Конспекты. Blackboard / Тема 9.2 Учебное пособие по конечно-разностным методам решения краевой задачи

3.4Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи

Метод разделения переменных, известный в математической физике, используется и для исследования разностных задач. Применение этого метода позволяет расчленить задачу, зависящую от нескольких независимых переменных, на более простые задачи, зависящие от меньшего числа переменных. При этом, как правило, по отдельным координатным направлениям возникают задачи на собственные значения [11, 12].

Рассмотрим следующую простейшую задачу на отыскание собственных функций и собственных значений для дифференциального уравнения

u00(x) + u(x)=0; 0<x<l; u(0)=u(l)=0:	(1)
Поставим в соответствии дифференциальной задаче (1) разноcтную задачу
vxx + v=0; x = ih; 0 < i < M; h = l=M; vo=vM =0; v(x)60	(2)

об отыскании нетривиальных решений собственных функций задачи задачи (2) и соответствующих собственных значений [10, 13].

Решение задачи (2) будем искать в виде vi=sin xi; где подлежит определению. Тогда

sin xi+1 + sin xi 1 2 sin xi + h sin xi=0

èëè

2 sin xi cos h 2 sin xi + h sin xi=0:

Так как мы ищем нетривиальное решение, т. е. sin x 60, то из последнего равенства следует

= h22 (1 cos h)= h42 sin2 h2 :

Значение параметра выбираем так, чтобы v(x) = sin x удовлетворяла граничным условиям задачи (2). При x=0 граничное уcловие выполняется автоматически при любых . При x=l имеем

sin l =0; откуда = k =k =l; k=1; M 1:

Итак, мы получили собственные функции и собственные значения задачи (2). Перечислим их

свойства.

k x

4

2 k h

(k)

1: v

(x)= sin

;

k =

sin

; k=1; M 1:

l

h2

2l

2. Cобcтвенные значения k возрастают c ростом k и для вcей совокупности f k g справедливы

следующие оценки

0< 1= h42 sin2 h2l < 2< : : : < M 1= h42 cos2 h2l < h42 :

3. Cобcтвенные функции v(k); v(n), отвечающие различным cобcтвенным значениям, ортогональ-

ны в cмыcле скалярного произведения, определяемого соотношением

	M 1
	X
(v(k); v(n) )=	hvm(k)vm(n) =0; k 6= n:
	m=1

Для доказательства этого факта воспользуемся второй разностной формулой Грина (см. с. 29), записанной для однородных краевых условий,

0=(vxx(k); v(n) ) (v(k); vxx(n) )=( n k)(v(k) ; v(n)):

31

Так как предположению v(k) è v(n) собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, т. е. k =6 n, то из последнего равенства следует ортогональность функций v(k) è

v(n):

(v(k) ; v(n)) = 0:

4. Норма cобcтвенной функции v(k)

v(k)

åñòü

k

k

=

l=2.

Проведем несложные преобразования.

p

(k) 2 (k)

(k

M 1

(k)

2

M 1

2 k xs

M 1

h

2k xs

X

X

X

(3)

kv k =(v

; v ) =

(v

(xs)) h =

h sin

=

(1 cos

):

s=1

s=1

s=1

Обозначая qk= exp(i

2k h

) и учитывая, что qks = exp(i

2k

xs), qkM =1; получаем

l

l

M 1

2k

M 1

qkM qk

1 qk

h cos

x =Re

hqs =Re h

=Re h

=

h:

X

l

s

X

k

qk

1

qk

1

s=1

s=1

Подставим это значение в (3):

2= h(M 1)

k

v(k)

k

+ h

=

l ;

2

2

2

что и требовалось доказать. Итак, набор сеточных функций

(k)(x) = p

2=lv(k)(x);

k = 1; 2; :::; M 1

(k)

;

(n)

(4)

образует ортогонормированную в смысле скалярного произведения (,) систему (

)= kn.

