Сборник задач по высшей математике

Замечание. В столбце аХ{ + Ь вычислены ординаты точек полученной прямой при данных значениях абсцисс. Сравнение этого столбца со столбцом значений yi показывает, что часть данных точек находится под прямой, другая часть — над ней. Разность axi + b — yi называется отклонением ординаты прямой от ординаты данной точки, а (ах\ + Ь — yi)2 — квадрат этого отклонения. Это обозначено в последнем столбце. Сумма квадратов отклонения обозначена в последней строке последнего столбца S2 = 2,1766, а если эту сумму поделить на п = 6, то получим «среднее квадратическое отклонение» прямой от системы точек, т.е. среднее отклонение, которое приходится на одну точку:

	2	_ 52	_ 2,1766	0,36, 6Ср = W — = 0 , 6 .
	ср	6	6

Извлечение корня означает, что среднее отклонение должно измеряться в единицах длины. •

Построить по методу наименьших квадратов прямую у = ах + b для данной системы точек и оценить ее среднее квадратическое отклонение от этой системы:

	11.7.21.	X	0,5			0,1		2,0	2,5	3,0
		У	0,62			1,64		3,7	5,02	6,04
	11.7.22.	X	1		2		3	5
		У	3		4		2,5	0,5

Дополнительные задачи

Найти стационарные точки и исследовать на экстремум данные функции:

11.7.23.	/	х; у) =		- х 2 4- ху - у2 - 9у + 6х - 35.
11.7.24.	/	х;у)	= 6х2 - 7ху + 2у2 + 6х - 3у.
11.7.25.	/	х;у)	= 4х2 - Ъху + Ъу2 - 9х - 8у.
11.7.26.	/	х\у) =		^ - ху2	+ £ - Zxy - 2х + у2 •
11.7.27.	/	х;у)	=	2х3 + 2у3 - Шу + 10.
11.7.28.	/		= 14х3 + 27ху2 - 69х - 54у.
11.7.29.	/	х;у)	= х4 + у4 — 2х2 + 4ху - 2у2.
11.7.30.	/	х;у)	=	х3у2( 12	- х - у).
11.7.31.	/		= х3 + у2		- 6ху - 39х + 18у + 20.

510

Для данных функций z(x;y) найти наибольшее и наименьшее значения

взамкнутой области D:

11.7.32. z = х2 — ху + 2у2 + Зх + 2у + 1, D — замкнутый треугольник, ограниченный осями координат и прямой х + у = — 5.

11.7.33. z — х2+у2—6ж+4у+2, D — прямоугольник ABCD с вершинами Л ( 4 ; - 3 ) , В ( 4 ; 2 ) , С ( 1 ; 2 ) , Я ( 1 ; - 3 ) .

Исследовать на экстремум функции z(x;y), заданные неявно уравнениями:

11.7.34. х2		+ xyz - ху2 - х3 = 0.
11.7.35.	х2	+ у2 + z2 - 2х + 2у - 4z - 10 = 0.
11.7.36.	х3	- у2 - Зх + 4у + z2 + z - 8 = 0.

Исследовать на условный экстремум функции:

11.7.37. z = еху при условии х + у = 1. 11.7.38. z = - + - при х + у = 2а {а > 0).

	х	у
11.7.39.	z — xy при х2 + у2 = 1.
11.7.40.	z — 6 — 4х — Зу при условии х2 -Ь у2 = 1.
11.7.41.	Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный
	объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
11.7.42.	При каких размерах открытая прямоугольная ванна объема V
	имеет наименьшую поверхность?
11.7.43.	Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью по-
	верхности 5, имеющий наибольший объем.
11.7.44.	Через точку М(а;Ь;с) провести плоскость, образующую с ко-
	ординатными плоскостями тетраэдр наименьшего объема.
11.7.45.	В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наиболь-
	шего объема.
11.7.46.	Найти	наибольшее значение функции f(x;y;z) = x2y2z2 на

