- •Тема 1. Дифференциалы и элементарное интегрирование
- •Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование иррациональностей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла
- •Числовые ряды
- •9. Степенные ряды
- •Список рекомендуемой литературы
Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Для вычисления данного интеграла сделаем замену: . Тогда,. Исходный интеграл сведется к виду:
Чтобы вычислить полученный интеграл, раскроем в числителе куб разности и почленно разделим числитель на знаменатель. Имеем:
Каждое из слагаемых под знаком интеграла представляет собой степенную функцию. Почленно интегрируем выражение и затем возвращаемся к исходной переменной :
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Сделаем замену: . Тогда. Видно, что синус, стоящий в подинтегральной функции, войдет в дифференциал. Тогда
.
Следует отметить, что в данном случае замена эквивалентна внесениюпод знак дифференциала:
.
Тогда интегрируя, получим тот же самый результат:
.
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Представим подинтегральную функцию в виде:
Теперь можно внести cos x под знак дифференциала, или сделать замену:
Тогда косинус, стоящий в числителе, войдет в дифференциал новой переменной t:
.
Чтобы привести этот интеграл к табличному интегралу вида
,
нужно вынести из знаменателя знак минус:
.
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Данный интеграл можно преобразовать к табличному, если за новую переменную обозначить подкоренное выражение:
5. Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Вносим множитель под знак дифференциала:
.
(Это эквивалентно замене переменной: ). Тогда интеграл сведется к табличному интегралу
Имеем:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Применим метод интегрирования по частям, который описывается формулой:
Выберем
Тогда
Подставляем в формулу интегрирования по частям:
7. Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Снова интегрируем по частям:
(Последний интеграл взяли с помощью замены переменной).
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Интегрируем по частям:
Полученный интеграл, в отличие от исходного, содержит в первой степени, поэтому видно, что проинтегрировав его еще раз по частям, мы в итоге получим интеграл, содержащий только тригонометрическую функцию:
Отметим, что метод интегрирования по частям удобно применять к интегралам следующих основных типов:
; ;;;;;;.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
2.1. Вычислить интегралы, используя замену переменной:
а)б)в)г)д)е)
ж)з)и)к)л)
м)н)о)п)р)
с) т)у)ф)х)
2.2. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:
а)б)в)г)д)е)
ж)з)и)к)л)
м) н)о)
Интегрирование рациональных дробей
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Вычислить интеграл
РЕШЕНИЕ:
В знаменателе дроби квадратный трехчлен: .
Выделим в знаменателе полный квадрат:
Тогда выражение, стоящее в квадрате, можно обозначить за новую переменную (интеграл при этом сведется к табличному):
Этот результат можно получить из других соображений. Поскольку к переменной под дифференциалом можно без изменения его значения прибавлять или вычитать любое число, положим . Интеграл при этом сведется к табличному:
Вычислить интеграл:
РЕШЕНИЕ:
.
Снова выделяем в знаменателе полный квадрат и преобразуем выражение под дифференциалом:
Полученный интеграл еще не является табличным. Чтобы привести его к табличному виду, надо вынести из знаменателя знак минус:
Имеем:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Выделяем в знаменателе полный квадрат и делаем замену:
Полученный интеграл еще не является табличным. Делим числитель почленно на знаменатель и разбиваем исходный интеграл на разность двух интегралов:
Первый интеграл табличный. Второй интеграл берется заменой . Тогда. Эта замена эквивалентна внесениюпод знак дифференциала. Имеем:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Выделяем в знаменателе полный квадрат и делаем замену:
Снова разбиваем на два интеграла. Первый интеграл табличный. Второй берем заменой . Тогда. Получим:
5. Вычислить интеграл:
РЕШЕНИЕ:
Для вычисления этого интеграла применим метод неопределенных коэффициентов. Подинтегральную дробь разложим на сумму элементарных дробей:
.
Чтобы определить коэффициенты , приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
Приравняем числители полученной и исходной дробей:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , можно найти искомые коэффициенты. Поскольку данное равенство справедливо для любых значенияхх, то полагая x равным поочередно значениям, обращающим в нуль знаменатель( то есть 1, -3 и 4) последовательно найдем все неопределенные коэффициенты.
Тогда подставляем в исходное выражение :
Слагаемые с коэффициентами А и С обращаются в ноль и остается
Аналогично, если
И в последнем случае
Теперь подставляем найденные коэффициенты в разложение, и исходный интеграл представляем в виде суммы трех интегралов, каждый из которых будет табличным:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Вычислить интегралы с помощью замены переменной:
а);б)в)г)
д)е)ж)з)
и)к)л)
3.2. Вычислить интегралы методом неопределенных коэффициентов:
а)б)в)г)
д)е)ж)з)
и)