Конспекты. Blackboard / Тема 9.2 Учебное пособие по конечно-разностным методам решения краевой задачи

Так как левая часть неравенства (12) при qi > 0 и малых h > 0 (малость h нужна из требований

аппроксимации) меньше 2, то на устойчивость прогонки можно рассчитывать лишь в случае, когда q(x) < 0. При этом имеет место

j2 h2qij = 2 h2qi > 2 8h:

Чтобы в таком случае неравенство (12) выполнялось при любых p(x), для правой его части допу-

стимым является только значение 2. Отсюда получаем ограничение

jhpij 2;

означающее, что устойчивость прогонки можно гарантировать при условии, что шаг дискретизации h удовлетворяет неравенству

2
h jpij	8i 2 f1; 2; :::; M 1g:

Усиливая это неравенство и используя утверждение "Аппроксимация плюс устойчивость дает сходимость", приходим к заключению, что если в дифференциальном уравнении (1)

q(x) < 0 8x 2 [0; 1];					(13)
а в определяющем МКР разностном уравнении (7)
2
h				;
	max	p(x)
	x2[0;1] j		j

то МКР сходится (по крайней мере, к решению первой краевой задачи).

Наличие ограничения на шаг h в методе конечных разностей второго порядка (7) характеризует

его как условно устойчивый метод. Если отказаться от аппроксимации всех производных с порядком O(h2) и использовать в роли u0(x) правые или левые разностные отношения первого порядка точности, связывая их выбор со знаком pi, а именно, рассматривая вместо (6) разностное уравнение

v

i+1

2v

+ v

vi+1 vi

;

åñëè pi > 0

i

i 1

+ pi 2 vi

hvi 1

3

+ qivi = fi:

h2

4

h

;

åñëè pi < 05

ïðè i = 1; 2; :::; M 1, придем к конечноразностному методу

vi 1 (2 + hpi h2qi)vi + (1 + hpi)vi+1

= h2fi;

åñëè pi > 0;

(14)

(1 hpi)vi 1 (2 hpi h2qi)vi + vi+1

= h2fi;

åñëè pi < 0;

имеющему первый порядок точности независимо от точности аппроксимации краевых условий. Видно, что при условии (13) диагональное преобладание в методе (14) будет при любой величине

øàãà h > 0. Отсюда следует его безусловная устойчивость. Конечноразностный метод (14) широко

используется при решении задач динамики жидкости и газов и называется противопотоковым методом.

3.2Монотонные разноcтные cхемы

Противопотоковый метод относится к классу монотонных разностных схем. Познакомимся с этим классом схем на примере первой краевой задачу для дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной

Lu "(x)u00+pu0+qu= f (x); 0<x<1;

(1)

21

u(0)= 1; u(1)= 2:

Предполагается, что функции "(x), p(x), q(x) , f (x) обладают необходимой гладкостью. При q(x) 0 задача имеет единственное решение. Наличие малого параметра " (0<" 1) при cтаршей производной приводит к оcобенноcтям в решении, извеcтным под названием пограничных cлоев. На небольшом участке порядка " решение задачи резко возрастает. Учесть эту особенность поведения

решения возможно с помощью монотонных схем.

Зададим число M и на отрезке [0, 1] введем неравномерную сетку

!^ = fxi; 0 = x0 < x1 < x2 < ::: < xM = 1g

Напишем разностную схему с неизвестными коэффициентами
			(2)
Lhvi = aivi 1 + bivi + civi+1 = fi; i = 1; M1; v0 = 1; vM = 2;
ãäå
ai > 0; ci > 0; di = bi + ai + ci 0:			(3)

Такие схемы называются монотонными. Это название объясняется тем, что решение задачи (2) при di = 0, fi = 0, ai > 0, ci > 0 является монотонной функцией на всем отрезке 0 < x < 1, ò. å. ëèáî vi vi+1, ëèáî vi vi+1 äëÿ âñåõ i = 0; 1; :::; M [11, 12, 13].

Для этой разностной схемы справедлив принцип максимума при любом шаге сетки.

Принцип максимума. Теорема 1 (принцип максимума). Пусть выполнены условия (3). Тогда, если

Lvi 0; (Lvi 0)

(4)

äëÿ âñåõ i = 1; 2; :::; M 1 (во внутренних узлах ), òî vi функция, отличная от константы, не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения во внутренних узлах.

