Яхъяев - Техническое черчение

Х45 | | А4В4С4). Спроецировав треугольник АВС на плоскость 5, мы получим, очевидно, его истинную фигуру (А5В5С5).

7.2 Преобразование проекций способом вращения

Сущность способа заключается в том, что при неизменном положении основных плоскостей проекций изменяется положение заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций путем их вращения вокруг некоторой оси до тех пор, пока эти элементы не займут частное положение в исходной системе плоскостей проекций. В качестве осей вращения удобнее всего выбрать проецирующие прямые или прямые уровня, тогда точки будут вращаться в плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций.

Данный способ широко используется в технике при рассмотрении и исследовании различных вращающихся форм конструкций механизмов и машин.

7.2.1 7.2.1 Вращение вокруг проецирующих прямых линий

Вращением предмета можно построить множество чертежей данного предмета в одной системе плоскостей проекций. При этом основные плоскости проекций остаются неизменными.

Рассмотрим на комплексном чертеже вращение точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций. Пусть точка А (рисунок 77)

вращается вокруг горизонтально проецирующей прямой j (j 1). Траекторией движения точки А является окружность с центром О на оси вращения в плоскости , перпендикулярной к оси вращения. Эта плоскость ( ) параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому радиус

вращения R = О1А1 точки А проецируется на 1 без искажения, ее горизонтальная проекция А1 перемещается по окружности (с центром в точке О1) радиусом ОА. Фронтальная проекция точки А2 при этом перемещается по прямой, параллельной оси Х.

В качестве примера рассмотрим, как осуществляется перемещение отрезка общего положения в частное положение путем вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

Преобразование прямой линии общего положения в линию уровня можно осуществить вращением вокруг оси, перпендикулярной как к

плоскости

Рисунок 77

1, так и к плоскости 2. На рисунке 78, а отрезок прямой АВ преобразован вращением во фронтальный отрезок A2’B2’.

а)	б)
	Рисунок78
Ось вращения i 1	и проходит через точку В. Чтобы осуществить такое

перемещение, достаточно повернуть АВ вокруг оси i 1 на угол так, чтобы после поворота A1’B1’ занял положение параллельное оси Х. Так как точка В принадлежит оси вращения i, то она не будет менять своего положения в процессе преобразования. В1 В, следовательно, В1’ В1 и В2

В2’. Для нахождения фронтальной проекции точки А2’ необходимо из А1’ восстановить перпендикуляр к оси Х и отметить точку его пересечения с горизонтальной прямой, проведенной из точки А2. Отрезок A2’B2’ будет натуральной величиной отрезка АВ.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую путем вращения вокруг одной проецирующей оси невозможно. Но зато в проецирующую можно сразу преобразовать прямую уровня. Чтобы преобразовать прямую линию общего положения в проецирующую, требуется произвести последовательно два вращения: первое, преобразуем данную прямую в линию уровня, второе, преобразуем полученную прямую уровня в проецирующую прямую. На рисунке 78, б отрезок СД прямой

общего положения переведен в положение, перпендикулярное плоскости 2.

Отрезок СД вначале вращением вокруг оси i 1 переведем в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций (С2’Д2’ | | X), затем вращением вокруг i’ П1, C1’Д1’ переместим во фронтальнопроецирующее положение C1’’Д1’’ Х..

Для того чтобы повернуть плоскость на определенный угол в заданном направлении, необходимо повернуть три любые точки плоскости вокруг одной и той же оси, на один и тот же угол в заданном направлении.

Рассмотрим на примере.

Определить натуральную величину плоскости общего положения(АВС). Известно, что плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций. Если плоскость

(АВС) общего положения, то одним поворотом задачу решить невозможно, т.е. необходимо провести два последовательных вращения: первое – повернуть до положения проецирующей плоскости, второе – до положения

плоскости уровня. На рисунке 79 в плоскости (АВС) проведена горизонталь

h(h1 h2). Ось вращения i 1 С1 i1.

Поворачиваем плоскость (АВС) до положения перпендикулярности

горизонтали к плоскости 2 (h1’ 2), горизонтальная проекция плоскости сохраняет свой вид и величину (А1В1С1 = А1’В1’С1’), изменяется лишь ее положение. Так как точки А, В, С при таком повороте перемещаются в

плоскостях, параллельных плоскости 1, то проекции А2’, В2’ находятся на

горизонтальных линиях связи А2А2’ и B2B2’. В результате плоскость (АВС) становится фронтально-проецирующей плоскостью и точки А2’, В2’ и С2 лежат на одной прямой.

