3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня
Встречается, например, при расчёте коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания. Рассмотрим элемент коленчатого вала (рис.3.15), состоящего из двух участков. Первый участок – круглый стержень (шейка вала), защемлённый одним концом с заданной на свободном конце нагрузкой. Второй участок – прямоугольный стержень (щека вала), также заделанный одним концом, нагрузка передаётся от круглого стержня. Задано допускаемое напряжение [σ] и соотношение размеров прямоугольника h/b. Требуется определить размеры поперечных сечений.
Рис.3.15
Сначала рассчитываем круглый стержень, эпюры усилий – на рис.3.16,а.
Первый стержень работает на растяжение с изгибом и кручением. Нормальное напряжение возникает от растяжения и изгиба
. (3.32)
От кручения – касательное напряжение
. (3.33)
Проверка прочности – по III-й иIV-й теориям прочности по формулам (3.26) или (3.27). Используем теорию наибольших касательных напряжений
. (3.34)
а б
Рис.3.16
Поскольку в формуле (3.32) площадь поперечного сечения пропорциональна квадрату диаметра (F = πd2/4), а момент сопротивления W – кубу диаметра (W = 0,1d3), при составлении выражения (3.34) получится кубическое уравнение. Чтобы избежать решения кубического уравнения и учитывая, что напряжения от растяжения, как правило, меньше напряжений от изгиба, можно пренебречь первым слагаемым в формуле (3.32). Тогда диаметр стержня легко определить из формул (3.30) и (3.31):
. (3.35)
Затем нужно полученное значение чуть увеличить в большую сторону и проверить прочность с учётом растяжения по формулам (3.32), (3.33) и (3.34).
Размеры второго прямоугольного стержня определим из условия прочности по нормальным напряжениям, а затем проверим прочность с учётом касательных напряжений. Наибольшее нормальное напряжение имеет место в угловой точке опасного сечения, положение которого определяется по эпюрам усилий (рис.3.16,б). Перед построением эпюр силы переносятся в начало второго стержня. Положение опасной точки определяется по рис.3.17,а, на котором показаны знаки деформаций.
а б
Рис.3.17
Опасная точка – точка А, в ней наибольшее по абсолютной величине напряжение. Считая металл равнопрочным на растяжение и сжатие, используем условие прочности (3.13)
. (3.36)
Чтобы не решать кубическое уравнение, сначала пренебрегаем первым слагаемым и находим размеры bиh. Затем округляем до целых значений в большую сторону и проверяем прочность по (3.36).
Наибольшее касательное напряжение от кручения имеет место в середине длинных сторон и находится по формуле (7.19) первой части курса (рис.3.17,б)
. (3.37)
Из двух точек ВиСнеобходимо проверить прочность в той, в которой больше нормальные напряжения. В точкеВ
. (3.38)
При вычислении касательного напряжения можно учесть и касательное напряжение от поперечной силы Р, определяемое по формуле Журавского (5.29) первой части курса. Итак, в точке В
. (3.39)
Далее проверяем прочность по (3.34).
В середине коротких сторон в точках ЕиDкасательное напряжение от кручения несколько меньше максимального
τ = γτmax.(3.40)
В точке Dнормальное напряжение больше, чем в точкеЕ(рис.3.17,а), поэтому находим
,
.
И проверяем прочность по (3.34):
.
Знак в формулах для τ зависит от того, совпадает ли направление поперечной силы с направлением касательного напряжения от кручения (см.рис.3.16,б и рис.3.17). Впрочем, касательное напряжение от поперечной силы можно и не учитывать. В случае невыполнения условия прочности необходимо увеличить размеры поперечного сечения и повторить расчёт.