5. Cеточная функция f (x) cо значениями f0=fM =0 представима в виде cуммы по cобcтвенным

функциям задачи (2)

		M 1
		X
	f (x)=			fk (k)(x); fk=(f (x); (k)):
		k=1
					M 1
При этом справедливо равенство kf k2= k=1 fk2:
6. Для вcякой cеточной функции v(x),					заданной на равномерной cетке
					P
!h = fxi = ih; i = 0; M ; x0 = 0; xM = lg
и обращающейся в нуль при x = 0 è x = l справедливы оценки
			h2					l2
				kvx]j2 kvk2					kvx]j2:	(5)
			4					8
Разложим v(x) по cобcтвенным функциям задачи (2)
	M 1									M 1
	X									X
v(x)=	ck (k)(x); ck =(v; (k)); kvk2 =									ck2 :
	k=1									k=1
В cилу первой формулы Грина (см. с. 29)
		( vxx; v)=(vx; vx]=kvx]j2:								(6)
Òàê êàê								M 1
xx(k)= k (k); òî vxx=
									ck k (k)(x):
								X

k=1

32

Подставим это выражение в (6) и учтем ортонормированноcть f (k)g:

										M 1
								kvx]j2= ( v; v) =		X
										k ck2 :
										k=1
Отсюда получаем								1kvk2 kvxk2 M 1kvk2 ;
ãäå 1=	4	sin2	h		, M 1=	4	cos2	h	:
	h2		2l			h2
								2l

Оценим 1 cнизу. Обозначив = h=(2l), получим 1= 2b2=l2; b= sin = . Ïðè h<0; 5l( < =4) функция b убывает и имеет минимум при = =4(h=0; 5l): Отcюда cледует, что 1 8=l2 : Учитывая также, что M 1<4=h2 ; получаем (5).

IV. Разностные методы решения задач математической физики

4.1Одномерное уравнение теплопроводности

1.Исходная задача. В качестве примера рассмотрим первую краевую задачу для уравнения

теплопроводности с постоянными коэффициентами в прямоугольнике
							G= (0 x 1, 0 t T ): Требу-
ется найти непрерывное в G решение u = u(x; t) уравнения
	@u		@2u					(1)
		=		+ f (x; t);	0<x<1;	0<t T;
	@t		@x2
удовлетворяющее начальному условию
			u(x; 0) = u0(x);		0 x 1;			(2)
и граничным условиям
u(0; t) = 1(t); u(1; t) = 2(t);						0 t T:		(3)

Здесь u0(x); 1(t); 2(t) заданные функции. Известно, что при определенных предположениях

гладкости решение задачи (1)-(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем предполагается, что решение u(x; t) обладает необходимым по ходу

изложения числом производных по x è t [11].

2. Семейство шеститочечных схем. Введем сетки

!h = fxm = mh; m = 0; M g; ! = ftn = n ; n = 0; N g и сетки в G:

!h =!h ! = f(xm; tn) : m=0; M ; n=0; N g; !h =f(xm; tn) : m=1; M 1; n=1; N g

с шагами h=1=M è =T =N: Множество узлов сетки !h ; лежащих на прямой t=tn, обычно называют

слоем.

Задачу (1)-(3) аппроксимируем схемой с весами [12]:
vmn+1 vmn	= ( vn+1	+ (1		)vn ) + 'n	;	0 < m < M; 0		n < N;	(4)
	m			m m

v0n= 1(tn); vMn = 2(tn); vm0 =u0(xm);

где произвольный вещественный параметр (вес), vmn =v(xm; tn) сеточная функция, определенная

íà !h , 'nm некоторая правая часть. vm=vxx;m=(vm 1 2vm + vm+1)=h2 :

Разностная схема (4) написана на шеститочечном шаблоне, состоящим из узлов

(xm 1; tn+1) (xm; tn+1) (xm+1; tn+1) (xm 1; tn) (xm; tn) (xm+1; tn)

33

с центром в точке (xm; tn+1).

Уравнение (4) пишется в узлах сетки !h (внутренних узлах), а начальные и граничные условияв граничных узлах сетки !h : Схема (4) содержит значения искомой функции v на двух слоях и поэтому называется двухслойной схемой.

Частные случаи схемы.

		x		x
Ïðè =0 получаем четырехточечную схему x x
	vmn+1 vmn	= vn		+ 'n	;
		m		m
èëè
vmn+1 = (1 2 )vmn + (vmn 1 + vmn			+1) + 'mn ; = =h2 ;			(5)

определенную на шаблоне (xm; tn+1); (xm; tn); (xm 1; tn): Значение vmn+1 в каждой точке слоя t=tn+1 (нового слоя) выражается по явной формуле (5) через значения vmn íà ñëîå t=tn (на старом слое).

