Теоремы о пределах. Глава 3. Раздел 1

Лектор Лисеев И.А. Кафедра высшей математики МИИГАиК.

ГФ Первый курс Осень 2011

3 ∙ 45 мин. Печать 22-09-2011

Редактирование 22-09-2011

Глава 3. Теоремы о пределах

(Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.)

		Глава 3. Теоремы о пределах
	§1. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ				5
1.	Единственность предела		2. Предел константы.......................................................		5
3.	Неизменность предела при удалении или приписывании членов последовательности. ...................				6
4.	Теорема о нулевом пределе.		5. Теорема о сохранении знака....................................		7
	§2. Ещѐ две теоремы ...................................................................................................................................				7
1. Сходимость подпоследовательности. ........................................................................................................					7
2. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей. ...........................................................					8
3.	Как появилось в математике число е ? ....................................................................................................				8
	§3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ......				9
1.Бесконечно малые.			2. Бесконечно большие. ...............................................		10
3. Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. .............................					10
	§4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ .................................				11
1.	Сравнение бесконечно малых.		2. Сравнение бесконечно больших. ...............................		13
3 . Использование эквивалентност ей при вычислении пределов . ........................................					13
	§ 5. Связь переменной величины и еѐ предела			......................................................................................	14
	§6. ПРЕДЕЛЫ РЕЗУЛЬТАТОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ................ Понятие неопределѐнностей				15
1.	Свойства линейности предельного перехода. .............			2. Предел произведения и частного	15
3.	Случаи бесконечных пределов. Неопределѐнности ................................ Символические записи …				16
	§ 7. ПРЕДЕЛ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ......................................................................................................				20
1. Ограниченность величин, имеющих конечный предел. ........................................................................					20
2. Обязательно ли ограниченная величина имеет предел ........................................................................?					21
	§8. Произведение бесконечно малой на ограниченную .......................................................................				22
	§ 9. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ В НЕРАВЕНСТВАХ ...............................................................................				23
1. Теорема для последовательностей.			.................................	2 . Теорема для функций	24
	§ 10. ТЕОРЕМА О "ЗАЖАТОЙ" переменной ........................................................................................				24
1. Теорема для последовательностей.			.................................	2 . Теорема для функций	25
	§11. Теорема об односторонних пределах ...............................................................................................				26
	§ 12. Замена переменной при вычислении предела ..........................(предел сложной функции)				28
1.	Теорема.	2. Примеры.		3 . Вычисление предела показательно
степенной функции........................................................................................................................................					30
		§ 13. Предел обратной функции …………
	§ 14. Два замечательных предела..............................................................................................................				31
	§ 15. Таблица эквивалентностей ................................................................................................................				32
	§ 16. Использование эквивалентностей при вычислении ..................................................пределов				33

2

Высшая математика (Ли…)

Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.

Г л а в а 3 . Т Е О Р Е М Ы О П Р Е Д Е Л А Х

Теоремы о пределах, как правило, можно формулировать и для последовательностей, и для функций. В каком-то случае мы будем приводить какую-либо одну теорему (либо для последовательности, либо для функции), а иногда приведѐм и обе теоремы. Эти теоремы всегда похожи по сути. Ведь последовательности, можно сказать, являются частным случаем функций.

	И ещѐ, напомним некоторые вещи, связанные с терминологией и с некоторыми нашими дого-
ворѐнностями.
	Множество, получающееся при добавлении к множеству действительных чисел						R элементов
с + , с –		(где с R ), мы обозначаем		R + . Это множество конечных чисел.
	Множество, получающееся при добавлении к множеству действительных чисел						R элемента
,	мы обозначаем R .
	Множество, получающееся при добавлении к множеству действительных чисел						R элементов
,	+ ,	– , с + , с –	(где с R ),	мы обозначаем +.
	Элементы , + , – , с + ,			с –	, входящие в состав расширенных множеств, мы называ-
ем	п с ев д о ч и с л а м и ,		а сами получающиеся множества мы называем			ра сш ир енн ым и ч и -
слов ыми мн о жес тв ам и .
	Элементы этих расширенных числовых множеств мы называем					ч ис ла ми в ш ир ок о м
см ыс ле .
	Если мы допускаем, что некоторая величина принимает значения не только из						R , но также
может принять какое-нибудь из значений					, + , – , с + , с – , то мы обозначаем еѐ через ,

θи т. п.

