Яхъяев - Техническое черчение

Если проекции точки A' и A'' принадлежат соответствующим проекциям линий m' и m'' , которые в свою очередь принадлежат одноименным проекциям поверхности ' и '', то точка А принадлежит поверхности .

7. Если фигура Ф принадлежит поверхности , перпендикулярной

плоскости проекции ', то ортогональная проекция этой фигуры Ф' принадлежит следу поверхности h :

(Ф ) ( ' ) Ф' h .

8.Если фигура Ф принадлежит плоскости , параллельной плоскости проекций ', то ортогональная проекция этой фигуры на плоскость ' конгруэнтна самой фигуре: (Ф ) (

' ) Ф' Ф.

9. Если АВС прямой и сторона ВС этого угла параллельна плоскости

проекций ', а сторона ВА не перпендикулярна плоскости ', то ортогональная проекция угла на плоскость ' А'В'С' = 90о:

( АВС = 900) ([BC) ', [BA ') А'В'С' = 90о.

10.Если точка К есть результат пересечения прямых a и b, то ортого - нальная проекция этой точки определяется пересечением ортогональных проекций этих прямых:

К= (a b) K1 = (a1 b1) K2 = (a2 b2).

11.Если прямые a и b параллельны между собой и не

перпендикулярны плоскости проекций ', то параллельны и их ортогональные проекции на эту плоскость:

(a b) (a ') (a' b').

12. Если отрезок [АВ] параллелен отрезку [СD], то отношение длин отрезков равно отношению длин их

ортогональных проекций: [АВ] [СD]

АC CB = A1C1 C1D1 .

13. Если точка С принадлежит отрезку [АВ], то отношение

[АС] к [СВ] равно отношению их проекций:

С [АВ] АС СВ А1С1 С1В1.

Вопросы для самопроверки

1. Какие геометрические элементы включает в себя аппарат проецирования?

2. В каком случае проекция точки будет совпадать с самой точкой-оригиналом?

3.3. Какие методы проецирования вы знаете?

4.4. Перечислите свойства центрального проецирования.

5.Укажите свойства, общие для центрального и параллельного проецирования.

6.6. Назовите свойства, присущие только параллельному проецированию.

7.Какими полами плоскостей проекций ограничены четверти пространства: первая, вторая, третья и четвертая?

8.Как называются и обозначаются основные плоскости проекций?

9.9. Как читается теорема о проецировании прямого угла?

2Точка

Точка как математическое понятие не имеет размеров. В геометрии под точкой целесообразно понимать физический объект, имеющий линейные размеры. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом.

Точки пространства обозначают прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами: A, B, C, D и т.д. и 1, 2, 3,… Проекции точек обозначаются теми же буквами, что и оригинал, с добавлением нижних индексов соответствующих плоскостей проекций:

А1, В1,…,А2, В2, …,11, 12… и т.д.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Координатами некоторой точки являются числа: они выражают длины отрезков координатных осей, измеренные некоторой установленной единицей длины (в инженерной графике за единицу длины принят миллиметр).

Представим в пространстве некоторую точку А в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций 1 и 2 (рисунок 5, а). Чтобы построить проекцию точки А на плоскости 2, проведем через

точку А проецирующую прямую (АА2 2) и отметим точку А2 (фронтальная проекция точки А), ее пересечения с этой плоскостью.

Проведя проецирующую прямую через точку А (АА1 1) в ее

пересечении с плоскостью 1, получим А1 (горизонтальная проекция точки А).

а)	б)	в)
	Рисунок 5

Опустим перпендикуляр из А2 на прямую Ох; он пересечется с ней, а, следовательно, с плоскостью 1 в точке Ах. Опустив перпендикуляр из А1 на прямую Ох, мы найдем ту же точку Ах. Отрезок АА2 = А1Ах представляет

собой расстояние от точки А до плоскости 2. Отрезок А2Ах = АА1

является расстоянием от точки А до плоскости 1. Проецирующие прямые АА1 иАА2 , исходящие из точки А, задают плоскость, которую называют проецирующей плоскостью, она перпендикулярна

плоскостям проекций 1 и 2 и оси проекций Ох.

Положение точки в пространстве вполне определяется ее ортогональными проекциями на две плоскости проекций.

Повернем плоскость 1 вокруг оси Ох до совмещения с 2, как показано на рисунке 5, а. Вместе с плоскостью переместится и точка А1,

а также все другие точки поля проекций 1. В результате (рисунок 5, б)

плоскость чертежа станет носителем двух полей проекций – 1 и 2. Проекции А1 и А2 точки А расположены на одном перпендикуляре к оси проекций. Такой перпендикуляр (А1А2) называется линией проекционной связи. Чертеж, плоскость которого является носителем двух полей проекций, расположенных так, что линии связи перпендикулярны оси проекций, называется эпюром или эпюром

Монжа. Без обозначения плоскостей 1 и 2 этот чертеж приведен на рисунке 5, в.