Òàê êàê ïðè t=0 задано начальное условие vm0 =u0(xm), то формула (5) позволяет последовательно определить значения v на любом слое. Схема (5) называется явной.

Åñëè =6 0; то схема (4) называется неявной двухслойной схемой. Ïðè =6 0 для определения vmn+1 на новом слое получаем систему алгебраических уравнений

n+1		1 n+1		n	n	1 n		n n	(6)
vm			vm	= Fm;	Fm=		vm + (1 ) vm + 'm; 0<n<N

с краевыми условиями v0n+1= 1(tn+1); vMn+1= 2(tn+1):

Решение этой системы находится методом прогонки.

Ïðè =1 имеем схему с опережением èëè чисто неявную схему x

x

x

x

vmn+1 vmn

= vn+1

+ 'n

:

m

m

x

x

x

Ïðè =0; 5 получаем шеститочечную симметричную схему x

x

x

vmn+1 vmn

=

1

(vn+1 + vn ) + 'n

;

2

m

m

m

(7)

(8)

называемую схемой Кранка - Никольсона.

3. Погрешность аппроксимации. Чтобы ответить на вопрос о точности схемы (4), нужно сравнить решение v = vmn задачи (4) с решением u = u(x; t) задачи (1)-(3). Так как u(x; t) - непрерывное решение задачи (1), то положим unm = u(xm; tn) и рассмотрим разность zmn = vmn unm.

Перейдем к безиндексным обозначениям, полагая
vmn = v; vmn+1 = v;^ vt =	v^ v	:
Подставляя в (4) v=z + u, получим для z задачу:
zt= ( z^ + (1 )z) + ; (x; t) 2 !h ;			(9)
z(x; 0) = 0; x 2 !h; z(0; t) = z(1; t) = 0; t 2 ! ;

ãäå

= ( u^ + (1 )u) ut + '

погрешность аппроксимации схемы (4) на решении u=u(x; t) уравнения (1).

34

Пользуясь формулами

u^=u + ut; u^ + (1 )u = (u + ut) + (1 )u = u + ut;

перепишем в виде

= (u + ut) ut + ':

Разложим u = u(xm; tn) è u^(xm; tn + ) по формуле Тейлора в окрестности точки (xm; tn + =2), используя обозначение u=u(x; tn + =2):

u^=u +

@u

+

2

@2u

+

3 @3u

+ O( 4);

2 @t

8

@t2

48 @t3

@u 2 @2u

3 @3u

+ O( 4):

u=u

+

2 @t

8 @t2

48 @t3

Учитывая, что

@u

@u

ut =

+ O( 2); u + ut = u + ( 0; 5)

+ O(

2);

@t

@t

h2

@2u

@4u

u = Lu +

L2u + O(h4); Lu=

; L2u =

;

@x2

@x4

12

получим

h2

@u

@u

= Lu

+ f + (' f )+( 0; 5) L

+

L2u+O( 2 + h4):

(10)

@t

@t

12

@u

h2

2

4

@u

2

Отсюда видно, что

= ( 0; 5) L

+

L

u+O(

+h

) ïðè

' = f , òàê êàê

= Lu+f . Учитывая,

@t

12

@t

÷òî L

@u

= L2u + Lf , из (10) получаем

@t

h2

h2

=h' f

Lf i + h

+ ( 0; 5) iL2u + O( 2 + h4):

(11)

12

12

Отсюда видно, что:

1)

=O(

2+ h

2)

ïðè '=f;

6= 1=2:

2

)

2)

=O(

+ h

ïðè '=f;

=1=2:

3)

=O(

2

4

)

ïðè

2

2

=(12 ):

+ h

'=f + (h

f )=12

è = = 0; 5 h

Таким образом, параметр управляет аппроксимацией схемы. При = получают схему

повышенного порядка аппроксимации.

4. Устойчивость по начальным данным. Метод разделения переменных. Исследуем устойчивость схемы (4) методом разделения переменных (при однородных граничных условиях).

