Теория чисел 2010

8)	33x 20 mod59	21)	43x 5 mod53
9)	23x 4 mod59	22)	35x 29 mod53
10)	41x 33 mod79	23)	36x 4 mod 47
11)	28x 35 mod79	24)	37x 35 mod 47
12)	17x 60 mod73	25)	39x 14 mod 47

13)59x 23 mod73

	48.Найти показатель		Pm a числа a	по модулю m
1)	P31 4		14)	P21	11
2)	P21 5		15)	p44 3
3)	P25 4		16)	P32	5
4)	P28 9		17)	P32	11
5)	P	5	18)	P	10
	18			21
6)	P31 6		19)	P25 6
7)	P	5	20)	P	3
	16			22
8)	P31 5		21)	P25 9
9)	P48 11		22)	P36	5
10)	P22 5		23)	P36	7
11)	P	5	24)	P	17
	11			30
12)	P	11	25)	P	5
	17			46

13)P32 3

	49.Найти показатель		Pm a числа a по модулю m
1)	P29 3		14)	P29 8
2)	P23 10		15)	P23 4
3)	P37 3		16)	P23 15
4)	P25 4		17)	P29 5
5)	P37 2		18)	P31 7
6)	P23	12	19)	P35 4
7)	P23	20	20)	P23 3
8)	P31 14		21)	P22 5

9)	P23	14	22)	P23 7
10)	P37 4		23)	P64 3
11)	P23	4	24)	P31 10
12)	P29 4		25)	P37 8

13)P25 3

50. Найти наименьший первообразный корень g по модулю m ,

	больший	a , и построить таблицу индексов по первообразному
	корню g и модулю m
1)	m 13 ,	a 4	14)	m 29 ,	a 8
2)	m 13 ,	a 9	15)	m 29 ,	a 12
3)	m 17 ,	a 3	16)	m 29 ,	a 16
4)	m 17 ,	a 8	17)	m 29 ,	a 19
5)	m 17 ,	a 12	18)	m 29 ,	a 24
6)	m 19 ,	a 8	19)	m 31,	a 8
7)	m 19 ,	a 11	20)	m 31,	a 15
8)	m 23,	a 5	21)	m 31,	a 19
9)	m 23,	a 8	22)	m 31,	a 22
10)	m 23,	a 12	23)	m 37 ,	a 3
11)	m 23,	a 15	24)	m 37 ,	a 11
12)	m 23,	a 17	25)	m 37 ,	a 13
13)	m 29 ,	a 6

51.С помощью таблицы индексов для простого числа p решить сравнение вида axk b mod p :

1)	5x5 10 mod17			26)	11x13 15 mod 43
2)	15x7		9 mod17	27)	15x11 52 mod59
3)	11x9		9 mod17	28)	17x5 13 mod 47
4)	6x5	2 mod19		29)	13x17 28 mod 73
5)	2x7	12 mod19		30)	11x5 28 mod59
6)	16x11 11 mod19			31)	24x9 21 mod 47
7)	11x7		5 mod 23	32)	13x23	45 mod59
8)	19x9		12 mod 23	33)	53x11	72 mod83

9)	18x5 9 mod 23	34)	15x31 11 mod59
10)	16x5 2 mod 29	35)	73x13 15 mod89
11)	7x9 9 mod 29	36)	61x23 21 mod 71
12)	4x11 13 mod 29	37)	73x29 15 mod 79
13)	19x7 9 mod31	38)	23x41 17 mod53
14)	9x11 26 mod31	39)	37x13 71 mod97
15)	27x13 20 mod31	40)	24x23 45 mod 67
16)	17x5 2 mod37	41)	32x7 5 mod37
17)	15x5 4 mod37	42)	61x17 73 mod97
18)	31x7 2 mod37	43)	24x11 35 mod53
19)	6x7 11 mod 41	44)	45x23 15 mod 71
20)	36x11 26 mod 41	45)	63x31 18 mod 73
21)	11x7 34 mod 41	46)	25x17 42 mod59
22)	34x5 3 mod 43	47)	44x23 51 mod59
23)	9x5 26 mod 43	48)	34x17 41 mod 71
24)	3x11 27 mod 43	49)	61x16 15 mod 43
25)	11x5 5 mod 47	50)	38x17 49 mod51