Аесли имеем в виду, что переменная принимает значения только из R, то мы используем

обозначения : х 0 , а , с , А , В	и т.п.
Поясним связь между просто пределами и пределами с плюсиками и минусиками. …..
С помощью обозначений	с + , с – , А + , А – мы указываем дополнительную информацию о

переменной величине, стремящейся к данному пределу. Плюсик ( + ) в качестве верхнего индекса указывает, что переменная величина, приближаясь к своему пределу, остаѐтся больше этого предела (в какой-то окрестности этого предела). Минусик ( – ) в качестве верхнего индекса указывает, что переменная величина, приближаясь к своему пределу, остаѐтся меньше этого предела (в какой-то окрестности этого предела).

Запись z c объединяет все возможности стремления переменной величины к своему предельному значению. Подходя к пределу переменная величина может оставаться больше своего предельного значения (тогда пишут z c + ), может оставаться меньше своего предельного значения (тогда пишут z c – ), может колебаться (быть то меньше, то больше) около своего предельного значения.

Если мы не хотим (или не можем) конкретизировать характер подхода переменной величины к своему пределу, то вместо z c + и z c – мы пишем z c .

3

Высшая математика (Ли…)	Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.
То же самое и с бесконечным пределом. Если некоторая переменная величина неограниченно

растѐт по модулю, то мы говорим, что она имеет пределом бесконечность (просто бесконечность без знака). Если же при этом мы уточняем, что приближаясь к своему пределу (бесконечности), величина (в какой-то окрестности бесконечности) остаѐтся положительной, то мы говорим (пишем),

что она имеет пределом +		(	+	). Если же мы уточняем, что приближаясь к своему пределу
(бесконечности),	величина (в какой-то окрестности бесконечности) остаѐтся отрицательной, то мы
говорим (пишем), что она имеет пределом –					( – ). 1
Запись z	означает,		что переменная величина неограниченно растѐт по модулю.. При

этом переменная величина (начиная с какого-то момента) может быть всѐ время положительной (тогда пишут z + ), может быть всѐ время отрицательной (тогда пишут z – ), а может колебаться (быть то положительной, то отрицательной2).

Если мы не хотим (или не можем) конкретизировать знак, который имеет переменная величи-

на при подходе к бесконечности, то вместо z + ∞		или z	– ∞		мы пишем		z ∞ .
В этом нашем разговоре бесконечность не сильно отличается от обычного конечного числа. И
это наглядно демонстрируется схематическим рисунком,					–		+
	– ) и правую (с	+ )
на котором мы загибаем левую (с
части числовой оси и соединяем	(почти соединяем) их в
точке (псевдоточке), которую называем бесконечной точ-				с –
кой (бесконечностью: ).
				с +
Этот же рисунок, как вы, наверное, помните,		хоро-	с			0 –	0 +

шо иллюстрирует и понятие окрестностей бесконечности.

Как и у конечных точек, у бесконечной точки (у бесконеч-	0

ности) также получаются односторонние окрестности: окрестность + и окрестность – .3 Вместо обозначений +∞ и –∞ можно было бы использовать обозначения ∞+ и ∞–.

В обозначении lim ( ) под предельной точкой (под предельным значением) для аргумента мы

понимаем точку (значение, число),

к которой (к которому)

стремится аргумент.

Предельной точкой (значением, числом) могут быть либо конечные точки (числа) из R , либо конеч-

ные "левосторонние" и "правосторонние"

псевдочисла

с – и с + , либо бесконечности (их тоже мы счи-

таем псевдочислами) ,

+ и

– .

Термин "псевдочисла" мы используем, когда хотим подчеркнуть

отличие этих объектов (величин, элементов) от обычных чисел из R . А так, говоря о числах, мы можем иметь в виду и расширенное толкование понятия числа. Всѐ должно быть ясно из контекста.

1В этом абзаце, говоря о переменной величине, мы подразумевали независимую переменную. В случае функции надо говорить не "в какой-то окрестности этого предела", а "в какой-то окрестности предельной точки". Предельная точка – это точка, число, к которому стремится аргумент.

2Заметим, что такая ситуация может быть только для последовательностей. В случае непрерывной функции она может стремиться к бесконечности только определѐнного знака. Хотя, не уточняя знака, часто пишут, что функция стремится просто к бесконечности.

3Правда, есть некоторое различие в сути обозначений. Вспомним компьютерную интерпретацию этих символов.

