- •Тема 1. Дифференциалы и элементарное интегрирование
- •Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование иррациональностей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла
- •Числовые ряды
- •9. Степенные ряды
- •Список рекомендуемой литературы
Определенный интеграл
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Для вычисления определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница:
Сначала находим первообразную для подинтегральной функции:
.
Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то возьмем такую первообразную, для которой .
Получим:
.
Заметим, что сначала в первообразную подставляется верхний предел интегрирования а затем нижний. В отличие от неопределенного интеграла, при вычислении которого получается семейство функций, определенный интеграл равен конкретному числу.
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
По формуле Ньютона-Лейбница:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Используем замену переменной: . Тогда. Один из синусов войдет в дифференциал. Останется. Меняем пределы интегрирования: на нижнем пределе, следовательно. Верхний предел:.
Имеем:
По свойству определенного интеграла, можно поменять местами пределы интегрирования (это делается для удобства вычислений, чтобы нижний предел был меньше верхнего), при этом поменяется знак перед интегралом:
Заметим, что при использовании замены переменной в определенном интеграле ненужно возвращаться к старой переменной, как это делалось при вычислении неопределенных интегралов, поскольку одновременно с заменой переменной мы меняем пределы интегрирования.
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Снова используем замену переменной в определенном интеграле:
5. Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Используем метод интегрирования по частям:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
Вычислить определенный интеграл:
а)б)в)г)
д)е)ж)з)и)
Вычислить определенный интеграл, используя замену переменной:
а)б)в)г)д)
е)ж)з)и)к)
Вычислить определенный интеграл, используя интегрирование по частям:
а) б)в)г)д)
е)ж)з)
Приложения определенного интеграла
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: и.
РЕШЕНИЕ:
Первая линия представляет собой параболу с вершиной в точке (0;4) и ветвями, направленными вниз. Вторая линия тоже парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим эти линии:
Площадь фигуры, заключенной между двумя линиями и, на отрезкегде, вычисляется по формуле:
.
В нашей задаче: и.
Чтобы найти пределы интегрирования a и b, нужно определить абсциссы точек пересечения этих двух линий. Находим их, решая систему уравнений:
Имеем:
Следовательно, .
Находим площадь фигуры:
(кв. единиц)
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ,,,.
РЕШЕНИЕ:
Первая линия представляет собой логарифмическую кривую. Линии исовпадают с осямиисоответственно. Линияпараллельна оси.
Изобразим эти линии:
Из рисунка видно, что удобнее решать эту задачу, проецируя криволинейную трапецию на ось ординат. В противном случае ее придется разбивать на две фигуры. Тогда формула для вычисления площади будет иметь вид:
.
В нашей задаче . Следовательно.
Пределы интегрирования и.
Получим:
(кв. единицы)
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ,,и расположенной в первой четверти.
РЕШЕНИЕ:
Кривая - гипербола, кривая- парабола с вершиной в начале координат.- прямая, параллельная оси абсцисс.
Изобразим эти линии:
Искомая площадь выразится как разность площадей:
.
Каждая из этих площадей может быть найдена через соответствующий определенный интеграл.
Площадь - это площадь под линиейна отрезкеDF. Найдем пределы интегрирования (абсциссы точек D и F, которые совпадают с абсциссами точек A и B).
Точка А – точка пересечения прямой и гиперболы:
Точка В – точка пересечения прямой и параболы:
Тогда
(кв. единиц).
Площадь - это площадь под гиперболойна отрезкеDE. Найдем абсциссу точки E, которая совпадает с абсциссой точки F.
Точка F – точка пересечения параболы и гиперболы:
Тогда
(кв. единиц)
Площадь - это площадь под параболойна отрезкеEF:
(кв. единиц)
Находим искомую площадь:
(кв. единицы)
Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:,.
РЕШЕНИЕ:
Линия представляет собой параболу с вершиной в точке (-2;0) и ветвями, направленными вправо.- прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.
Изобразим эти линии:
Вращаемая фигура – криволинейный треугольник ОАВ. Объем тела, полученного от вращения вокруг оси криволинейной трапеции, образованной линияминаходится по формуле:
.
В нашем случае искомый объем выразится через разность:
Найдем эти объемы.
- объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной сверху параболой на отрезкеАС. Найдем абсциссу точки С, которая совпадает с абсциссой точки В:
.
Так как под знаком интеграла должна стоять функция, зависящая от х, то из исходной функции выражаем:. Тогда
(куб. единиц)
Аналогично находим объем . Это тело образовано вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной сверху прямойна отрезкеOD. Тогда
(куб. единиц).
Тогда искомый объем будет равен:
(куб. единиц).
5. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: ,.
РЕШЕНИЕ:
Линия представляет собой параболу с вершиной в точке (1;-1) и ветвями, направленными вверх.- ось абсцисс.
Изобразим эти линии:
Так как вращение происходит вокруг оси ординат, то формула для вычисления объема принимает вид:
.
Тогда искомый объем выразится как разность:
.
Найдем эти объемы. Для этого найдем уравнения кривых ОА и ОВ в виде :
.
Решаем это квадратное уравнение, считая параметром:
Таким образом,
- уравнение линии АВ.
- уравнение линии ОВ.
Тогда
Находим искомый объем:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой , прямымии осью ординат.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: ветвью гиперболы , прямымии осью абсцисс.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой , прямойи осями координат.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой и осью абсцисс.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами , прямыми.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой , прямой.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой , прямой.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , прямыми.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: гиперболой и прямыми.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной кривой и отрезкомоси ординат.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: параболойи прямыми, где.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной параболами: .
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: кривой и прямыми.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: кривой и прямыми.