	52. С помощью таблицы индексов для простого числа p
	решить сравнение вида	ax b mod p
1)	2x 13 mod 67	14)	3x 71 mod89
2)	3x 19 mod 79	15)	2x 24 mod67
3)	2x 71 mod83	16)	13x 12 mod19
4)	3x 41 mod89	17)	2x 43 mod53
5)	2x 31 mod 61	18)	3x 14 mod31
6)	2x 17 mod59	19)	2x 45 mod59
7)	3x 15 mod 43	20)	3x 24 mod89
8)	3x 18 mod 29	21)	2x 23 mod 67
9)	2x 15 mod53	22)	3x 41 mod 43
10)	27x 4 mod17	23)	2x 18 mod 67
11)	2x 43 mod59	24)	3x 47 mod89

12) 3x 18 mod 43

25)

2x 38 mod 61

13)2x 51 mod 67

	53. С помощью таблицы индексов для простого числа p
	Решить сравнение вида	ax b mod p
1)	36x 25 mod71	14)	65x 33 mod83
2)	17x 16 mod71	15)	37x 57 mod83
3)	19x 40 mod71	16)	16x 56 mod89
4)	38x 14 mod67	17)	32x 67 mod89
5)	25x 23 mod67	18)	42x 6 mod59
6)	51x 9 mod67	19)	50x 29 mod59
7)	57x 37 mod59	20)	16x 30 mod59
8)	33x 20 mod59	21)	43x 5 mod53
9)	23x 4 mod59	22)	35x 29 mod53
10)	41x 33 mod79	23)	36x 4 mod 47
11)	28x 35 mod79	24)	37x 35 mod 47
12)	17x 60 mod73	25)	39x 14 mod 47

13)59x 23 mod73

Дано рациональное число ba , которое требуется записать в виде g -ичной дроби ,

а)

будет ли полученная дробь конечной или бесконечной?

б)

если полученная дробь бесконечная, то найти длину периода

и число цифр между запятой и началом первого периода;

в)

записать число

a

в виде g -ичной дроби;

b

г)

сделать проверку, обратив g -ичную дробь в рациональное число.

54.

1)

a

3

,

g 4

14)

a

31

,

g 6

b

8

b

54

2)ba 95 ,

3)ba 79 ,

4)ba 1225 ,

5)ba 3349 ,

6)ba 2881 ,

7)ba 1128 ,

8)ba 167 ,

9)ba 185 ,

10)ba 259 ,

11)ba 85 ,

12)ba 1132 ,

13)ba 1811 ,

55.

1)ba 75 ,

2)ba 53 ,

3)ba 52 ,

4)ba 23 ,

5)ba 56 ,

6)ba 76 ,

g 6	15)	a				11					,
		b			24
g 3	16)	a				3		,
		b			4
g 5	17)	a				5					,
		b			27
g 7	18)	a			17						,
		b				32
g 9	19)	a				11					,
		b			36
g 14	20)	a				46							,
		b			121
g 4	21)	a				13					,
		b			24
g 6	22)	a				5		,
		b			9
g 5	23)	a				4		,
		b			9
g 6	24)	a				7					,
		b			16
g 8	25)	a			17						,
		b			18

g 6

g 6	14)	a				3		,
		b			7
g 4	15)	a			8				,
		b			13
g 9	16)	a				7		,
		b			8
g 8	17)	a				4		,
		b			9
g 11	18)	a			3					,
		b			19
g 11	19)	a			3				,
		b			13

g 6

g 6

g 9

g 8

g 6

g 11

g 6

g 3

g 6

g 8

g 6

g 6

g 12

g 3

g 7

g 11

g 9

7)ba 85 ,

8)ba 53 ,

9)ba 74 ,

10)ba 79 ,

11)ba 73 ,

12)ba 23 ,

13)ba 72 ,

56.

1)ba 1375 ,

2)ba 145 ,

3)ba 1513 ,

4)ba 107 ,

5)ba 56 ,

6)ba 157 ,

7)ba 1724 ,

8)ba 1790 ,

9)ba 145 ,

10)ba 14713 ,

11)ba 145 ,

g 7	20)	a				5					,
		b			12
g 4	21)	a				5					,
		b			14
g 6	22)	a				5					,
		b			12
g 8	23)	a				5				,
		b			7
g 9	24)	a					3	,
		b			8
g 5	25)	a				3				,
		b			7

g 9

g 5	14)	a				5		,
		b			18
g 6	15)	a				7		,
		b			24
g 5	16)	a				5		,
		b			12
g 4	17)	a				11			,
		b			120
g 8	18)	a				1		,
		b			48
g 9	19)	a				4		,
		b			15
g 8	20)	a				5		,
		b			24
g 6	21)	a				7		,
		b			15
g 6	22)	a				8		,
		b			15
g 7	23)	a				5		,
		b			14
g 22	24)	a				9		,
		b			10

