Теоремы о пределах. Глава 3. Раздел 1

ГФ Первый курс Осень 2009

Высшая математика

Лисеев И.А.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Итак, { x n } - бесконечно малая.

Для доказательства того, что

1 / х n – б.б. возьмѐм М > 0 . Обозначим

1

.

Так как

{ x n }

– бесконечно

M

малая, то для этого

найдѐтся n 1 такое, что при всех n > n 1

будет

|x n | < .

Теперь подставляем сюда выражение для :

| x

|

1

. Значит, будет

n

M

| 1/x n | > M при всех n > n 1 . А это означает, что

l i m

1

,

то есть { 1 / x n } –

n xn

бесконечно большая.

? ! ? Удобно раньше везде написать в определениях, что М > 0.

2) Обратное утверждение доказывается аналогично.

.....

Т е о р е м а ( д л я ф у н к ц и й ) . Если ( х ) – бесконечно малая при х и ( х ) 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то 1/ ( х ) – бесконечно большая при х . И обратно, . . .

Кратко (символически, образно) отмеченная связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами описывается так:

	1	=	и	1		= 0 .
	0

§ 4 . С Р А В Н Е Н И Е Б Е С К О Н Е Ч Н О М А Л Ы Х

И Б Е С К О Н Е Ч Н О Б О Л Ь Ш И Х

1 . Ср а вне ние бес ко не чно ма лых .

О п р е д е л е н и я . Пусть функции ( х ) и				(х ) являются бесконечно малыми при х
(где – конечное или бесконечное). Тогда:
1) Если		l i m	( x )	1 ,
		x	( x )
то ( х ) и ( х ) называются		э кв ива лент ными бес ко неч но ма лы ми
при х . Пишут:
	(х ) (х )			при х .		(*)
Смысл эквивалентности (*) состоит в том, что при					х можно принять, что
и (х ) (х ). Это равенство обычно тем точнее, чем					ближе х к .8

8 Конечно, это утверждение не совсем строгое, но так обычно бывает на практике.

По этому поводу можно рассказать следующее. Конечно, можно сконструировать пример, когда при х более близком к равенство окажется менее точным. Но, как говорят, б о г н е з л о н а м е р е н . Поэтому в тех случаях, с

которыми человек имеет дело на практике, это равенство, действительно, тем точнее, чем ближе х к .

11

То есть в этой сумме определяющую роль играет

Высшая математика (Ли…)	Раздел 1.	Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.
Например, школьники знают, что при х, близких к нулю,							имеют место сле-
дующие приближѐнные равенства:		sin x	x,	tg x		x.	Это как раз связано
с эквивалентностью, так как	при х 0 :		sin x	~	x,	tg x	~ x.
Ещѐ пример. Рассмотрим дугу s		на некоторой кривой и стягивающую еѐ хорду .
Если одна из этих величин 0 ,	то и другая – тоже стремится к нулю. Так что можно представить

себе, что это – две бесконечно малые величины. Оказывается, что они – эквивалентные бесконечно малые. Именно поэтому при определении длины кривой используют длину ломанной, вписанной в эту кривую. Длина кривой определяется как предел длины ломанной, вписанной в эту кривую, при неограниченном увеличении числа звеньев ломанной и при стягивании всех звеньев в точки.

2) Если	l i m	( x ) A	(А – конечное, 0 ) ,
	x	( x )
то ( х ) и ( х )	называются	б ес ко не чно ма л ым и о дно го по р яд ка ма л о -
ст и при х .
При х, близких к ,		получается приближѐнное равенство ( х )		( х ) ∙ А .

Тут одна величина получается из другой умножением на какое-то (это может быть тысяча или миллион) конечное число (пусть даже очень большое). В таком случае величины всѐ

равно считаются одного порядка малости.

↓

23-09-2011г.

3) Если

l i m

( x )

0

,

x

( x )

то ( х ) называется

б ес ко не чно ма ло й

бо лее вы соко го по р я дка ма л о -

ст и , чем ( х ) при х

. Пишут:

( х ) = о ( ( х ) ) .

( говорят: о - малое )

Величина

( х ) равна о – малому от

( х ) .

В о п р о с : Скажите, какая величина из этого определения: ( х ) или ( х ) – "меньше", а какая "больше" (по модулю) ?

П р и м е р 1 . (Ситуация, когда приходится учитывать порядок малости величин) Если в какой-то сумме

двух слагаемых, являющихся бесконечно малыми величинами при х , первое слагаемое в некоторой окрестности отлично от нуля, а второе слагаемое при х – более высокого порядка малости, чем первое, то существует такая окрестность , в которой знак сум- мы определяется знаком первого слагаемого.

