Теоремы о пределах. Глава 3. Раздел 1

ГФ Первый курс Осень 2009

Высшая математика

Лисеев И.А.

§ 1 3 . П Р Е Д Е Л О Б Р А Т Н О Й Ф У Н К Ц И И

Пусть ( х ) и – 1 ( у ) – взаимно обратные функции.

Если	lim		( ) =		, то lim		−1	( ) =	.
Пример.
			lim		cos =	.
				−1

§ 1 4 . Д В А З А М Е Ч А Т Е Л Ь Н Ы Х П Р Е Д Е Л А

Запишите у себя в тетрадях эти пределы, изобразите графики функций, стоящих под знаком предела. Разберите доказательства (вывод) замечательных пределов по учебнику.

1. При доказательстве первого замечательного предела будем считать, что мы уже раньше

получили, используя определение предела функции, что			lim 0 cos = 1 .
Первый этап доказательства состоит в получении двойного неравенства
cos <	sin		<	1.
Вывод этого неравенства для 0 < x < /2				есть в любом учебнике (разберите

его сами). Далее поясняется, что это неравенство справедливо и для отрицательных х,

то есть оно справедливо для диапазона – /2 < x < /2 .

На втором этапе доказательства мы ссылаемся на теорему о зажатой перемен-

ной.

При x 0

cos x 1, предел константы справа также равен единице.

Значит, при x 0

существует и предел

sin

,

и этот предел тоже равен едини-

це. Итак, имеем

Рисунок

=

1.

0

2. Для второго замечательного предела хотя бы поймите идею доказательства.

Там

рассматривается последовательность

(1 +

1

) .

Доказывается, что эта по-

следовательность возрастает и ограничена сверху.

Еѐ предел обозначают через е.

Потом ещѐ доказывается, что предел последовательности

→ (1 +

1)

Рисунок

-

совпада

ет с пределом функции → (1 +

1

) .

Итак, окончательно,

(1 +

1

) = .

→

Конечно, обычному человеку совсем непонятно, зачем математикам нужны все эти доказательства. Обычному человеку достаточно взглянуть на графики … И ему сразу становится ясно, что к чему и в какой ситуации стремится. Для математика же важно получить результат из исходных положений (аксиом), на ко-

31

Высшая математика (Ли…)

Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.

торых строится математическая теория. И если этот результат совпадает с интуитивным представлением (с тем, что видно на графике), то этим довольны и математики, и обычные люди. Это значит, математика отражает то, что есть (как мы это себе представляем) на самом деле. И если какой-то вопрос для нас не очевиден, есть все основания использовать математику для исследования этого вопроса.

§ 1 5 . Т А Б Л И Ц А Э К В И В А Л Е Н Т Н О С Т Е Й

Составьте таблицу, используемых нами (при вычислении пределов на практических занятиях) эквивалентностей. Разберите по учебнику вывод этих формул. (т. к. sin ~ )

Здесь мы тоже приведѐм вывод некоторых формул эквивалентности.

1.

Что мы уже имеем? Из первого замечательного предела получаем:

sin x ~

x

при

x 0.

2.

=

lim 0

sin

= ?

Обозначим arc sin x = t .

Тогда

x = sin t .

Если х 0 , то и

t 0 .

=

lim

sin

=

lim

=

(т. к. sin ~ ) =

lim

= 1 .

0

0 sin

0

arc sin x

~

x

при

x 0.

3.

Здесь нам понадобится формула из школьной тригонометрии 1 − cos =

2 sin

2

.

2

1 − cos

2 sin

2

2

lim

= lim

2

=

lim

2

= 1 .

2

2

2

0

0

0

2

2

2

( здесь мы воспользовались эквивалентностью s i n ~

при

= х / 2 )

Таким образом,

1 − cos ~

2

при

0.

2

l i m ln( 1 x )

1

!

4.

l i m ln( 1 x ) x l i m ln t 1 .

x 0

x

x 0

t e

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе сложной функции

( = ln ,

=

1 + 1/

При x 0 будет t e .

Если t e , то ln t

1 ).

(раньше было доказано)

ln (1+ х) ~ х

при х 0 .

5.

Докажем, что при 0 имеет место эквивалентность

(1 + )p – 1

~ p ∙ ,

(*)

где р – какое-то число (p R).

В самом деле, …

# Введѐм в рассмотрение новую переменную

(1 + )p – 1

=

z

.

(1)

32

ГФ Первый курс Осень 2009	Высшая математика	Лисеев И.А.
При 0 эта новая переменная тоже стремится к нулю:		z 0 .
Преобразуем соотношение (1):	(1 + )p = 1 + z ;

далее логарифмируем обе части, и показатель степени выносим за знак логарифма:

p ∙ln(1 + ) = ln ( 1 + z) .

(2)

Теперь начинаем считать …

lim

1 + −

1

=

lim

= ….

∙

0

0

0 ∙

числитель умножим на левую часть равенства (2),

а знаменатель умножим на правую часть этого равенства

= lim

∙

∙ ln(1 + )

= ….

∙

ln(1 + )

0

0

раньше мы уже получили, что при х 0

будет

l n (1+ x ) ~ x . У нас здесь роль х играют и z .

=

lim

∙

∙

=

1 .

∙

0

0

Это означает, что при 0

имеет место эквивалентность (1 + )p – 1

~ p ∙ . #

Задание. Используя общую формулу (*),

напишите частные формулы с р = – 1 и р = ½ .

Ещѐ. Докажите сами (или найдите доказательство в учебнике или интернете),

что tg x ~ x и arc tg x

~

x

при

x 0.

Теперь составьте таблицу эквивалентных величин. Аргумент функций обозначьте через .

В таблицу включите и формулу эквивалентности многочлена P n (x) при x ∞ .

§1 6 . И С П О Л Ь З О В А Н И Е Э К В И В А Л Е Н Т Н О С Т Е Й П Р И В Ы Ч И С -

ЛЕ Н И И П Р Е Д Е Л О В

Теория была в § 3. Примеры … На практических занятиях.

T h e E n d .

К о н е ц г л а в ы .

33