Для решения ряда задач бывают необходимы три и более изображений. Поэтому вводят дополнительные плоскости проекций.

Наиболее часто используют третью плоскость проекций ( 3), перпендикулярную к двум данным:

3 1, 3 2 - называемой профильной плоскостью проекций (рисунок 6, а).

а)

б)

Рисунок 6

Она пересекается с плоскостью 1 по линии Y, а с плоскостью 2 – по линии Z.

Чтобы построить профильную проекцию (А3) точки А на плоскости 3, необходимо через точку А провести прямую,

перпендикулярную 3. В пересечении этой прямой с 3 определится точка А3. Перпендикуляры, опущенные из А1 и А3 на ось Y, пересекаются с нею в точке Аy; перпендикуляры, опущенные из А2 и А3 на ось Z, пересекаются с нею в точке Аz. Расстояние точки А от

плоскости 1 измеряется отрезком А2Ах = АА1, расстояние от плоскости

2 – отрезком А1Ах = АА2, расстояние от 3 – отрезком А1Аy = АА3. Чтобы перейти к чертежу (рисунок 6, б), на котором все три поля

проекций совмещены с одной плоскостью, повернем плоскость 3 вокруг оси Z, а плоскость 1 – вокруг оси Х до совмещения с

плоскостью 2. Одновременно переместятся и точки А1 и А3. Построение профильной проекции (А3) точки А по фронтальной и горизонтальной проекциям показано на рисунке 6, б. Можно воспользоваться дугой окружности радиусом ОАy или прямой, проводимой из точки Аy под углом 45о, или с помощью постоянной прямой чертежа ( ). Отметим, что горизонтальная проекция точки А определяется абсциссой Х и ординатой Y; ее фронтальная проекция - абсциссой Х и аппликатой Z, а профильная проекция – ординатой Y и аппликатой Z.

Таким образом, по двум ортогональным проекциям точки можно определить все три ее координаты; по трем координатам точки можно построить ее проекции (комплексный чертеж точки).

Как отмечалось выше, три плоскости проекций делят пространство на восемь частей, называемых октантами. В общем случае

точка может быть расположена в любом октанте. Плоскости 1 и 2 при пересечении образуют четыре двугранных угла; их называют

квадрантамиили четвертями пространства. Ось Х делит плоскости1 и 2 на полуплоскости. Фронтальная плоскость ( 2) состоит из

верхней и нижней полуплоскостей, а горизонтальная плоскость ( 1) – из передней и дальней полуплоскостей.

Принято считать, что зритель всегда находится в первой четверти пространства (условно – на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций), плоскости же проекций непрозрачны, поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти, а также на

полуплоскостях 1 и 2.

По отношению к плоскостям проекций точка может занимать общее положение, т.е. находиться вне каждой из них (рисунок 5, 6), и частное положение – находиться на одной из плоскостей, сразу на двух плоскостях проекций и одновременно на трех. Если точка находится на одной из плоскостей проекций, то две из трех проекций точки находятся на осях проекций. На рисунке 7

изображена точка А, принадлежащая, фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной, С – профильной. В этом случае две из проекций точки будут на осях – А1 и А3, В2 и В3, С1 и С2, а третья - на соответствующем поле проекций и будет совпадать с самой точкой A2 А, В1 В и С3 С.

Рисунок 7

Точка, находящаяся одновременно на двух плоскостях проекций, изображена на рисунке 8. Так, например, точка D принадлежит

плоскостям 1 и 2, т.е. лежит на оси Х. Две проекции D1 и D2 совпадают с самой точкой D, третья проекция D3 находится в точке начала координат (О).

Рисунок 8

Рисунок 9

Точка Е принадлежит плоскостям 2 и 3, т.е. лежит на оси Z. Две проекции Е2 и Е3 совпадают с самой точкой Е, горизонтальная проекция (Е1) точки Е находится в точке начала координат (О).

Точка, лежащая на трех плоскостях проекций, есть начало координат О.

Точки могут принадлежать одна другой, такие точки называют двойными. На чертеже будут совпадать одноименные проекции этих точек, например, точек А и В на рисунке 9.

Точки могут не принадлежать одна другой. В этом случае на чертеже не совпадают одноименные проекции этих точек, например точек С и D (рисунок 9).

