3.5. Изгиб с кручением круглого стержня

Такой вид деформирования стержней очень часто встречается в машиностроении. По этой схеме работает подавляющее большинство валов машин: паровых и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих.

На рис.3.10,а приведена схема нагружения стержня, а на рис.3.10,б – эпюры изгибающих и крутящего моментов. Изгибающий момент в опасном сечении

, (3.23)

где ,. Поскольку при изгибе круглого стержня косой изгиб невозможен, можно найти изгибающий момент проще –. Однако, такой подход пригоден для простой расчётной схемы на рис.3.10,а. При расчёте валов машин в разных сечениях вала нагрузки действуют по различным направлениям. Поэтому приходится раскладывать силы на вертикальную и горизонтальную оси, строить эпюры изгибающих моментов, действующих в вертикальной и горизонтальной плоскостях, и находить изгибающий момент геометрическим суммированием по формуле (3.23).

а б

Рис.3.10

В опасном сечении стержня (у заделки) от изгиба возникают нормальные напряжения, от кручения – касательные. Из графиков их распределения (рис.3.11,а) видно, что максимальных значений они достигают в одной точке – точке С(или точкеD) – крайних точках сечения. В этой точке имеет место плоское напряжение состояния (рис.3.11,б).

а б

Рис.3.11

В опасной точке

, (3.24)

. (3.25)

Проверку прочности необходимо делать по III-й или по IV-й теориям прочности. Напряженное состояние в точке С идентично напряжённому состоянию при поперечном изгибе, поэтому используем полученные в первой части курса формулы (5.42) и (5.43)

, (3.26)

. (3.27)

Если в условия прочности подставить (3.24) и (3.25), учтя при этом, что W_p = 2W_z,, получим следующие выражения для условий прочности круглого стержня при изгибе с кручением:

, (3.28)

. (3.29)

Выражения (3.28) и (3.29) удобно представлять в форме, аналогичной условию прочности по нормальному напряжению при изгибе (формула (5.20) на с.79 Ч.1)

, (3.30)

. (3.31)

Очевидно, что значения расчётных моментов по III-й (теории наибольших касательных напряжений) и IV-й (энергетической) теориям прочности отличаются незначительно. Запас прочности по III-й теории чуть больше (примерно на 5%).

Рассмотрим пример расчёта вала редуктора (рис.3.12,а). Мощность, передаваемая валом, N = 73,5 кВт; частота вращенияω = 104,7 с^-1 (1000 об/мин); допускаемое напряжение [σ]= 12 кН/см². В сеченияхСиDрасположены прямозубые зубчатые зацепления, усилия в которых показаны на рис.3.12,б. Необходимо определить диаметр валаd.

Определим усилия, действующие на вал. Крутящий момент:

Усилия в зубчатых зацеплениях:

,,.

а б

Рис.3.12

Составляющие усилий в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис.3.13):

Рис.3.13

PCY = PCZ = PC ∙ sin 45^0 = 14 ∙ 0,707 = 9,9 кН; PDY = PD ∙ cos 30^0 = 7 ∙ 0,866 = 6,1 кН; PDZ = PD ∙ sin 30^0 = 7 ∙ 0,5 = 3,5 кН.

Построим эпюры изгибающих и крутящего моментов (рис.3.14).

Рис.3.14

∑МА = – 9,9∙10 – 6,1∙40 + RB ∙60=0; RВ = 5,7 кН; ∑у = RA – 9,9 – 6,1 + 5,7=0; RA = 10,3 кН. ∑МА = 9,9∙10 – 3,5∙40 + RB∙60 = 0; RВ = 0,7 кН; ∑у = – RA + 9,9 – 3,5 + 0,7 = 0; RA = 7,1 кН. .

Далее найдём расчётный момент по первой формуле (3.31) == 142,1 кН∙см.Затем из условия прочности (3.30) найдём диаметр

Округляем в большую сторону до ближайшего стандартного. Принимаем d = 50 мм.

Отметим, что в нашем расчёте не учитывались конструктивные особенности вала (переходы диаметров, шпоночные канавки и пр.) и цикличность напряжений во вращающемся вале. Приведённый расчёт на статическое действие нагрузки является основным, по его результатам осуществляют уточнённый расчёт, учитывающий конструктивные особенности вала.