сфере х2 + у2 + z2 = R2.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1. Найти полный дифференциал функции z — cos2 ^—

2.	Для функции z = usinv, где и						= arccos y / х у , v = arcsin(x — у), найти
	частные производные			Bz			Bz
						и щ.
3.	Показать,	что	функция			z	= arcsin (ху) удовлетворяет уравнению
	x . d 2 z j t y _ . d 2 z _ 2			d2z		+ 2 .		dz = Q
	У Ъх1	х	ду7	дхду			у	дх

511

702

4.Вычислить приближенно arctg qqj-

5.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

х(у + z)(xy - z) + 8 = 0 в точке (2; 1; 3).

6. Найти наибольшее и наименьшее значения производной по напра-

влению функции f(x, у) = Зх2 - 6ху + у2 в точке Mo	•
7. На эллипсе х2 + 4у2 = 4 даны две точки А^-у/3; ^ и	^ ^ . На

этом же эллипсе найти такую третью точку С, чтобы треугольник ABC имел наибольшую площадь (площадь треугольника выразить через координаты его вершин).

Вариант 2

1. Найти полный дифференциал фукнции и(х, у, z) = ?^-ln(x2+y2+z2).

2. Найти частные производные ^ и Щ функции z = ° ^ , если

и = arctgy/ху, v =

3.Найти частные производные ^ и щ неявной функции z = z(x;y),

определяемой уравнением z tg(x + у + z) —

= 0.

4.Вычислить приближенно изменение функции z = х2 —ху +у2, если х изменяется от 2 до 2,15, а у изменяется от 1 до 1,25.

5. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности z =

= 4х — ху + у2 параллельной плоскости 4х + у + 2z + 9 = 0.

6.Показать, что функция z = tgxy + ^ удовлетворяет уравнению

2d2z

2 d2z

dz

dz

Л

7.Найти прямоугольный параллелепипед с длиной диагонали равной d, имеющей наибольший объем.

Вариант 3

1. Найти частные и полное приращение функции f{x,y) = Зх2 + ху — - у2 + 1 в точке М0 ( 1; 2) при Ах = 0,15, Ау = -0,25.

512

2.	Найти	если z — е , а у = cos4 х.
3.	Доказать, что функция z = ху + х -		удовлетворяет уравнению

4.Показать, что поверхности х2 —ху—&х+z+5 = 0 и х+2у—lnz-b4 = О имеют общую касательную плоскость в точке Мо(2; —3; 1).

5.Найти точки разрыва функции z = tgx • ctg у.

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверх-

ности 2х2 + 3у2 + 5z2 = 10 в точке М 0 ( - 1; 1; - 1) .

7.На эллипсе Ах2 + 36у2 = 9 найти точки наиболее и наименее удаленные от прямой Ах + 9у = 25.

Вариант 4

1.Найти разность Аи — du для функции и = х3у2 в точке (2;1) при Ах = 0,15, Ау = -0,18.

2.Найти ^ и щ для неявной функции z = z(x,y), определяемой

уравнением arctg(xz) -I	X2	XI2	— 0.
3. Показать, что функция и — exyz			удовлетворяет уравнению
д3и	_ ^		д2и _ 2хди _ и _ 0
dxdydz		дхду		Х дх U

4. Найти производную функции z = х4+Зх3у+9х2у—&ху2+5у3 в точке (1;1) по направлению к точке (2;2). Найти также направления, по которым принимает значения: наибольшее, наименьшее, равное нулю.

5. Вычислить предел lim

f У

6.Составить уравнение нормали к поверхности х2 —2х + 6у — z2 = 4, параллельной прямой у = У ^ ^ = z ~ ^.