g 11

g 9

g 7

g 9

g 7

g 4

g 8

g 8

g 15

g 6

g 8

g 5

g 8

g 5

g 5

g 6

g 4

12)	a		13			,	g 9	25) a			7	,	g 6
	b		15						b		20
13)	a			3		,	g 6
	b		20

57. Записать десятичную дробь a рациональным число

1)	a 0,1 7	14)	a 0, 18
2)	a 0, 13	15)	a 0,58 3
3)	a 0,1 3	16)	a 0,0 15
4)	a 0, 14	17)	a 0,2 3
5)	a 0,7 3	18)	a 0,1 5
6)	a 0,3 8	19)	a 0,1 4
7)	a 0,141 6	20)	a 0,541 6
8)	a 0, 12	21)	a 0,1 8
9)	a 0,21 6	22)	a 0,3 4
10)	a 0,3 15	23)	a 0, 27
11)	a 0,108 3	24)	a 0, 36
12)	a 0, 48	25)	a 0, 63

13)a 0,19 4

58.Решить задачи.

1)	Найти все натуральные числа	n , для которых число
n2 1 делится на n 1.
2)	Доказать, что для простого числа		p	из условий	a b p
и	ab p следует, что a p и b p .
3)	Доказать, что для простого числа		p	из условий	a p и
a2 b2 p следует, что b p .
4)	Доказать, что при простом p	из условий НОД			a,bp d
	и НОД a,b 1 следует, что	d	равно 1 или p .
5)	Доказать, что из условия НОД a,b 1 следует, что НОД
a b,ab 1.
6)	Доказать, что НОД a b,abp либо равен 1, либо p , если

НОД a,b 1 и p - простое число.

7) Доказать, что при НОД a,b 1 НОД a b, a2 ab b2 равен

либо 1, либо 3.

8) Доказать, что НОД a,b равен НОД a b, НОК a,b

9)Доказать, что всякое простое число, большее 3, имеет форму 6k 1 или 6k 5.

10)Доказать, что квадрат любого простого числа, большего 3, имеет форму 12k 1.

11)Доказать, что простое число вида 3k 1 имеет форму 6n 1.

12)Найти все простые числа p такие, чтобы p 10 и p 20

тоже были простыми.

13)	Доказать, что целое положительное число a вида 3k 2
всегда имеет простой делитель такой же формы.
14)	Показать, что	m5 m, где m - натуральное число, делится
на 30.		n n 1 2n 1 , где n - натуральное число,
15)	Показать, что
делится на 6.		n n2 5 , где n - натуральное число, делится
16)	Показать, что

на 6.

17)Показать, что если числитель дроби есть разность квадратов двух нечетных чисел, а знаменатель – сумма квадратов тех же чисел, то такая дробь всегда сократима на 2, но несократима на 4.

18)Доказать, что нечетные числа вида 6n 1, n 1,2,... нельзя

представить как разность простых чисел.
19)	Найти все нечетные числа, представимые в виде разности
простых чисел.		n 3m 2, m 1,2,... не может
20)	Доказать, что квадрат числа
быть представлен в виде суммы квадрата натурального числа и
простого числа.
21)	Найти натуральные значения n такие, чтобы числа
	n, n 10, n 14 все были простыми.
22)	Найти такое простое число	p , чтобы число	2 p2 1 также было
простым.
23)	Найти такое простое число	p , чтобы числа	4 p2 1 и 6 p2 1
тоже были простыми.
24)	Доказать, что указанные ниже числа одновременно простыми
быть не могут: p 5, p и p 10.
25)	Доказать, что указанные ниже числа одновременно простыми
быть не могут: p , p 2 и p 5.

26) Доказать, что 3, 5 и 7 являются единственной тройкой простых чисел-близнецов (т.е. тройкой простых чисел, составляющих арифметическую прогрессию с разностью 2).

Контрольные задания по Теории чисел

Составители Смирнова Наталья Ивановна, Фрейдман Павел Абрамович

Редактор

Подписано в печать Формат 60 84 1/16 Бумага для множ. аппаратов Печать ротапринтная. Усл. печ. л.

Уч.-изд. л. Тираж экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет

620219 Екатеринбург. ГСП – 135, просп. Космонавтов, 26