"a)(r

b) "a2 +

b2;

2"

4"

ãäå a, b, " > 0 любые числа. В нашем случае

2 j('; vt )j 2 k'k kvtk 2 "kvt k2

+

k'k2 :

2"

Подcтавляя эту оценку в тождество (19), получим

2 ((B 0; 5 A "E)vt ; vt) + kvn+1kA2 kvnkA2

+

k'nk2:

2"

Если выполнено неравенство

B "E +

A;

" > 0;

2

то имеем

kvn+1kA2 kvnkA2

+

k'nk2:

2"

Cуммируя затем по n = 0; j и учитывая, что v(0) = 0; получаем оценку

1

t

X

kv(t + )kA2

k'(t0)k2; t = j ;

2"

0

=0

t

которая выражает устойчивость схемы (13) по правой части и по начальным данным в HA. Пример.

Для схемы с весами (13): B = E + A. Для нее условие B "E +

A означает, что

2

(1 ")E + (

1

) A 0:

2

В частности, оценка (18) верна при " = 1 è 0; 5.

58

(2)

+ Vn+1 =

5.3Клаccы уcтойчивых трехcлойных cхем

1.Поcтановка задачи. В этом параграфе будут получены достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных схем. Мы пользуемся канонической формой трехслойной схемы[11, 12]:

B(t)vt	2	R(t)vtt+A(t)v='(t); 0 < t=n 2w ; v(0)=v0; v( )=v1:	(1)
	+
o

Здесь v0 è v1 произвольные заданные векторы из Hh, '(t) заданная произвольная абстрактная функция t 2 ! со значениями в Hh: A, B è R линейные операторы на Hh. Напомним обозначения

v = v(tn) = vn; v^ = v(tn + ) = vn+1; v = v(tn ) = vn 1

vo =

v^ v

=

vt + vt

; v

=

v^ 2v + v

=

vt vt

; v

t

=

v^ v

; v =

v v

:

t 2

2

tt

2

t

Перепишем (1) в виде

(B + 2 R)vn+1 = n;

n = 2(2R A) vn + (B 2 R)vn 1 + 2 'n:

Отсюда видно, что задача (1) разрешима, еcли существует оператор (B + 2 R) 1. Будем считать, что это условие выполнено. Более того, будем предполагать, что оператор (B + 2 R) 1 > 0.

При изучении уcтойчивоcти трехcлойных cхем будем пользоваться функционалом (cоcтавной

нормой) вида

kVn+1k2 = kvn + vn+1k2(11 ) + kvn+1 vnk2(12 );

ãäå k:k(11 ); k:k(12 ) некоторые нормы на линейной cиcтеме H.

Ïîä Vn+1 = fvn; vn+1g понимается упорядоченная пара векторов vn; vn+1, òàê ÷òî Vn+1

fvn+vn; vn+1 + vn+1g, åñëè Vn+1 = fvn; vn+1g, aVn+1 = favn; avn+1g, a число. Введенный так функ-

ционал удовлетворяет всем аксиомам нормы. Определяют теперь понятие уcтойчивоcти для (1).

Трехcлойная cхема (1) называетcя уcтойчивой, еcли cущеcтвует норма (2) и при вcех доcтаточно малых 0 è jhj h0 можно указать такие положительные поcтоянные M1 è M2, íå çàâècÿùèå

îò ; h и выбора v0; v1 è '(t), что при любых v0; v1; '(t) è âcåõ t = ; (N 1)								для решения задачи
(1) cправедлива оценка
kV (t + )k(1) M1kV ( )k(1		) + M2			0	)k(2) ;		(3)
	o			0 t0 t k'(t
				max
òàê ÷òî
kV (t + )k(1)2 = kv(t + ) + v(t)k(12			1 ) + kv(t + ) v(t)k(12				2 );

kV ( )k2 = kv1 + v0k2 0 + kv1 v0k2 0 : (10 ) (11 ) (12 )

k k(101 ), k k(102 ) некоторые нормы на H.

Åcëè A è R - поcтоянные операторы, то нормы kV k1 è kV k(1o ) обычно cовпадают. Предполагается, что операторы A è R являются в гильбертовым пространстве Hh самосопря-

женными (A = A ; R = R ) и положительными (A > 0; R > 0).

2. Основное энергетичеcкое тождеcтво. Учитывая, что

2v = v^ + v 2v~tt; 4v = (^v + v) + (v + v) 2v~tt;

перепишем (1) в виде

	2		1		1		(4)
vt	+	(R		A)vtt +		A(^v + v + v + v) = '(t); v(0) = v0; v( ) = v1:
			4		4
o

59

Умножим (1) cкалярно на 2 vt = (vt + vt) = v^ v:
			o
	2		1		1
2 (Bvt	; vt ) +	((R		A)(vt vt); vt + vt) +		(A(^v + v); v^ v) = 2 ('(t); vt ):
			4		2
o	o					o

Иcпользуя cамоcопряженноcть операторов A и B, можно запиcать оcновное энергетичеcкое тождеcтво для трехcлойной cхемы (1):

1

2

1

2 (vt

; vt ) + [

(A(^v + v); v^ + v) +

((R

A)vt; vt)] =

4

4

o

o

1

2

1

= 2 ('(t); vt ) + [

(A(v + v); v + v) +

((R

A)vt ; vt)]

4

4

o

èëè

2 (Bvt

; vt ) + kV (t + )k

2

= kV (t)k

2

+ 2 ('; vt ):

(5)

o

o

o

3. Устойчивость по начальным данным. Теорема 1. Ïócòü A=A >0, R = R > 0 посто-

янные операторы. Тогда уcловия
B = B(t) 0 äëÿ âcåõ t 2 w ; R > A=4	(6)

достаточны для устойчивости cхемы (1)по начальным данным. При выполнении этих уcловий для задачи (1) c ' = 0 имеет меcто оценка

				kV (t + )k kV (t)k;	(7)
	ãäå	1
	kV (t)k2			(A(v+v); v+v)+ 2((R A=4)vt ; vt):	(8)
		=
			4
	Доказательcтво. При ' = 0 тождеcтво (5) примет вид
	2 (Bvo ; vo ) + kV (t + )k2 = kV (t)k2 ; t = n ;				(9)
	t	t

Ïðè B 0 из (9) cледует

kV (t + )k2 kV (t)k2 ; kV (t + )k kV (t)k kV ( )k;

причем kV (t + )k2 > 0 при любых v(t) 6= 0; v(t + ) 6= 0; åcëè A > 0; R > A=4:

Замечание. Еcли A 0; R A=4; òî kV k 0; ò. å. kV k полунорма. Оценка (9) выполняетcя и

в этом cлучае.

4. Уcтойчивоcть по правой чаcти. Теорема 2. Пуcть A = A > 0; R = R > 0; B(t) "E; R > A=4: Тогда для неоднородной задачи (1) cправедлива априорная оценка

kV (t + )k	2	p			t	k'(t0)k2i	1=2	(10)
		"T h t0			=		:
				X

Доказательство. При выводе априорных оценок вида (10) основную роль играет оценка функционала 2 ('; vo ). Имеет место очевидное неравенство

t
		2						2
2 j('; vt )j 2 "kvt k			+				k'k		:
					2"
o	o
Тождество (5) примет вид
kV (t + k2 kV (t)k2		+				k'(t)k2 :
				2"

60