Под с + мы понимаем какое-либо число, бóльшее, чем с , но на данном компьютере, представимое, как с . Под с – мы понимаем какое-либо число, мéньшее, чем с , но на данном компьютере, представимое, как с . С бесконечностями дело

обстоит чуть иначе. Там речь идѐт не о больше-меньше, а о положительности	и отрицательности. Под + мы пони-
маем наибольшее представимое в данном компьютере положительное число.	Под – мы понимаем наименьшее
представимое в данном компьютере отрицательное число.
4

Т е о р е м а

ГФ Первый курс Осень 2009	Высшая математика	Лисеев И.А.
§ 1 . Н Е К О Т О Р Ы Е П Р О С Т Е Й Ш И Е У Т В Е Р Ж Д Е Н И Я
1 . Еди нст венност ь пр еде ла .
В а ж н о …. Если не уточнять, что предел равен с + , с – , + , - ,		а иметь в ви-

ду, что предел может быть равен только просто какому-то значению с R или просто , то можно говорить о единственности предела последовательности или функции.

Т е о р е м а . Пусть последовательность { x n } имеет конечный предел A R ,

lim	x n	= A . Тогда у последовательности { x n } в R нет другого предела отлич-
ного от		A .
x n			#	От противного…. (для конечного предела) Пусть есть ещѐ пре-
			дел	lim x n	= В A .
А
				Возьмѐм около точек А и В непересекающиеся окрест-
В			ности U(A) и		U(B) . Такие окрестности существуют … Можно
					- окрестность с = | А – В |/ 3 .
		n	взять, например,				Если li m x n
			= A , то после некоторого номера n1			будет:	xn U(A).
Если	lim x n = B ,		то после некоторого номера n 2 будет:			xn U(B).
	После большего из этих номеров значения должны находиться одновременно в

обеих этих окрестностях, что невозможно, так как эти окрестности не пересекаются. #

Кратко эту теорему можно сформулировать так …

С х о д яща яс я п о с л е до в а те л ьн о с ть 4 и м е е т в R

еди н с тв е н н ый п р е де л .

За м е ч а н и е . Теорема о единственности предела имеет место и тогда, когда преде-

лом является (просто бесконечность).

2 . Пр еде л ко нст ант ы .

. Пусть имеется последовательность { x n } и с R .

Если все		x n = c , то lim xn = c.5
Кратко …		П р е д е л п о с то ян н о й в е л и ч и н ы р а в е н
		с а м о й э то й в е л и ч и н е	lim с = c.
		Доказательство.....

4Сходящаяся последовательность – это последовательность, которая имеет конечный предел.

5Иногда в записи предела последовательности lim →∞ не пишут, что n : lim . Поступают так по-

тому, что других вариантов, кроме как n тут и нет. Но студентам на экзамене лучше писать, что n . Иначе вас начнут спрашивать, является ли x n переменной величиной, и откуда это видно, что она меняется.

5

Высшая математика (Ли…)	Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.
3 . Н еиз менно ст ь	пр еде ла пр и уда лен ии ил и пр и пис ы ва нии чл е -

но в по сле до ва т ельно ст и .

Т е о р е м а . Пусть мы отбросили или приписали к последовательности конечное число членов. Тогда:

1)

если она имела предел конечный или бесконечный ( + ) , то она и

будет иметь тот же предел,

2)

если она не имела предела, то и не будет иметь предела.

Кратко …

П р и п и с ыв а н и е и л и о т б р а с ыв а н ие к о н е ч н о г о ч и с л а

ч л е н о в н е м е н яе т ф а к та с х о ди м о с ти

и л и р а с х о ди м о с т и п о с л е до в а те л ьн о с ти .

Аналог этой теоремы для функций утверждает, что при рассмотрении предела

lim ( ) можно совсем не интересоваться поведением функции вне некоторой

→

окрестности точки . Можно ограничиться рассмотрением функции только в какой-

то малой окрестности точки (для окрестности бесконечностей слово "малая" , правда, не очень-

то подходит).

Поэтому при x + в выражении lim +

∙ ( )

можно заменить |x|

на просто х: lim + ∙ ( ) =

lim + ∙ ( ) .

А при x – в выражении lim +

∙ ( )

можно заменить |x| на

–х: lim + ∙ ( )

=

lim + (−) ∙ ( ) .

4 . Тео р е ма о нул ево м пр еде ле .

Теорема для функций.

Если

lim

= 0 ,

то и lim | | =

0 .

И обратно,

если

lim |

| =

0 ,

то и

lim

=

0.

lim | |

=

0

lim

= 0

Теорема для последовательностей.

Если

lim

=

0 ,

то и

lim

|

| =

0 .