Пользуясь тождествами

v^=v + vt; v^ + (1 )v=v + vt

перепишем схему (4) с однородными краевыми условиями в виде
vt vt= v + '; (x; t) 2 !h ;	(12)
v(0; t)=v(1; t)=0; t 2 ! ; v(x; 0)=u0(x);	x 2 !h:

Решение задачи (12) представим в виде суммы v=v + v;~ ãäå v решение однородного уравнения

vt vt= v; v(0; t)=v(1; t)=0; v(x; 0)=u0(x);

(13)

35

à v~ решение неоднородного уравнения с начальным условием v~(x; 0)=0 :

vt vt= v + ';

v(0; t)=v(1; t)=0;

v(x; 0)=0:

(14)

Схема (12) устойчива, если для решения задачи (12) верна оценка

k

v(t)

c

1k

u

0k(1) + c2

max

'(t0)

k(2)

;

t

2

!

;

(15)

k(1)

0 t0<t k

ãäå c1; c2 положительные постоянные, не зависящие от h è :

Оценка

kv(t)k(1) c1ku0k(1) ;

t 2 !

(16)

выражает устойчивость схемы (12) по начальным данным, а неравенство

k

v(t)

k(1)

c2

max

'(t0)

k(2)

;

t

2

!

(17)

0 t0<t k

означает устойчивость (12) по правой части

Для исследования устойчивости схемы (12) по начальным данным надо найти оценку для решения задачи (16). Для этого воспользуемся методом разделения переменных и получим оценку (16) в сеточной норме L2(!h):

			M 1
			X
p
kvk(1) = kvk; kvk = (v; v); (y; v) =			ymvmh:
			m=1

Будем искать решение уравнения (13) в виде произведения функций, одна из которых зависит только от переменной t а вторая только от переменной x, ò. å. v(x; t)=X(x)T (t): Подставим это

выражение в (13) и учтем, что

		v=vxx=T X; vt=XTt:
Тогда получим
^				X
	T T		=		; T^=T (tn+1); T =T (tn):
^				X
	( T + (1 )T )

Левое отношение зависит только от t, а правое только от x. Значит, в силу их равенства, они не зависят ни от x, íè îò t, т. е. постоянны.

Положим

	^		X
	T T	=		=		;
			X
	^
	( T + (1 )T )

где параметр разделения, и вместо одного уравнения, связывающего функции X è T переменных x è t, будем рассматривать два уравнения:

^	^	ïðè t 2 [tn; tn+1]
T T + ( T + (1 )T ) = 0

è

X + X = 0 ïðè x 2 [0; 1]

с одним и тем же параметром . Функция T удовлетворяет уравнению

	T^=qT; q=	1 (1 )	=1			:
					1 +
		1 +

Äëÿ X получаем разностную задачу на отыскание собственных значений (разностную задачу

Штурма-Лиувилля):

X(x) + X(x)=0; 0<x=mh<1; X(0)=X(1)=0; X(x) 6 0:

36

=Tk X(k)

Данная задача была рассмотрена на с. 31. Эта задача имеет нетривиальные решения собственные

функции

p

(k)

X

(x)=

2 sin kx;

k=1; M 1;

соответствующие собственным значениям

4

2 kh

k =

sin

;

k=1; M 1;

0< 1< < M 1:

h2

2

Собственные функции fX (k)g образуют ортонормированную систему (X (k) ; X(j)) = kj .

Таким образом, задача (13) имеет нетривиальные решения v(k)=TkX(k) 60; ãäå Tk определяется

из уравнения

^	èëè	n+1	n	n+1	0			k		(18)
Tk =qk Tk;		Tk	=qkTk	= : : : qk	Tk	;	qk=1	1 + k	;

Tk0 произвольная постоянная.

Решение уравнение (13) вида v(k) называют гармоникой номера k. Оно является решением задачи (13) с начальным условием u0(x)=Tk0X(k)(x): Выясним, при каких условиях устойчива каждая из гармоник v(k) ïðè k=1; M 1: Из формул

v(nk+1) =X(k)Tkn+1=qkX(k)Tkn; v(nk+1) = qkv(nk)

(19)

видно, что при jqkj 1 + "; ãäå "=const>0 не зависит от h и , имеем

kv(nk+1) k=jqk j kv(nk)k (1 + ")kv(nk)k (1 + ")n+1kv(0)n k ! 1

ïðè ! 0; т. е. задача неустойчива. Если jqkj 1; òî kv(nk)k не возрастает с ростом n ( ! 0) ïðè

фиксированном t=n :

kv(nk+1) k kv(nk) k kv(0k) k

и гармоника устойчива. Если все jqkj 1 и, следовательно, kv(nk)k kv(0k)k; то говорят, что схема

"устойчива на каждой гармонике".