При втором повороте, приводящем плоскость (АВС) в параллельное плоскости 1 положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к плоскости 2 (i’ 2, В2’ i2’). Поворачиваем проекцию А2’, С2’ до положения параллельного плоскости 2. Теперь фронтальная проекция при

повороте сохраняет свой вид и величину, полученные во второй стадии поворота,

Рисунок 79

точки А1’, C1 перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости 2, проекции C1’’ и A1’’ находятся на горизонтальных линиях связи с точками C1’A1’. Построив проекцию A1’’B1’C1’’, получаем натуральную величину

плоскости (АВС).

7.2.2 7.2.2 Вращение вокруг линий уровня

Вращение плоскости можно осуществить, принимая за ось вращения одну из ее горизонталей или фронталей. Около этой оси будут вращаться все точки, принадлежащие плоскости. Каждая точка опишет в пространстве окружность, плоскость которой будет перпендикулярной к оси вращения. При этом, если точка будет вращаться около горизонтали, то окружность

проецируется на плоскость 1 в виде прямой, перпендикулярной к горизонтальной проекции горизонтали. В случае вращения точки около

фронтали окружность вращения проецируется на плоскость 2 в виде прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции фронтали.

Рассмотрим на примере, определить величину угла ВАС (рисунок 80).

Рисунок 80

Здесь для определения величины угла применен поворот вокруг

горизонтали: плоскость угла расположится параллельно плоскости 1. Плоскость однозначно определяется также тремя точками 1, А и С, так как точки С и 1 принадлежат горизонтали, которая принята за ось вращения, то они не меняют своего положения в процессе преобразования. Поэтому,

чтобы задать новое положение плоскости (ВАС) | | 1, достаточно осуществить поворот только одной точки А.

Построения выполнены в следующей последовательности:

а) через точку С проводим горизонталь h(C1), h2(C212) и h1(C111);

б) проведена плоскость вращения точки А – горизонтально проецирующая плоскость , перпендикулярная к горизонтали (т.е. к оси вращения);

в) определяем центр вращения (О1, О2) точки А в пересечении горизонтали с плоскостью ;

г) определяем величину радиуса вращения как гипотенузу прямоугольного треугольника О1 A1А1’, у которого катет А1А1’= |Z(.)A-Z(.)O|; д) из центра О1 проведена дуга окружности радиуса О1А1’, точка пересечения которой с прямой О1А1 укажет положение А1’’- горизонтальная проекция вершины угла после его поворота вокруг горизонтали, и построен

угол 11А1’’C1, равный искомому.

Рассмотрим графические построения для определения натуральной величины треугольника АВС вращением его вокруг горизонтали (рисунок 81), проходящей через вершину С треугольника.

Вершины А и В треугольника вращаются вокруг оси h по окружностям; вершина С принадлежит оси вращения и не изменяет своего положения. Центром вращения точки В является точка О пересечения горизонтали h (оси

вращения) с горизонтально проецирующей плоскостью точки В, перпендикулярной этой оси. Теперь необходимо определить натуральную величину радиуса вращения точки В – отрезок ОВ можно определить построением прямоугольного треугольника – О1В1В1’, гипотенуза его равна радиусу вращения точки В, от центра О вращения точки В по направлению

следа , плоскости ее движения откладываем длину радиуса вращения и отмечаем проекцию В1’’ точки В, смещенной до плоскости уровня. Другая точка проходит через найденную точку В1’’ и точку 11 из условия, что точка

А принадлежит прямой В1 и плоскости движения этой точки. Проекция А1’B1’’C1 конгруэнтна треугольнику АВС, так как после поворота плоскость

треугольника стала параллельной плоскости 1. Фронтальная же проекция треугольника совпадет с фронтальной проекцией горизонтали, т. е. представляет собой прямую линию (на чертеже она не показана).

Если требуется повернуть плоскую фигуру до положения,

параллельного плоскости 2 , за ось вращения надо выбрать фронталь (все остальные построения аналогичны).

Рисунок 81

7.3Плоскопараллельное перемещение

Под плоскопараллельным перемещением понимают такое преобразование фигур, когда все их точки, не меняя взаимного расположения, изменяют его относительно неподвижных плоскостей проекций. При плоскопараллельном перемещении все точки фигуры перемещаются в параллельных плоскостях. Обычно это плоскости уровня или проецирующие плоскости. Линии, по которым перемещаются точки, называются их траекториями, это плоские кривые.

