- •Тема 1. Дифференциалы и элементарное интегрирование
- •Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование иррациональностей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла
- •Числовые ряды
- •9. Степенные ряды
- •Список рекомендуемой литературы
9. Степенные ряды
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Найти область сходимости степенного ряда: .
РЕШЕНИЕ:
Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:
По признаку Даламбера этот ряд сходится при тех значениях , при которых выполняется условие:
В нашем случае
Тогда:
По признаку Даламбера, чтобы ряд сходился, должно выполняться условие
Таким образом, исходный ряд сходится на промежутке .
Исследуем сходимость этого ряда на концах промежутка.
При ряд принимает вид:
Это гармонический ряд , который расходится. Поэтому принаш ряд будет расходящимся.
При ряд принимает вид:
Это знакочередующийся ряд, исследуем его на абсолютную и условную сходимость.
Составляем ряд из абсолютных значений:
Получили опять расходящийся гармонический ряд. Следовательно абсолютной сходимости нет. Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница:
1.
- каждый последующий член ряда меньше предыдущего, поэтому первое условие признака Лейбница выполняется.
2.
Второе условие признака Лейбница также выполняется: предел общего члена ряда равен нулю. Поэтому данный ряд будет условно сходиться.
Таким образом, область сходимости исходного ряда будет: .
Разложить функцию в ряд Маклорена.
РЕШЕНИЕ:
1 способ.
Используем формулу непосредственного разложения функции в ряд Маклорена:
Находим производные заданной функции:
………………
Находим значение функции и производных при :
……………
Подставляем полученные значения в формулу для разложения функции в ряд Маклорена:
2 способ:
Представим
Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена для функции :
Тогда разложение функции будет:
Имеем для заданной функции:
Нетрудно видеть, что результат, полученный обоими способами, совпадает.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
9.1. Найти область сходимости степенного ряда:
а) б)
в)г)
д) е)ж)
з)
9.2. Разложить функцию в ряд Маклорена:
а) б)в)г)д)
е) ж)з)
Список рекомендуемой литературы
Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера. Москва, Юнити, 2000.
Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Москва, Инфра-М, 1999.
Малыхин В.И. Математика в экономике.-М., Инфра-М, 1999.
Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. Москва, Высшая школа, 2002.
Сборник задач по математике для ВТУЗов под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.: Наука, ч.1, 2, 1986.
Берман Н.Г. Сборник задач по курсу математического анализа. Москва, 1977 и др.