Выясним теперь, при каких значениях выполняется условие jqkj 1 èëè 1 qk 1, обеспе- чивающее устойчивость схемы на каждой гармонике. Из формулы qk = 1 k =(1 + k ) видно, что qk < 1, åñëè 1 + k > 0, ò. å > 1=( k ): Требование qk 1 èëè

q

k

+ 1=

2 + (2 1) k

0

1 + k

1

выполнено при 2 + (2 1) k 0 èëè 0; 5

:

Условие 1 + k >0 при этом автоматически

k

выполняется. Так как

4

òî

1

1

h2

k M 1<

;

<

;

h2

k

M 1

4

и, следовательно, условие jqkj 1 будет выполнено для всех k = 1; M 1 ïðè

1

h2

(20)

= 0:

2

4

Таким образом, все гармоники v(k)=Tk X(k) устойчивы при одном и том же условии 0:

Из устойчивости схемы (13) на каждой гармонике следует ее устойчивость в сеточной норме L2 по начальным данным v(x; 0)=u0(x), ãäå u0(x) любая сеточная функция, заданная при 0 x 1 и равная нулю при x=0; x=1:

37

Общее решение задачи (13) ищем в виде суммы частных решений вида (19), полагая

M 1

M 1

^

(k)

2

M 1

^ 2

X

X

òàê ÷òî

X

v^=

v^(k)=

Tk X ;

kv^k =

Tk

:

k=1

k=1

k=1

Подставляя сюда

^

Tk=qkTk , найдем

M 1

M 1

M 1

X

X(k);

2

X

q2T 2

max q2

X

T 2

max q2

2

v^=

q

T

v^

=

v

k

:

k=1

k

k

k (k) k

k=1

k k

k

k

k=1

k =

k

kk

Åñëè

0; òî

max q

kj

1 è

k

vn+1

k k

vn

0

k=ku0k:

k

j

k kv

Таким образом, для решения задачи (13) верна оценка

kvnk ku0k;

0<n<N;

ïðè

0;

(21)

т. е. схема (12) устойчива в сеточной норме L2(!h) по начальным данным при 0:

Разностная схема называется условно устойчивой, если она устойчива лишь при наличии связи между и h. Схема, устойчивая при любых и h, называется абсолютно устойчивой.

Частные случаи:

1. Явная схема ( = 0): Условие (20) дает 0 0; 5 h2=(4 ); ò. å.
=h2 0; 5:	(22)

Явная схема условно устойчива.

2.Неявная схема ïðè 0; 5 устойчива при любых h è , òàê êàê 0; 5> 0: Таким образом, схема с опережением ( =1) и симметричная схема ( =0; 5) устойчивы при любых h и (абсолютно

устойчивы).

3.Схема повышенного порядка аппроксимации ( = ) абсолютно устойчива.

4.Неявные схемы ñ 0 < < 0; 5 при , не зависящем от = =h2 ; условно устойчивы при

1=(2 4 ):

5. Схема (12) ñ =0; 5 + h2 = , имеющая аппроксимацию O( 2 + h2); устойчива при любых h è, åñëè 1=4:

Таким образом, параметр управляет не только порядком аппроксимации, но и устойчивостью

схемы (12).

5. Устойчивость по правой части. Метод разделения переменных. Покажем, что условие

0; 0=	1		h2
	2		4

достаточно для устойчивости схемы (12) и по правой части при 0: Решение задачи (14) ищем в

âèäå

M 1		^ (k)			2	M 1		^ 2
	X						X
					òàê ÷òî kv^k =				(23)
v^=	TkX			;			Tk :
	k=1						k=1
Правую часть ' разложим по fX (k)g :
	M 1						M 1
'=	X	'k X	(k);		òàê ÷òî k'k2 =		X	'k2 :	(24)
	k=1						k=1

Подставляя (23) и (24) в (14) и учитывая X (k) = k X(k), найдем

M 1

h i

X

(Tk )t(1 + k ) + kTk 'k X(k)=0:

k=1

38

Отсюда, в силу ортогональности системы собственных функций X (k) (см. с. 31), следует, что выра-

жение в квадратных скобках равно нулю, т. е.