При плоскопараллельном перемещении геометрического образа одна из его проекций, оставаясь равной самой себе, перемещается в плоскости проекций, другие проекции точек геометрического образа перемещаются по прямым, параллельным направлению оси проекций. На рисунке 82 показано применение способа плоскопараллельного перемещения к определению натуральной величины треугольника АВС произвольного положения.

Рисунок 82

Такая задача решается двумя последовательными перемещениями. Первым перемещением треугольника АВС переводится в положение, перпендикулярное горизонтальной плоскости проекций. Для этого намечаем в плоскости треугольника фронталь f(C1). Проекцию f2(C212) перемещаем в положение C2’12’ так, чтобы она совпала с направлением проецирования. В этом случае фронталь плоскости АВС перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а треугольник АВС представляется в горизонтально проецирующей плоскости. Горизонтальная проекция A1’B1’C1’ треугольника проецируется в отрезок прямой.

Вторым перемещением треугольник располагают параллельно фронтальной плоскости проекций. В этом случае горизонтальная проекция A1’B1’C1’ приводится в положение A1’’B1’’C1’’, параллельное направлению оси проекций, а фронтальная проекция A2’’B2’’C2’’ представляет собой треугольник АВС в натуральную величину.

Из рассмотренного примера следует, что плоскопараллельное перемещение можно рассматривать как вращательное без указания осей, т.е. вращательное перемещение вокруг не выявленных проецирующих прямых.

При параллельном перемещении геометрического образа одна из его проекций, оставаясь равной самой себе, перемещается в плоскости чертежа, другие проекции точек геометрического образа перемещаются по прямым, параллельным направлению оси проекций.

Вопросы для самопроверки

1.Перечислите способы преобразования чертежей геометрических

образов.

2.Зачем необходимо преобразование комплексного чертежа?

3.В чем заключается основное различие способов преобразования чертежа?

4.В чем сущность способа замены плоскостей проекций?

5.Как надо расположить новые плоскости проекций, чтобы отрезок прямой общего положения проецировался в натуральную величину, в точку?

6.Как нужно расположить новую плоскость проекции, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей?

7.При каком расположении плоской фигуры можно определить ее истинную величину путем замены только одной плоскости проекций?

8.В чем заключается способ вращения?

9.Какие линии используются в качестве линий вращения?

10.Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?

11.Что такое радиус вращения точки?

12. Какую прямую линию принимают за ось вращения при переводе отсека плоскости из общего положения в горизонтально проецирующую плоскость?

13. Какое название встречается для вращения без изображения оси?

14. Укажите последовательность приемов определения натуральной величины отсека плоскости способом плоскопараллельного перемещения?

8 Метрические задачи

Метрическими принято считать задачи, решение которых связано с определением на комплексном чертеже истинных величин расстояний, углов и плоских фигур. В большинстве метрических задач участвуют прямые и плоскости. Следовательно, если заранее будет известно, какие построения необходимо выполнить, чтобы прямая или плоскость общего положения

заняла частное положение, то это значительно облегчит решение метрических задач.

Все многообразие метрических задач можно свести к следующим группам:

-задачи на определение расстояния между двумя точками;

-задачи на нахождение величины угла между двумя пересекающимися прямыми;

-задачи на определение истинной величины плоской фигуры. Первая группа задач включает в себя определение расстояний от точки

до другой точки, до прямой, до плоскости, до поверхности; от прямой до другой прямой, плоскости; от плоскости до плоскости.

Вторая группа задач включает в себя определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (определение величины двугранного угла).

Алгоритм решения всех метрических задач опирается на два инварианта ортогонального проецирования:

а) теорему (прямую и обратную) о проецировании прямого угла. Напомним ее: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется

на эту плоскость в прямой угол (АВС 90 ) (ВС) 1, (ВА 1) А В С 90 ;

б) свойство любой плоской фигуры проецироваться без искажения, в конгруэнтную фигуру, на ту плоскость проекций, которая параллельна этой

фигуре, т. е. (Ф ) ( ) Ф Ф.

Рассмотрим решение искомых из перечисленных задач.

8.1 Определение расстояний

Задачи на определение расстояний между геометрическими образами в конечном счете сводятся к нахождению расстояния между двумя точками. При решении метрических задач широко используют преобразования исходного чертежа.

При этом под преобразованием чертежа понимают построения на чертеже, отображающие изменения положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве и приводящие к образованию нового поля проекций.

1. Расстояние от точки до точки определяется длиной отрезка прямой, соединяющей эти точки. Отрезок прямой линии проецируется в натуральную величину на параллельную ему плоскость проекций. Натуральная величина отрезка может быть получена различными способами:

- способом прямоугольного треугольника;