Доказательство. Пусть Lvi 0; i = 1; M 1. Пусть vk наибольшее положительное число из v1; :::; vm 1 такое, что по крайней мере одно из чисел vk 1 èëè vk+1 меньше vk . Такое число найдется, так как сеточная функция отлична от константы. Запишем теперь выражение Lvi â âèäå

Lvi = ci(vi+1 vi) ai(vi vi 1) + (bi + ai + ci)vi:

В точке xk в силу условий (3) выполняется неравенство

Lvk ck (vk+1 vk ) ak (vk vk 1) < 0;

òàê êàê vk vk+1, vk > vk 1, ck > 0, ak > 0. Но это противоречит условию теоремы.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично (достаточно заменить vi íà vi и воспользо-

ваться доказанным выше утверждением). Следствие 1. Если выполнены условия (3) è

Lvi 0; i = 1; M 1; v0 0; vM 0;

то функция vi неотрицательна, vi 0, i = 0; M . Åñëè Lvi 0, v0 0, vM 0, òî vi 0 ïðè

i= 0; M .

Âсамом деле, пусть Lvi 0 è vi < 0 хотя бы в одной точке k = i, 0 < i < M ; тогда vi

должна достигать наименьшее отрицательного значения во внутренней точке, что в силу теоремы 1 невозможно.

Следствие 2. Если выполнены условия (3), то единственным решением задачи

			(5)
Lvi = 0; i = 1; M 1; v0 = 0; vM = 0

22

является vi 0, и, таким образом, задача (2) однозначно разрешима при любых fi; 1; 2. Теорема 2 (теорема сравнения). Пусть выполнены условия (3) è vi есть решение задачи (2), à

wi решение задачи

Lwi = fi; i = 1; M 1; w0 = 1; wM = 2

причем

(6)

i = 1; M 1;

j 1j 1; j 2j 2:

jfij fi;

Тогда справедлива оценка jvij wi;

i = 0; M .

Доказательство. В силу следствия 1 имеем wi 0, i = 0; M , òàê êàê Lwi = fi

0, w0 0,

wM 0. Функции Yi

= wi vi è Zi

= wi + vi удовлетворяют уравнению (2) с правыми частями

0 и граничными значениями Y0 = 1 1 0, YM = 2

2 0 è

fi

fi 0 è fi + fi

Z0 = 1 + 1 0, ZM = 2 + 2 0 соответственно. Применив следствие 1, получим

Yi 0; Zi 0

èëè wi

vi wi; ò. å. jvij wi:

Функцию w называют мажорантой для решения задачи (2).

Аппроксимация разностной задачи. Запишем невязку для уравнения (2), учитывая, что

Lu f =0 [7]:

i=(Lhui fi) (Lu f )i = aiui 1 + biui + ciui+1 (qiui + piui0 + "iui00):

Разложим ui+1 = u(xi + hi+1) è ui 1

= u(xi hi) по формуле Тейлора в окрестности точки xi,

предполагая, что функция u имеет непрерывные производные до четвертого порядка включительно:

0

hi2

00

hi3

000

hi4

IV

ui 1 = ui hiui

+

ui

ui

+

u

( ); 2 [xi 1; xi]

2

6

24

0

h2

00

h3

000

h4

IV

i+1

i+1

i+1

ui+1 = ui + hi+1ui +

ui

+

ui

+

u

( ) 2 [xi; xi+1]:

2

6

24

Учитывая эти разложения, будем иметь:

0

hi2+1

h2

00

i = (ai + bi + ci qi)ui + [hi+1ci hiai pi]ui + h

ci

+

i

ai "i)iui +

2

2

hi3+1

hi3

000

hi4+1

IV

hi4

IV

+(

ci

ai)]ui

+

ciu

( ) +

aiu

( ):

6

6

24

24

Введя обозначения = ai + bi + ci qi, =hi+1ci hiai

pi; =(hi2+1ci + hi2ai)=2 "i, перепишем

невязку следующим образом:

i = ui + ui0 + ui00 + (hi3+1ci hi3ai)=6 + [hi4+1ciuIV ( ) + hi4aiuIV ( )]=24:

(7)

Необходимым условием аппроксимации

i!0 ïðè h =

max h

i

!

0 является

!

0,

!

0;

!

