- •Тема 1. Дифференциалы и элементарное интегрирование
- •Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование иррациональностей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла
- •Числовые ряды
- •9. Степенные ряды
- •Список рекомендуемой литературы
4. Интегрирование иррациональностей
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Подинтегральная функция записана как функция от корней степеней 2 и 4. Так как наименьшее общее кратное степеней 2 и 4 равно 4, то данный интеграл является интегралом типа , который рационализируется заменой:. Тогда. Имеем:
Получили интеграл от рациональной функции. Чтобы его вычислить, в числителе добавим и вычтем 1, после чего почленно разделим числитель на знаменатель, выделяя целую часть исходной дроби:
Первый и третий интегралы табличные, а второй берем заменой переменной: . Тогда. Получаем:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Имеем интеграл вида , который вычисляется заменой.
В нашем случае:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
В знаменателе дроби под корнем квадратный трехчлен: .
Выделяем полный квадрат:
.
Тогда делаем замену . Следовательно,и. Имеем:
.
Делим почленно числитель на знаменатель и представляем как сумму двух интегралов:
Первый интеграл берем заменой . Тогда. Второй интеграл табличный.
Имеем:
Заметим, что данный интеграл можно также вычислить методом выделения в числителе производной знаменателя. Этот метод всегда удобно использовать, когда в числителе стоит линейная функция, а в знаменателе – квадратный трехчлен. Производная знаменателя в нашем случае будет равна . Запишем в числителе, тогда чтобы выражение в числителе осталось прежним необходимо умножить наи прибавить 7. Несложно заметить, что, то есть выражение не изменилось. Тогда имеем:
.
Поскольку есть производная от знаменателя, тогда будучи подведенным под знак дифференциала это выражение даст значение знаменателя и первый интеграл легко сводится к табличному, второй интеграл берется аналогично предыдущему решению, то есть выделением полного квадрата . Окончательно получим:
Вычислить интеграл:.
РЕШЕНИЕ:
По аналогии с предыдущим случаем, выделяем полный квадрат под корнем и делаем соответствующую замену:
Представляем этот интеграл как разность двух интегралов. Первый будет интеграл табличный. Второй снова берем заменой:. Тогда.
Имеем:
Решая тот же пример, методом выделения производной знаменателя имеем:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
Вычислить интегралы:
а)б)в)г)д)
е)ж)з)и)к)
л)м)н)о)
п)р)с)т)
у)ф)
Интегрирование тригонометрических функций
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Используем для вычисления этого интеграла универсальную тригонометрическую подстановку: . Тогда
В полученном интеграле выделяем в знаменателе полный квадрат и делаем замену:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Данный интеграл является интегралом вида , где- натуральные числа.
Если - четное,- нечетное, то используется подстановка.
Если - четное,- нечетное, то используется подстановка.
Если - нечетные, то используется любая из этих подстановок.
Если - четные, то применяются формулы понижения степени и интеграл сводится к одному из трех рассмотренных выше типов.
В нашем случае . Используем подстановку. Тогда. Поэтому один синус в подинтегральной функции войдет под знак дифференциала. Останется. Его заменяем с использованием основного тригонометрического тождества:. Имеем:
Вычислить интеграл:
РЕШЕНИЕ:
Данный интеграл относится к рассмотренному выше типу интегралов. Поскольку степени у синуса и косинуса в подинтегральной функции четные, необходимо сначала использовать формулы понижения степени:
Имеем:
В первом интеграле снова используем формулу понижения степени, а во втором подводим под знак дифференциала либо делаем замену:. Тогда.
Получаем:
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Данный интеграл относится к интегралам вида . Для вычисления такого интеграла произведение тригонометрических функций преобразуется с помощью известных формул в сумму. Таким же образом вычисляются интегралы видаи.
В нашем случае используем формулу
.
Поскольку под знаком интеграла стоит произведение трех косинусов, то данную формулу применяем дважды.
Вычислить интеграл: .
РЕШЕНИЕ:
Используем замену: . Тогдаи один из синусов в числителе войдет под знак дифференциала новой переменной. Останется.
Получим:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
Вычислить интегралы:
а)б)в)г)
д)е)ж)з)
и)к)л)м)
н)о)п)р)с)
т)у)ф)