первое слагаемое. Второе слагаемое более высокого порядка малости – это уже несущественная "ме-

лочь".

П р и м е р 2 . (Как может получиться величина более высокого порядка малости) Если (х) и (х ) –

величины бесконечно малые при х , то величина ( х) = (х)∙ (х), равная произведению этих бесконечно малых будет при х бесконечно малой более высокого по-

рядка малости, чем каждая из бесконечно малых (х)	или (х) .
12

ГФ Первый курс Осень 2009	Высшая математика		Лисеев И.А.
В самом деле, ……
П р и м е р 3 . Если (х) = si n x	и ( х) = si n x2 ,	то при х	0 величина (х )

является бесконечно малой боле высокого порядка малости, чем (х) .

При доказательстве надо воспользоваться эквивалентностями (см дальше).

Для отличников. С бесконечно малыми определены операции …

2 . Ср а вне ние бес ко не чно бо л ьших .

О п р е д е л е н и е . Пусть функции P( x ) и Q ( x ) – бесконечно большие при х

(где – конечное или бесконечное). Тогда , если

l i m	P( x )		1 ,
x Q( x )

то P ( x ) и Q ( x ) называются э кв ива л ент ным и бе ско не чно бо л ьш им и при

х.

Пр и м е р с конкретным многочленом.

Доказать, что 5 х 4 + 8 х 3 – 3 х 2 + 2 х – 1 ~ 5 х 4 при х .

П р и м е р . Доказать, что при х многочлен

Pn (x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + … + a1 x + a0

эквивалентен своему старшему члену

Pn (x) ~ an xn .

Подсказка: примените "деление на старший член".

3. Использование эквивалентностей при вычислении пределов .

Т е о р е м а . Если 1 ( х )		2 ( х ) при	х , то
1) l i m f ( x ) 1( x ) l i m		f ( x ) 2 ( x )		2) l i m	f ( x )		l i m	f ( x )
x	x			x 1( x )			x 2 ( x )

Точнее говоря, если существует предел (конечный или бесконечный) в правой части первого и второго равенства, то существует предел и в левой части этих равенств, и эти пределы равны.

При вычислении пределов это понимается так. Мы пользуемся этими равенствами, и если в результате получаем какое-то значение предела (конечное или бесконечное), то это и есть ответ.

П р а к ти ч е с к о е п р а в и л о . При вычислении предела произведения или частного множители, делимое, делитель можно заменить величинами, им эквивалентными.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для доказательства мы исходное выражение под знаком предела умножим и раз-

делим на 2 ( х ) .
		Д о к - в о 1 .
	13

Высшая математика (Ли…)			Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.
	А потом учтѐм определение эквивалентности величин …
1)	l i m f ( x ) 1( x ) l i m			f ( x ) 1( x ) 2	( x )		l i m f ( x ) 2( x )	l i m	1( x )
				2( x )					2( x )
	x	x					x	x

l i m f ( x ) 2 ( x ) .

2)

l i m

f ( x )

l i m

f ( x )

2

( x )

l i m

f ( x )

l i m

2( x )

l i m

f ( x )

#

1( x )

1( x )

2( x )

1( x )

2( x )

x

x 2( x )

x

x

x

З а м е ч а н и е . При рассмотрении этой теоремы мы не стали акцентировать внимание на некоторые нюансы, связанные с тем,

что знаменатели дробей не должны обращаться в ноль. Эти нюансы такие …

Во-первых, во второй ситуации в некоторой проколо-

той окрестности

функции

1 ( х )

и 2

( х ) должны быть отличны от нуля, поскольку в левой и правой частях формулы мы

делим на них. Во-вторых, в ситуации 1

при доказательстве мы делим на функцию

2 ( х ) , так что наше доказательство проведено

для случая, когда она отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности

. На самом деле теорема верна и без этого

предпо-

ложения. Но если не сделать этого предположения, то доказательство усложняется.

Ещѐ внимательные студенты могут обратить внимание на то, что в учебниках (смотрите, например, Письменного,

п.18.2) эта

теорема формулируется только для случая, когда все фигурирующие в ней функции –

бесконечно малые.

Но на самом деле, это усло-

вие совсем не является обязательным для справедливости теоремы.

Мы нигде при доказательстве этим условием не пользовались.

Поэтому сформулированное практическое правило можно применять, что мы и делаем на практических занятиях, и к беско-

нечно большим функциям.