0

ïðè h!0:

i

Ïðè =0; =0 найдем выражения для коэффициентов разностного уравнения:

ai=

2( + "i) pihi+1

;

ci=

2( + "i) + pihi

;

bi + (ai + ci) = qi:

(8)

hi+1(hi + hi+1)

hi(hi + hi+1)

Для выполнения условия монотонности необходимо,чтобы

+ "i>pihi+1=2 (ai > 0);

+ "i> pihi=2 (ci > 0):

(9)

23

Введем аппроксимационную вязкость =1 + ="i è обобщенное число Рейнольдса

r=[h

i

+ h

i+1

+

j

h

i+1

h

ij

]

jpij

:

(10)

4"i

Условия(9) равносильны условиям

>

hi+1pi

; >

hipi

2"i

2"i

и будут заведомо выполнены, если

='(r);

(11)

где непрерывная функция '(r) удовлетворяет условиям

'(r)>r; '(0)=1:

(12)

Первое из условий обеспечивает монотонность, а второе аппроксимацию при h ! 0:

Широкий класс алгебраических аппроксимационных вязкостей был предложен В.А. Оняновым:

s(r)=1 +			rs		; s 1:	(13)
		1 + r +		+ rs 1
Если аппроксимационная вязкость при r ! 0 допускает представление
	s(r)=1 + 0(rs);					(14)

òî ïðè s=1 имеет место аппроксимация первого порядка, а при s 2 аппроксимация второго

порядка.

Противопотоковый метод получается из (13) при s=1; 1(r)=1 + r: Широкое использование получила схема А.И. Ильина (r)=r cth(r):

Замечание. "Классическая"разностная схема ( (r)=1) обеспечивает монотонность лишь при

r<1:

3. Устойчивость разностной схемы. Для исследования устойчивости разностной схемы (2) применим теорему сравнения. Построим мажорантную сеточную функцию в виде

wi = max jfijg(xi) + max j(j 1j; j 2j);

i

ãäå g(x) > 0 - некоторая функция. Условия (6) теоремы сравнения w0;M max(j 1j; j 2j) выполнены.

Проверим выполнение первого условия (6) Так как

max f

(a g

+ b g

+ c g

)

max(

;

2j

)(a

+ bi + c

)

Lhwi= i j ij

i

i 1

i

i

i

i+1

j

1j j

i

i

[ai(gi gi 1) + ci(gi

g

)] max f

ij

(a

+ b

i + ci)

max f

ij

i+1

i

j

i

i

j

[ai(gi

g

) + c

(g

i

g

)] max f

;

i 1

i

i+1

i

j ij

то достаточно потребовать

ai(gi gi 1) + ci(gi gi+1) 1:

Ищем функцию g(x) â âèäå

g(x)=e e x

и попытаемся подобрать постоянную >0: Имеем

ai(e xi 1 e xi ) + ci(e xi+1 e xi ) e xi ;

24

ãäå

	xi	= [ai(e hi 1) + ci(e hi+1 1)]:
Òàê êàê e		1, поэтому для выполнения условия Lwi	max		f		достаточно потребовать
			i	j		ij

1:

Если коэффициенты уравнения (1) и аппроксимационная вязкость (r) непрерывные функции своих аргументов, то с помощью (8) легко показать, что также непрерывна по всем своим аргументам в области H [7]:

[

f0 hi; hi+1 h ; xi 2 G g

при любых 0 < 1; в частности, имеет место представление

= "i [ 2 + O( 3h)] + pi( + O( 2h2)]; h = max(hi; hi+1):

Òàê êàê = 0 ïðè = 0 è ! 1 ïðè ! 1, уравнение = 1 имеет по крайней мере один положительный корень. Вид зависимости от показывает, что таких корней может быть лишь конечное число, поэтому наибольший положительный корень (xi; hi; hi+1 ) является непрерывной функцией своих аргументов в области H. Положим

= max :

Y

Тогда на основании теоремы сравнения получаем равномерную оценку

jvij wi= max jfij[e 1] + max(j 1j; j 2 j);

i

которая означает устойчивость схемы. По известной теореме теории разностных схем из аппроксимации и устойчивости следует сходимость разностной задачи (2) к точному решению дифференциальной задачи (1) при h ! 0.

3.3Интегро-интерполяционный метод (метод баланса)

Сущность интегро-интерполяционного метода cоcтоит в том, что разностные уравнения строятся на оcнове интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки cетки. При этом на cетке вводится определенная интерполяция иcкомого решения и коэффициентов уравнения, изменяя которые можно получить различные разностные cхемы. Этот метод был

предложен Cамарcким А.А и Тихоновым А.Н. в начале 50-х годов [11, 12, 13].