^

'k

k

(25)

Tk

= qk Tk +

;

qk = 1

:

1 + k

1 + k

Подставим (25) в (23):

M 1

(k)

M 1

(k)

M 1

'k

(k)

X

^

X

X

v^ =

Tk X =

qkTk X +

X :

k=1

k=1

1 + k

k=1

Пользуясь неравенством треугольника (kv + wk kvk + kwk); находим

v^

max qk

v

Tk2

+ max

v

M 1

'k2

k k

k

M 1

k

1 + k

j ju k=1

j

u k=1

u X

ju X

èëè

t

t

v^

max

q

v

+ max

'

:

(26)

k

j1 + k jk

k k

k

j

k j k

k

k

Пусть одновременно выполняются условия

1

h2

(27)

0;

0=

; 0;

2

4

тогда jqkj 1, 1 + k 1 è kvn+1k kvnk + k'nk.

Суммируя по n = 1; : : : ; j, приходим к оценке

j

X

kvj+1k

k'nk:

(28)

n=0

Оценка получена при условии (27). Если потребовать выполнения условия

;

=

1

1 "

h2;

0<"<1;

"

"

2

4

тогда

jqk j 1;

1 + k =1 + ( ") k + " k 1 + " k =

=1 + 0; 5

(1 ")h2 k

>1

(1 ")h2 M 1

>1

(1 ")h2

4

=";

k

4

h2

4

4

ò. å. 1+ k>" äëÿ âñåõ k = 1; 2; :::; M 1. Поэтому из (26) следует оценка kv^k kvk+ k'k="

j

kvj+1k 1" X k'nk:

n=0

(29)

è

(30)

Объединяя оценки (21),(28) и (30), видим, что верно следующее утверждение.

Если выполнены условия 0; 5 h2=(4 )= 0; 0; то схема (12) устойчива по начальным данным и по правой части, так что для решения задачи (12) справедлива оценка

j

X

kvj+1k ku0k + k'nk:

n=0

39

Если <0; то для устойчивости схемы (12) по правой части достаточно, чтобы выполнялось условие

			1		(1 ")h2	=	; 0<"<1;
			2		4
						"

где " 2 (0; 1) произвольная постоянная, не зависящая от h и : При этом для решения задачи (12) имеет место оценка

j

kvj+1k ku0k + 1" X k'nk:

n=0

6. Сходимость и точность в L2(!h): Сходимость схемы (4) следует из ее устойчивости и аппроксимации. Погрешность z=v u является решением задачи (9). Пользуясь априорной оценкой

(28), получаем

	j
kzj+1k	X		0;	0:
	k nk	ïðè
	n=0
Подставляя сюда оценки для погрешности аппроксимации, получаем, что
kvj uj k = 8	O(h2 + 2); =0; 5;			u 2 C34;
	O(h4 + 2); = ;			u 2 C36;
<	O(h2 + );	= 0; 5; = ; u			2	C24	:
:		6	6

Здесь рассматривалась устойчивость и сходимость в среднем, т. е. в сеточной норме L2(!h): Íà

практике важно иметь равномерную оценку для погрешности решения.

7. Устойчивость и сходимость в пространстве С. Для получения равномерной оценки решения разностной задачи (12) используют один из трех методов: 1) принцип максимума, 2) энергетический метод, который позволяет установить (при помощи теорем вложения) устойчивость в по правой части, 3) представление решения в "интегральной форме"через сеточную функцию мгновенного точечного источника (функцию Грина).

При использовании принципа максимума запишем задачу (4) с граничными условиями в виде [10, 12, 13]

vmn+11 (1 + 2 )vmn+1 + vmn+1+1= Fmn ; m =					;		(31)
			1; M 1
	v0n+1=vMn+1=0;
Fmn =(1 2(1 ) )vmn	+ (1 ) (vmn 1 + vmn	+1) + 'mn		; =			:
						h2

Для монотонных разностных схем для коэффициентов выполняются условия > 0, ò.å. > 0.

Запишем разностное уравнение в виде

(1 + 2 )vmn = (vmn+11 + vmn+1+1) + Fmn :

Это соотношение используем для оценки сеточного решения

(1 + 2 )jvmn j 2 kvn kC + kF nkC :

Замечая, что
kF kC kvkC + k'kC ïðè 1			2(1 ) 0;	1 0
получим для схемы (31) неравенство
kvn+1kC kvnkC + k'kC				(32)
при условии	h2
				(33)
		;	0 1:
	2(1 )

40