И обратно,

если

lim

|

|

=

0 , то и

lim

=

0.

lim |

|

=

0

lim

=

0

#

……

#

6

ГФ Первый курс Осень 2009 Высшая математика Лисеев И.А.

5 . Тео р е ма о со х р а нен ии з на ка .

Можно пропустить?. При рассмотрении предела функции lim→ ( ) = предельная точка аргумента – это значение, к которому стремится аргумент функции.

Т е о р е м а . (теорема о сохранении знака в окрестности предельной точки)

Если при х ( –конечное или бесконечное) функция имеет (конечный или

бесконечный определѐнного знака) предел l i m f ( x ) , то существует некоторая

x

проколотая окрестность , в которой функция f(x) имеет тот же знак, что и .

Рисунок.

Пояснение. Если, допустим, = + , то в некоторой окрестности функция f(x) будет положительной.

Говоря о пределе функции при х мы всегда предполагаем, что функция определена в некоторой (двусторонней проколотой) окрестности . Если у нас с "плюсиком" или с "минусиком", то мы предполагаем, что функция определена в некоторой определѐнной односторонней окрестности. Как мы уже отмечали, в серьѐзных математических учебниках, правда, рассматривают более сложные ситуации.

§ 2 . ЕЩЁ Д В Е ТЕОРЕМЫ

Здесь мы рассмотрим теоремы о сходимости последовательностей.

Напомним, что последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.

1 . Сх о димо ст ь по дпо с ледо ват ел ьно ст и .

О п р е д е л е н и е . Пусть имеется последовательность {xn }:
x 1 , x 2 , . . .. . .. , x n , . . .	( * )

Пусть из этой последовательности мы выбрали какие-то еѐ члены (бесконечное

число членов) и из них (без изменения порядка их следования) составили новую последова-

тельность

x n 1 , x n 2 , .. . .. . . , x n k , . . . .

Эта составленная последовательность называется по дпо с ледо ват ель н о - ст ью исходной последовательности ( * ) .

Т е о р е м а . Если последовательность { x n } имеет конечный или бес-

конечный предел , то любая еѐ подпоследовательность { x n k }

имеет тот же предел .

Здесь предполагается, что R или ∞, то есть предел может равняться либо просто

с , либо просто . И не рассматриваются возможности равенства предела символам с плюсиками и минусиками.

7

Высшая математика (Ли…)

Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.

2. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей.

Т е о р е м а 1 . Ограниченная сверху и возрастающая или неубывающая последовательность имеет конечный предел.

рис....

Т е о р е м а 2 . Ограниченная снизу и убывающая или невозрастающая последовательность имеет конечный предел.

рис....

Эти две теоремы можно объединить в одну.

Т е о р е м а (объединѐнная теорема). Ограниченная монотонная

последовательность имеет конечный предел.

З а м е ч а н и е . Теорема о существовании предела у ограниченных монотонных последовательностей имеет место, если мы имеем в виду всѐ множество действительных чисел. Она не имела бы места, если бы мы рассматривали множество только рациональных чисел.

3 . Ка к по я ви ло с ь в мат емат ик е ч исло е ?

Математики рассматривали последовательность = (1 + 1) .

Рисунок …

Эта последовательность { a n } возрастает и ограничена сверху (доказательство это-

го любознательные студенты могут посмотреть в учебниках математики). Следовательно, суще-

ствует предел этой последовательности.6 Его и обозначили через е в честь математика Эйлера (1707-1783). Таким образом, е – это по определению

=

(1 +

1

)

→

Значение е можно найти, посчитав член последовательности при достаточно

большом n .

При n = 100 будет

(1 +

1

)

=

2,705

,

а при n = 500 будет

(1 +

1

)

=

2,716.

При n = 1 000 будет

(1 +

1

)

=

2,717 .

Впрочем, есть и другие подходы к нахождению е.

Можно воспользоваться

бесконечными суммами. Математики доказали, что число е

равно такой сумме

бесконечного числа слагаемых:

1

1

1

1

= 1 +

+

+

+ … +

+ …

1!

2!

3!

!

1

6 Можете посмотреть график функции

=

1 +

(мы его уже рисовали).

Если мы от этого графика оста-

1

вим только точки для значений х = 1, 2, 3, … , то получим "график" последовательности = 1 +

.

8

ГФ Первый курс Осень 2009	Высшая математика	Лисеев И.А.
Ограничившись в этой сумме некоторым числом слагаемых, мы получим при-
ближѐнное значение е.	Чем бóльшее число слагаемых мы возьмѐм, тем более точное
значение мы получим.	С одиннадцатью слагаемыми (при	n = 1 0 ) получаем:
е = 2 , 7 1 8 2 8 1 8 1 .