В частном случае, если у несовпадающих точек совпадают одни из одноименных проекций (например, горизонтальные проекции точек Е и F на рисунке 9), по их несовпадающим проекциям можно определить, какая из них находится дальше от соответствующей плоскости проекций. Так, например, точка Е расположена выше точки

F, т.е. дальше от плоскости 1, чем точка F, а следовательно,

относительно горизонтальной плоскости проекций ( 1), точка Е видима, а точка F невидима. Точки Е и F называются конкурирующими.

Таким образом, положение точки в пространстве вполне определяется ее ортогональными проекциями на две плоскости проекций.

Точка в пространстве удалена от плоскостей проекций 1, 2 и 3 на величины удаления от оси соответственно ее горизонтальной, фронтальной и профильной плоскости проекций. Горизонтальная и фронтальная проекции любой точки предмета располагаются на одной линии связи, перпендикулярной к оси проекций Ох, фронтальная и профильная проекции точки – на одном перпендикуляре к оси Оz , горизонтальная и профильная – на одном перпендикуляре к оси Оy.

По расположению проекций точки относительно плоскостей проекций можно судить о положении точки в пространстве, т.е. можно установить, на каких расстояниях от плоскостей проекций и в каких октантах находится точка. На рисунке 10 показаны точки, принадлежащие разным углам пространства, а на рисунке 11 дан эпюр этих точек.

Точка А находится в первом октанте, горизонтальная проекция (А1) точки А лежит под осью проекций Х, а фронтальная проекция (А2)

– над осью проекций Х.

Точка В находится во втором октанте, обе ее проекции В1 и В2 расположены над осью проекций Х.

Точка С находится в третьем октанте, горизонтальная ее проекция С1 расположена над осью проекций Х, а фронтальная проекция С2 – под осью проекций.

Точка D находится в четвертом октанте, обе ее проекции D1 и D2 расположены под осью проекций Х.

Точка Е принадлежит плоскости проекций, одна ее проекция совпадает с самой точкой, а другая лежит на оси. Если точка инциндентна плоскости проекций, то одна ее проекция инциндентна оси Х. Вторая проекция может быть расположена как выше, так и ниже оси в зависимости от того, какой полуплоскости принадлежит данная точка. Так, точка Е лежит на дальней

горизонтальной полуплоскости. Горизонтальная проекция (Е1) точки Е расположена выше оси Х, фронтальная проекция Е2 – на оси Х и совпадает с самой точкой: Е Е2. Точка F лежит на передней горизонтальной полуплоскости.

Рисунок 10

Рисунок 11

На рисунке 12 показаны точки К и U, одинаково удаленные от

плоскости проекций 1 и 2. Данные точки принадлежат биссекторным плоскостям – плоскостям, делящим углы пространства пополам.

Рисунок 12

Плоскость, делящая первый и третий углы пространства пополам,

называют первой биссекторной плоскостью. Плоскость, делящую второй и четвертой углы пространства пополам, называют второй

биссекторной плоскостью.

Точка К принадлежит первой биссекторной плоскости и находится в первом октанте, а точка U принадлежит второй биссекторной плоскости и находится во втором октанте.

Вопросы для самопроверки

1.Как принято обозначать точки пространства?

2.Как обозначают проекции пространственной точки и по какому признаку их различают между собой?

3.Как могут быть расположены на эпюре проекции одной и той же пространственной точки относительно оси проекций?

4.Почему одна проекция точки не определяет ее положение в пространстве?

5.Что называется линией проекционной связи?

6.В каких четвертях пространства координата Z точки положительна, отрицательна?

7.В каких четвертях пространства координата Y точки положительна, отрицательна?

8.Что такое октанты?

9.Какой октант имеет отрицательное направление всех осей?

10.Как по комплексному чертежу узнать, является ли точка точкой частного положения?

11.Какие знаки имеют координаты X, Y, Z точки, находящейся в

I, II, III,…,YIII октанте?

12.Какие координаты на эпюре определяют горизонтальную и фронтальную проекции точки?

3 Прямая

Известно, что линию вполне определяют две ее точки, то на комплексном чертеже всякая прямая lможет быть задана проекциями двух ее точек. Для прямых линий используются следующие обозначения:

(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В; [AB) – луч с началом в точке А;

[АВ] – отрезок прямой, ограниченной точками А и В.

Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскости проекций, могут обозначаться и строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,…, l, m, n,…и т.д.

3.1 Положение прямой линии относительно плоскостей проекций

Относительно плоскостей проекций прямая линия может занимать различное положение:

-- не параллельно ни одной из плоскостей проекций;

-параллельно одной из плоскостей проекций (прямая линия может и принадлежать этой плоскости проекций);

-параллельно двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярно третьей.

Прямую линию (АВ), не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций (рисунок 13), называют прямой общего

положения.