7. В полу шар радиуса R = 10 вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

•

33-2361

ОТВЕТЫ

Глава 1. Матрицы и определители

§ 1. Операции над матрицами

2 - Л			- 1	2 \						/ —7 —9 10 ^
295		- 3 - А		3	. 1.1.3.					22		11			- 23
(- 1	- 10		-03	—8-2-Х)						V —12 - 6					40 I
28
17
(				/ 12	0		- 6			9		3 \
				4	0	-	2			3		1
1.1.7. АВ = (31),			В А = ' - 4		0		2			- 3		- 1
				20	0	- 1 0				15		5
				V 8	0		- 4			6		2
, , 8 ; ) . ! * = ( _ »							_ « ) . 1 . 1 . . . л в - В Л - ( ;											; ) .
1.1.10. АВ — не существует, В А =							/ 1 0			14		• — (о					-")•
							V - 1 - 2
							I 4				4
/ - 2 4		12 \			/ 0		8			- б \		.1.1.15.			/ 8 0 0\				.
1.1.13. ( Г?		" 1.1.1.14.			6		1			- 13						О	4	0
\-1г		- 1	1 )		у _ 2 0		1			2 7	у					\о 0 4 /
1.1.16. Нет. 1.1.17. Нет. 1.1.18. Да. 1.1.19. Нет. 1.1.22. (jj																		Д ) .
									/1		2	3	0\
										2	4	6	0
	_23									3	6	9	0	>			=
									\0		0	0	V
		/ 5		- 3									\
1.1.25.		= 1 - 3		9	АГ А =-(14
		V 6		6				4 - е				20 у)•
										- 2		21		i\
1 . 1 . 2 6 . ^ = ^				4 3 ) , ^ =			- 2			5		- 3	7
							21			- 3		26	2
						V
							- 1			- 2		3	\ю )
										7		- 2
							7			8		- 5	1

514

		(1	- 3	1	13 \
	1.1.32.	0 10 -10 -30
		0	0	0	0
		№	0	0	0	/
		(\	1	1	1	1
	1.1.34.	0	- 1	- 2	- 2	-
		0	0	0	0	с
			0	0	0	с

1.1.57

1.1.59

1	-1\
- 3	3
- 3	3
-45	45 J

515

зз*

1.1.61. Не коммутируют: АВ — матрица 1x1, В А — матрица 3x3

1.1.62. Не коммутируют: АВ = ^ *		^	ф В А = ^ ^	^.
1.1.63. Не коммутируют: АВ =	^	Д 3 ^ фВА =		^.
1.1.64. Не коммутируют: АВ =	/ - 1	4	- 5 \	/ - 1
	I -32	9	- 25 j ф В А =
	\ - 30	22	- 5 9 /

									/аа	О		0\
	1.1.65. Коммутируют: АВ = В А								0	Ь(3 о		О
									0	0	С7	О
									V 0	О	О	dSj
								< - 30		36	-42 >	Ф В А =
	1.1.66 . Не коммутируют: АВ =								- 66	81	- 96
								^—102		126	-150,
	1.1.67 , Не коммутируют:
		/ - 1 0	- 26		30	—2б\				/ - 8		6 ^
	АВ =	46		44	- 6	112		Ф В А =				70
		70		- 44	- 38	- 20						46
		V 6		72	- 30		- 8					- 1 0 /
	1.1.68. Коммутируют: АВ = В А =
	1.1.69.
	1.1.72. ААТ - ( Ъ				П>| АтА-(10					14>1
			~	VII	25/			\14		2 0 /
							/1	2	3	4>\
	1.1.73. ААТ		=	(30),	АТА =		2	4	6	8
							3	6	9	12
							\4	8	12	16/
	1.1.74. ААТ =			/ 5	- 7		- б \
				I - 7	83		- 21	,		--=
				\—6	- 21		21	/

1.1.75.= Ат А =

1.1.76.
<14	32		66	78
1.1.77. ААТ = I 32	77	122 ), АтА =	( 78	93
150	122	194 J	90	108 126)