На компьютере можно посчитать е с любой нужной точностью. С 15 знаками

вдробной части это число равно …

е= 2 , 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 … 7

Математики доказали, что число е – иррациональное, поэтому его десятичная запись бесконечна и без периода.

§3 . Б Е С К О Н Е Ч Н О М А Л Ы Е И Б Е С К О Н Е Ч Н О Б О Л Ь Ш И Е

ПЕ Р Е М Е Н Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы

Переменные величины – это либо независимые переменные величины, либо функции, либо последовательности. Здесь мы будем говорить о последовательностях и функциях.

Здесь при разговоре о пределе функции предельное значение аргумента у нас может при-

надлежать + .

1 . Бе ско н еч но ма л ые .

Бесконечно малые переменные величины – это переменные величины, стремящиеся к нулю (имеющие предел, равный нулю). Но дадим точные определения.

О п р е д е л е н и е . Последовательность { x n } называется б е с к о н е ч н о м а л о й , если

lim = 0 .

→

О п р е д е л е н и е . Функция ( х ) называется б е с к о н е ч н о м а л о й п р и х ,

если

lim ( ) = 0 .

→

В частности предел может быть равен 0 + или 0 – .

Приведѐнные определения бесконечно малых последовательностей и функций можно назвать краткими определениями бесконечно малых. Если расписать ещѐ определение нулевого предела, то получим следующие подробные (полные) определения бесконечно малых.

О п р е д е л е н и е . Последовательность { x n } называется б е с к о н е ч н о м а л о й , если

для любого	> 0 найдѐтся n 1 такое, что при всех n > n 1 выполняется неравенство
	| x n | < .
О п р е д е л е н и е . Функция (х) называется б е с к о н е ч н о м а л о й п р и х , если
для > 0	существует U ( ) такая, что для всех х	U ( ) выполняется неравенство
	| ( x ) | <	.

7 1828 – это, между прочим, год рождения Льва Толстого.

9

Т е о р е м а

Высшая математика (Ли…) Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.

Это определение можно конкретизировать (формализовать) (записать с помощью неравенств) для различных , конечных или бесконечных.

В о п р о с . Является ли число 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 бесконечно малым? А почему? А какое число всѐ же можно считать бесконечно малым?

Пояснения. Бесконечно малая – это не число, а переменная величина. Разве что только число ноль можно назвать бесконечно малой величиной, если рассматривать его как переменную величину, принимающую только нулевые значения. Такая переменная величина подпадает под определение бесконечно малой ( lim 0 = 0 ) . (Впрочем, такую величину хочется называть не переменной, а постоянной.) (Но мы давайте придерживаться позиции, что постоянная – это частный случай переменной величины, когда эта переменная величина принимает всѐ время одно и то же значение.)

2 . Бес ко не чно бо л ь шие .

Так же, как и для бесконечно малых величин здесь мы дадим краткие и подробные определения. Начнѐм с кратких определений.

О п р е д е л е н и е . Последовательность { x n }			называется б е с к о н е ч н о б о л ьшо й ,
если
	lim		= .
	→
О п р е д е л е н и е . Функция ( х ) называется б е с к о н е ч н о						б о л ь шо й п р и х ,
если
	lim ( ) = .
	→
В частности, предел может быть равен + или				– .
Если расписать ещѐ определение бесконечного предела, то получим следующие
подробные определения бесконечно больших.
О п р е д е л е н и е . Последовательность { x n } называется б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й , если							для
любого M > 0	найдѐтся такое n 1 , что при всех n > n 1			выполняется неравенство
	| x n | > M .
О п р е д е л е н и е . Функция ( х ) называется б е с к о н е ч н о					б о л ь ш о й п р и х ,		если
для М > 0	существует U ( ) такая, что для всех х				U ( ) выполняется неравен-

ство

| ( x ) | > M .

3 . Со от но шение м еж ду б ес ко не чно ма л ым и и б ес ко не чно бо л ь -

ш и ми ве ли чи на м и .

. Если последовательность { x n } – бесконечно малая и все еѐ члены отличны от нуля, то определена последовательность

{ 1 / x n } , и эта последовательность – бесконечно большая. И обрат-

но, если { n } – бесконечно большая и n 0 , то определена последовательность { 1 / n } , и она – бесконечно малая.

10