Помните, при вычислении пределов, когда аргумент стремился к бесконечности, мы многочлен заменяли

его старшим членом,

так как многочлен и его старший член

являются в этой ситуации бесконечно большими эквивалентными

функциями.

§ 5 . С В Я З Ь П Е Р Е М Е Н Н О Й В Е Л И Ч И Н Ы И Е Ё П Р Е Д Е Л А

Другие возможные названия для этого параграфа. Теорема о представлении функции, имеющей конечный предел. Выражение переменной величины через еѐ предел.

		Т е о р е м а . Пусть функция f ( x )				определена в некоторой проколотой окре-
стности (где – конечная точка или бесконечность).
		Если существует конечный предел функции в этой точке
					l i m f ( x )			A ,		(1)
					x
то		функция f ( x )	в	окрестности			представима в виде
					f ( x ) = A + ( x ) ,					(2)
где		( x ) – бесконечно малая при				х .
		Верно и обратное утверждение.						Если функция f ( x ) представима
в некоторой проколотой окрестности								в виде
					f ( x ) = A + ( x ) ,
где		А – конечное число,			( x ) – бесконечно малая при					х , то
существует конечный предел
					l i m	f ( x )		A .
					x
		Кратко символически теорему можно описать так …
		lim		=					= +
									− б. м. при
								14

ГФ Первый курс Осень 2009				Высшая математика				Лисеев И.А.
#	Доказательство. 1) Пусть				l i m	f ( x )	A .
								Д о к - в о 2 .
					x
Это означает, что			для 0		существует проколотая окрестность				,		в ко-
торой разность		| f ( x )	– A | < .		А это означает, что величина			f ( x )	– A		(обо-
значим еѐ через		( x ) )	– бесконечно малая при х .
Таким образом, f ( x ) –				A = ( x ) –		б . м . при х .
Отсюда	f ( x ) = A + ( x ) ,			где ( x ) – бесконечно малая при х .
	2) Обратное утверждение ...
Пусть теперь		f ( x ) = A +		( x ) ,	где ( x ) – бесконечно малая при х .
Так как величина			( x ) = f ( x )		– A	– б . м . при х , то		для
0 существует проколотая окрестность						,	в которой модуль этой величины
| ( x ) | =	| f ( x )	– A | <	. А если для 0 существует проколотая окрестность
, в которой разность			f ( x ) – A		по модулю меньше , то это означает, что
l i m f ( x ) A .		#
x

Теорема для последовательностей. ……….

§6 . П Р Е Д Е Л Ы Р Е З У Л Ь Т А Т О В А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Х О П Е Р А -

ЦИ Й . П О Н Я Т И Е Н Е О П Р Е Д Е Л Ё Н Н О С Т Е Й

Пусть - конечно или бесконечно ( R ).

1 . С во йст ва лин ейно ст и пр е дел ьно го пер ех о да .

(предел суммы или разности двух функций равен сумме или разности пределов этих функций)
(постоянный множитель можно вынести за знак предела)
l i m [ f (x) (x)] l i m f (x) l i m (x) ;			l i m [k f (x)] k l i m f (x) ;
x	x	x	x	x

2 . Пр е дел пр о из вед ени я и ча ст но го

(предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций) (предел частного равен частному пределов, если в знаменателе не получается ноль)

					f (x)		l i m f (x)
	l i m [ f (x) (x)] l i m f (x) l i m (x) ;			l i m			x	;
					p(x)		l i m p(x)
	x	x	x	x

x

При более точной формулировке этих теорем надо говорить так ...

Если существуют конечные пределы в правых частях написанных равенств и предел, стоящий в знаменателе, не равен нулю: l i m p ( x ) 0 , то существуют конечные пределы левых частей и написанные равенства верны.

Для конечных пределов и для отличного от нуля предела в знаменателе эти теоремы есть во всех учебниках (даже в школьных) . Разберите доказательства этих теорем по какому-нибудь учебнику.

15

Высшая математика (Ли…)

Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.

З а м е ч а н и е . Все эти теоремы верны не только для функций, но и для последовательностей. (или лучше так сказать: аналогичные теоремы имеются и для последовательностей)

Если договориться о некоторых обозначениях (через "0" обозначить бесконечно малую, а через "∞" обозначить бесконечно большую), то можно будет говорить, что теорема верна и для таких случаев:

1		= ∞,	1		= 0,	+ ∞ + +∞ = +∞ и т. п.
0			∞
То есть, для таких случаев, когда						пределы равны бесконечностям, и когда в

знаменателе будет нулевой предел.