1. Построение разностной схемы. Рассмотрим метод на примере третьей краевой задачи для стационарного уравнения теплопроводности [12, 13]

Lu (k(x)u0(x))0 q(x)u(x)= f (x); ku0= 1u 1;

ku0= 2u 2;

0<x<1;	(1)
x=0;	(2)
x=1:	(3)

Задача имеет единственное решение, еcли k(x) c>0; q 0; 1 0; 2 0; k(x); q(x); f (x) - заданные

достаточно гладкие функции.

На отрезке [0,1] введем cетку !h = fx=ih; i=0; M g c шагом h=1=M . Запишем уравнение баланса тепла на отрезке xi 1=2 x xi+1=2:

	xi+1=2		xi+1=2
Wi 1=2 Wi+1=2+x	Z	f (x)dx=x	Z	q(x)u(x)dx; W = ku0;	(4)
	i 1=2		i 1=2

25

ãäå W (x) поток тепла, q(x)u(x) мощность cтоков (при q<0 источников) тепла, пропорциональных температуре, f (x) плотность распределения внешних источников (cтоков) тепла.

Сток тепла происходит за счет теплообмена с внешней средой, происходящего на боковой поверхности стержня. Величина Wi 1=2 дает количество тепла, втекающее через сечение x = xi 1=2 на отрезок xi 1=2 x xi+1=2, Wi+1=2 - количество вытекающего через сечение x = xi+1=2 тепла; третье слагаемое в левой части (4) дает количество тепла, выделяющегося на отрезке xi 1=2 x xi+1=2 за счет распределенных с плотностью f (x) источников тепла, интеграл в правой части (4) есть

количество тепла, отдаваемой внешней среде за счет теплообмена на боковой поверхности.

Чтобы получить из (4) разностное уравнение, заменим W и интеграл, содержащий u, линейными комбинациями значений u в узлах сетки. Для этого воспользуемся интерполяциями в окрестности узла xi. Возьмем простейшую интерполяцию

u = const = ui ïðè xi 1=2 x xi+1=2;

	xi+1=2					xi+1=2
	Z		1			Z		(5)
		q(x)u(x)dx hdiui;	di=		x		q(x)dx;
x				h
	i 1=2					i 1=2

ãäå di есть среднее значение q(x) на отрезке xi 1=2 x xi+1=2 длины h. Проинтегрируем равенство u0= W=k на отрезке xi 1 x xi:

	xi	W (x)
	ui 1 ui= Z		dx:
		k(x)
	xi 1

Предполагая, что W (x) = Wi 1=2 = const ïðè xi 1 x xi, имеем

				xi	dx
ui 1 ui Wi 1=2				Z			:
					k(x)
			xi 1
Отсюда находим приближенное значение Wi 1=2 потока
	u	u				1		xi	dx		1
Wi 1=2 = ai		i h i 1	= aiux;i	; ai =				Z		i	:
						h			k(x)
					h			xi 1

Подставляя (5) и (6) в (4) и обозначая через vi искомую функцию, получим уравнение

1

[a

vi+1 vi

a

vi vi 1

]

d v

=

'

;

h

h

h

i+1

i

i i

i

ãäå

		1	xi	dx 1			0
			Z				Z
ai	=				i	=
		h		k(x)
	h		xi 1			h 1
	0:5
di = Z		q(xi + sh)ds;				'i	=

ds i 1

k(xi + sh)

;

0:5

Z

f (xi + sh)ds:

0:5

0:5

(6)

(7)

(8)

Разностное уравнение (7) записано в фиксированном узле x = xi. Записывая уравнение во всех точках сетки, где оно определено, т. е. при i = 1; 2, :::, M 1, получим систему из M 1 линейных алгебраических уравнений относительно M + 1 неизвестных v0; v1; :::; vM . Два недостающихся

26

уравнения получаются путем аппроксимации граничных условий (2) - (3). Запишем разностную аппроксимацию для краевого условия третьего рода (ku0)o = 1uo 1 ïðè x = 0. Для этого используем уравнением баланса при 0 x x1=2 = h=2.

x1=2

x1=2

W1=2 Wo Z0

qudx= Z0

f (x)dx:

Подставляя сюда

W1=2 = a1ux;1; Wo = (ku0)o = 1uo 1;

x1=2

x1=2

Z0

qudx douo

h

;

Z0

f (x)dx 'o

h

2

2

и заменяя всюду u íà v, получим разностное краевое условие

a1vx;1 1vo + 1 0; 5hdo vo = 0; 5h'o ;

которое можно записать в виде

(9)

a1vx;1 = 1vo 1;

ãäå

1= 1 + 0; 5h'0 .