Но и после этого, не будут охвачены все возможные ситуации. Ситуации, когда теоремы не будут "работать" называются неопределѐнностями. В правых частях формул, описывающих неопределѐнности, мы будем писать вопросительный знак. А сами эти формулы будем помечать значком "!".

3 . С лу ча и бе ско не чн ых пр ед ело в . С лу ча й бе ско не чно ма л о й ве - л и чин ы в з на менат еле . Нео пр е дел ѐнно ст и .

Если договориться об арифметических операциях с бесконечностями и о результате деления на ноль, то получится, что теоремы о пределах результатов арифметических операций справедливы и в некоторых случаях бесконечных пределов и нулевого предела в знаменателе. Перечислим эти случаи (они помечены значком * ) и приведѐм обозначения.

1) Начинаем с первого свойства линейности. Оказывается, если пределы слагаемых равны бесконечностям одного знака, то предел их суммы равен бесконечности того же знака.

Например,

если

lim ( ) = + ,

lim ( ) = + , то

lim ( ( ) + ) = lim ( ) + lim ( ) = + .

Кратко символически это записывается так.

*

(+ )+ (+ ) =+ ;

( – )+ (– ) = – .

Образно говорят, что сумма бесконечностей одного знака равна бесконечности

того же знака.

Так же будет:

*

(+ )– (– ) =+ ;

( – )– (+ ) = – .

Но для разности бесконечностей одного знака не удаѐтся сформулировать и до-

казать какого-то похожего утверждения.

Пусть

lim ( ) = + , lim ( ) = + . Чему может быть равен предел

lim ( ( ) +

) = ?

Тут может быть что угодно. Может быть бесконечность,

может быть ноль, а может быть и любое другое число. Поэтому это называют неопре-

16

ГФ Первый курс Осень 2009		Высшая математика			Лисеев И.А.
делѐнностью. Говорят: неопределѐнность "бесконечность минус бесконечность".
Пишут: "	– " или
		" – = ?" .			!
Эта неопределѐнность имеет место для бесконечностей одного знака.
2) Переходим ко второму свойству линейности.
Если	lim ( ) = ,	k 0 – константа, то		lim ∙ ( )	= . (Без доказательства)
Кратко символически это записывается так.
		k∙	= .
Образно говорят, что произведение бесконечности на константу, отличную от
нуля, равно бесконечности.		Сами догадайтесь, как можно уточнить этот результат

если будет известен знак константы k и знак бесконечности в левой части. Какой знак будет у бесконечности в правой части равенства?

Умножение или деление бесконечности на положительное (на отрицательное) число даѐт бесконечность того же (противоположного) знака. Не уточняя знаков, пишут:

* c = , если с 0 .

Если же константа равна нулю, то результат тоже будет равен нулю. Не путайте это с неопределѐнностью 0∙ , о которой мы будем говорить ниже. Там ноль у нас будет не константой, а переменной величиной, стремящейся к нулю.

3) Начнѐм рассматривать произведение переменных величин.

(без доказательства поверьте … ) Предел произведения переменных величин, имею-

щих бесконечные пределы одного знака, равен + .	Предел произведения переменных
величин, имеющих бесконечные пределы одного знака, равен – . Не уточняя знаков,
пишут:

* = (заметьте, это не неопределѐнность, тут всѐ ясно) .

В произведении переменных величин неопределѐнность возникает тогда, когда один из множителей стремится к нулю, а другой множитель стремится к бесконечности. То есть, когда имеется произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую. Предел такого произведения может быть бесконечностью, может равняться нулю или какому-либо другому числу. Поэтому говорят, что это – неопределѐнность. Еѐ обозначают так: "0 " или

	"0 = ? " .	!
4)	Теперь рассмотрим отношение переменных величин.
∙∙	(без доказательства поверьте … ) Если числитель константа или стремится к ко-

нечному пределу, а знаменатель стремится к бесконечности, то предел такого отношения равен нулю.

17

Высшая математика (Ли…)

Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.

Символически это записывают так: = 0 . Тут совсем не важно, какая кон-

станта стоит в числителе, а важно, что знаменатель стремится к бесконечности. Поэтому часто эту ситуацию описывают так:

	*	1					= 0.
	В этой ситуации всѐ ясно. Тут нет никакой неопределѐнности. Можно сказать,
	что с такой ситуацией мы уже сталкивались раньше.									Величина, обратная бесконечно
	большой величине является бесконечно малой величиной.
	∙∙	(без доказательства поверьте … ) Если числитель стремится к конечному преде-
	лу или бесконечности, а знаменатель стремится к нулю, то предел такого отношения
	равен бесконечности.
	Символически это записывают так:								=	или = . В первой записи
							0
										0
	совсем не важно, какая константа стоит в числителе, а важно, что знаменатель стре-
	мится к нуля. Поэтому часто эту ситуацию описывают так:
	*		1				= .
		0
	В этой ситуации всѐ ясно. Тут нет никакой неопределѐнности. Можно сказать,
	что с такой ситуацией мы уже сталкивались раньше.									Величина, обратная бесконечно

малой величине является бесконечно большой величиной.

∙∙ При рассмотрении предела отношения переменных величин неопределѐнности возникают в следующих двух случаях. Первый случай. Когда числитель и знамена-

тель стремятся к нулю.

Символически он описывается так: "

0

" или

0

0

!

" 0 = ?

".

Второй случай. Когда числитель и знаменатель стремятся к бесконечности.

Символически он описывается так:

"

" или

!

"

= ? ".

∙∙

- - - -

Уважаемые студенты, вы должны понимать смысл всех этих сокращѐнных символических за-

писей.

1

;

1

;

1

0 ;

1

0 ;

0

0

1

;

1

0;

0

Вы должны уметь записать их с помощью пределов.

Смысл, например, последнего из этих символических равенств такой:

18

ГФ Первый курс Осень 2009 Высшая математика Лисеев И.А.

	если lim		( ) = ,	то lim		1	= 0 .	При использовании независимой
					( )
	переменной получаем более простое соотношение							lim		1	= 0 .
	--------
	Мы увидели, что есть ситуации, в которых предел результата арифметических
	операций не определѐн. Эти ситуации называются							"неопределѐнностями" (разность

бесконечностей, отношение бесконечностей, отношение нулей, произведение нуля на бесконечность). Это те случаи, когда теоремы этого параграфа "не работают". И результаты могут быть разными в разных конкретных случаях.

(Замечание о неопределѐнностях. Мышкис, с 105-106)

Примеры … Раскрытие неопределѐнностей.

Приведѐм обозначения для различных неопределѐнностей.

Разность бесконечностей одинаковых знаков.

( ) – ( ) = ?	Короче это записывают так: – = ?

Бывает ещѐ сумма бесконечностей разных знаков.

Следующую неопределѐнность называют "произведение бесконечно малой на бесконечно большую".

0	( ) = ?			Короче это записывают так: 0					= ?
или		0	= ?
Ещѐ бывают неопределѐнности: "ноль делить на ноль"									и "бесконечность делить на
бесконечность".
						0	?		?
				0
		Нам встретятся ещѐ такие неопределѐнности:
		1	(так обозначают ситуацию, когда основание степени стремится к 1 , а пока-
затель стремится к бесконечности.) ,
		(Из Мышкиса, с 105) …

0

0

0

( когда основание стремится к , а показатель степени стремится к нулю), ( когда основание стремится к нулю, и показатель степени стремится к ну-

лю).

Запишем результаты этого пункта в виде таблицы.

Расширение сферы действия		Неопределѐнности
теорем
(+ )+ (+ ) =+ ;		– = ? (для бесконечностей одного знака)
(– )+ (– ) = – .	0 = ?
c = , если с 0 .			0	= ?
=		0
		19

Высшая математика (Ли…) Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.

1

=

0.

= ?

1

=

.

1 = ?

0 = ?

0 0 = ?

0

§ 7 . П Р Е Д Е Л И О Г Р А Н И Ч Е Н Н О С Т Ь

10-10-2007. ↓

1 . Ог р а н и ч е н н о с т ь в е л и ч и н , и м е ю щи х к о н е ч н ый п р е д е л .

Теорема для последовательностей.

x n

M
А +
А	l i m x n A
А –
m	n

n 1

Т е о р е м а . Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.	Пусть { x n } сходится и A – еѐ предел. Пусть							> 0 – произ-
вольное число. Так как A –		предел		этой последовательности, то,				начиная с неко-
торого номера n 1	, все члены последовательности попадают в -полосу точки А.
Обозначим	М = m a x { x 1 ,		x 2	… ,	x n 1 ,	A +	} .
Обозначим	m = mi n { x 1 ,		x 2 … ,		x n 1 ,	A –	} .
Тогда для всех n будет :		m	≤	xn	М . Это означает, что наша после-
довательность ограничена и снизу, и сверху. Значит, она и просто ограничена:
| x n | М .					#

Сформулируем ещѐ теорему для функций.

20