1= 1 + 0; 5hd0 ;

Разностное уравнение при x=1 имеет вид

aM vx;M

2;

(10)

= 2vM

ãäå

2= 2 + 0; 5h'M ;

2= 2 + 0; 5hdM ;

1

xM

1

xM

Z

Z

dM =

q(x)dx;

'M =

f (x)dx:

0; 5h

0; 5h

xM 0;5h

xM 0;5h

Разностная cхема для задачи (1)-(3), построенная интегро-интерполяционным методом (методом

баланcа), имеет вид:

v (avx)x;i divi + 'i=0;

i=1; M 1;

1;

(11)

a1vx;o= 1vo

aM vx;M

2:

= 2vM

2. Аппрокcимация дифференциального уравнения. Рассмотрим погрешность решения

zi = vi u(xi). Подставляя vi = zi + ui в (11), получим

z = (azx)x dz=

(x);

x2!h;

(12)

= M ;

(13)

a1zx;o + 1zo= o;

aM zx;M + 2zM

ãäå

(x) = (aux)x + du + ';

+ 1;

M = aM ux;M

:

0 = a1ux;0 1u0

2uM + 2

Функция (x) есть погрешность аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (7) на решении u(x), а величины o; M погрешности аппроксимации граничных условий (2)-(3) разностными краевыми условиями на решении u(x).

27

Вычислим погрешность аппроксимации уравнения (11):

=( u + ') (Lu + f ) = ( u Lu) + (' f ) =

=[ h1 (bux aux) (ku0)0] (d q)u + (' f );

где обозначено bi = ai+1: Используем формулу Тейлора:

h2

h3

u(x h) = u(x) hu0(x) +

u00(x)

u000(x) + O(h4)

2

6

и находим

h2

h2

0

h

00

000

3

0

h

00

000

3

ux=u

+

u

+

u

+O(h

); ux=u

u

+

u

+ O(h

):

2

6

2

6

Подставим эти выражения для ux è ux в формулу для

:

(

b a

k0)u0+(

b + a

k)u00+

h(b a)

u000+('

f ) (d

q)u+O(h2):

h

=

2

6

Отcюда видно, что =O(h2); еcли выполнены уcловия

a(x + h) a(x)

= k0(x) + O(h2);

a(x + h) + a(x)

= k(x) + O(h2 );

(14)

2

h

d(x) = q(x) + O(h2);

'(x) = f (x) + O(h2):

(15)

Проверим выполнение уcловий (14). Вводя p(x)=1=k(x); получаем

1

1

xi

h2

Z

=

p(x)dx=pi 1=2 +

p00i 1=2 + O(h4);

ai

h

12

xi 1

èëè

h2 p00i 1=2

h2 p00i

4

3

ai=ki 1=2

+ 0(h

)=ki 1=2

+ 0(h

):

12 p2

12

p2

i 1=2

i

Аналогично

h2 p00

3

i

ai+1=ki+1=2

+ 0(h

):

12 p2

i

Отcюда получаем уcловия (14). Уcловия (15) выполнены в cилу того, что замена интегралов di; 'i значениями qi; fi соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямо-

угольников c узлом в cередине отрезка интегрирования.

3. Аппроксимация граничного условия. Далее оценим на решении u = u(x) дифференци-

альной задачи величину невязки

	0=a1ux;0 1u0 + 1:
Используя разложения a1=k1=2 +0(h2 )=k0+0; 5hk00			+0(h2), ux;o = (u1 uo)=h=uo0 + huo00=2 + O(h2),
получим
0	0	0		2	) =
o = (ku	)o + 0; 5h(ku	)o	1uo + 1	+ 0(h

=[(ku0)o 1uo + 1] + 0; 5[(ku0)0 qu + f ]o + 0(h2 ) = O(h2);

т. е. разностное краевое условие третьего рода (9) аппроксимирует условие (ku0)o= 1uo 1 ïðè

x=0 с погрешностью второго порядка o=O(h2). Аналогичным образом получим M =O(h2):

4. Разностные тождества и неравенства. Для доказательства сходимости разностной схемы, нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства [13].

28

Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке

!h = fxi = ih; i = 0; M ; hM = lg:

Обозначим ui=u(xi), xi 2 !h, ux;i=(ui+1 ui)=h, ux;i

M 1

M

=(ui ui 1)=h, (u; v)=

uivih, (u; v]=

uivih.

i=1

=1

Справедливо следующее разностное тождество:

P

iP

(u; vx) = uM vM u0v1 (ux; v]:

(16)

Действительно,

M 1

hu

vi+1 vi =

M 1

M

u v

M 1

(u; v ) =

u (v

v ) =

u v =

X

X

i+1 i

X

i 1 i

X

x

i=1

i

h

i

i=2

i i

i=1

i=1

M

M

M

X

X

X

= ui 1vi u0v1 uivi + uM vm = vi(ui ui 1) u0v1 + uM vM ;

i=1

i=1

i=1

что и требовалось доказать. Тождество (16) называется формулой суммирования по частям. Подставляя в (16) вместо v выражение ayx и вместо u функцию z, получаем первую разностную

формулу Грина
(z; (ayx)x)= (zx; ayx] + aM yx;M	zM a1yx;ozo:	(17)
Подставив в (16) u = y, v = azx, получим
(y; (azx)x)= (zx; ayx] + aM zx;M	yM a1zx;oyo:	(18)
Вычитая теперь (18) из (17), приходим к разностному аналогу второй формулы Грина
(z; (ayx)x) (y; (azx)x) = aM (zyx yzx)M a1(yxz zxy)0:		(19)
Обозначим
M
X
kzx]j = (zx;i)2h
i=1

и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zM = 0, справедлива неравенство

kzkC2

(!h ) lkzx]j2:

(20)

Для доказательства воспользуемся тождеством

M

M p

p

X

j X

zi =

hzx;j =

h( hzx;j );

i = 0; M 1;

j=i+1

=i+1

и применим неравенство Коши Буняковского

M

M

M

j X

X

X

j

aibij2

(

aj2)(

bj2):

=i+1

j=i+1

j=i+1

Тогда получим

M

M

M

M

jzij2

(

X

X

) = (l xi)

X

j X

h)(

hzx;j2

hzx;j2 l

hzx;j2 ;

j=i+1 j=i+1

j=i+1

=i+1

29

откуда сразу следует неравенство (20).

5. Доказательство сходимости. Получим тождество, которому удовлетворяет погрешность zi=vi ui.

Умножим уравнение (12) на hzi и просуммируем по i îò 1 äî M 1. Тогда получим

((azx)x; z) (d; z2 )= ( ; z):

Применим разностную формулу Грина (с. 29)

(a; zx2 ] aM zx;M zM + a1zx;0z0 + (d; z2 )=( ; z)

и учтя (13), запишем тождество

2	2	2	2	)=( ; z) + 1z0	+ 2zN :	(21)
(a; zx	] + 1zo	+ 2zN + (d; z

Òàê êàê k(x) c1>0; q 0; 1 0; 2 0; то коэффициенты разностной схемы удовлетворяют

неравенствам
	0;		0:	(22)
ai c1>0; di 0; 1		2

Воспользовавшись (22), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (21) следующим образом:

M

M

2

2

2

2

X

2

h c1

X

2

h=c1kzx

2

:

(d; z

) 0; 1z0 0; 2zM 0; (a; zx]=

i=1

aizx;i

i=1

zx;i

]j

В результате получим неравенство

c1kzx]j2 j(

; z)j + j

oj jzoj + j

M 1

hj ij + j oj + j

M j :

(23)

M j jzM j kzkC(!) i=1

X

Учитывая неравенство (20)

kzkC2 (!h ) kzx]j2;

имеем

M 1

1

X

kzkC(!h )

c1

( j ijh + j oj + j M j):

i=1

Поскольку k kC(!h ) = O(h2); j

o j=0(h2); j

M j=0(h2 ), то погрешность zi = vi ui

также является

величиной O(h2) ïðè h ! 0.

Справедливо следующее утверждение.

Пусть k(x) -непрерывно дифференцируемая и q(x), f (x) - непрерывные функции при x2[0; 1], решение задачи (1)-(3) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (11) удовлетворяют условиям (14), (15), (22). Тогда решение разностной задачи (11) сходится при h ! 0 к решению исходной дифференциальной задачи (1)-(3) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка

kv ukC(!h ) Ch2;

ãäå C - постоянная, не зависящая от h:

30