516

1.1.78.
1.1.81.								1.1.82.
1.1.83.								1.1.84.
	Л		1					2
							/1
				" Л			п	— (
1.1.85. I			- 5		. 1.1.86.		и
		0		2			п	0
1			0				и
	V»			Ч			\о	0
	/1		0	2	- 1	3 \
1.1.87.		0	- 2	- 6	- 1	- 2	. 1.1.88. Нет. 1.1.89. Нет. 1.1.90. Да.
		0	0	0	7	1
	V>		0	0	0	о /
1.1.91. Да.			1.1.92. Да.		1.1.93. Да. 1.1.94. А 1.1.95. Да. 1.1.96. Да.

1.1.97. Да. 1.1.98. Верно, если АВ = В А. 1.1.99. Верно, если АВ = В А. 1.1.100. Нет. 1.1.101. Да. 1.1.102. Нет. 1.1.103. Нет.

1.1.104. В произведении АВ поменяются местами г-я и j-я строки. 1.1.105. В произведении АВ к г-й строке прибавится j-я строка, умноженная на с.

1.1.106. В произведении АВ поменяются местами г-й и j-й столбцы.

С-»)•

•С-.)•

1.1.107. В произведении АВ к г-му столюцу прибавится j

й столбец,

умноженный на с.

1.1.108.

где а2

+ Ьс = 1. 1.1.109

где а2 + be = 0.

/1

С2

п

\

У

О

п

п

...

С Г 1

/cos па

— sin па

1.1.110. о

1

...

С Г 2

1.1.111,

\sin па

cos па

\0

О

1

/

1.1.112. А =

(\1,5Ьа

а +Ь1,56 )у

§ 2. Определители

1.2.2. 2. 1.2.3. 0. 1.2.4. 0.

1.2.5. ad - be. 1.2.6. 1. 1.2.7.

1

1.2.8. 13.

COS2

1.2.9. 1; 2. 1.2.10. 1; 5. 1.2.11. (2; -3). 1.2.12. ^р, ±| + ята, п G Z. 1.2.14. 0.

1.2.15. 40. 1.2.16. -12. 1.2.17. 1. 1.2.18. 20. 1.2.19. 6. 1.2.21. - 6 .

517

1.2.22.-xyz. 1.2.23. 0. 1.2.26. - 8 . 1.2.27. 0. 1.2.28. 3. 1.2.29. 4.

1.2.30.sin(/3 - 7) + sin(7 - a) + sin(a - /3). 1.2.31. 5. 1.2.32. x ^ - |± .

1.2.33.- 3; 1.2.34. -4; 1; 2. 1.2.38. 0. 1.2.39. 0. 1.2.40. 0. 1.2.43. abed.

1.2.44.(be - cd)2. 1.2.45. 100. 1.2.46. 8a + 156 + 12c - 19d. 1.2.47. 17.

1.2.48.52. 1.2.51. ( - l ) n _ 1 • n\ 1.2.52. n\ 1.2.53. n • ( - 1 ) ^ п. 1.2.54. 2n + 1.

1.2.55.(2n - 1) • (n - l)71"1. 1.2.57. 2n+1 - 1.

1.2.58.— (а2&за4 • • • an _ian H~ ^10304 .. • an-i^n -f- aia2^4 • •. an-ian -+-

+а\а2аз ... an-2an + атгаз ... an-2an-i).

1.2.59.7. 1.2.60. 0. 1.2.61. 0. 1.2.62. 0. 1.2.63. cos2<£. 1.2.64. 1. 1.2.65. 4,5.

1.2.66.	5. 1.2.67.	1;	- 1 .	1.	2.68.	( 2 ; - l ) . 1.2^69. (—1; 2).		1.2.70.	Z.
1.2.71.	1. 1.2.72.	1.	1.2	.73. -87.		1.2.74. 3abc - (a3 + b3		+c 3 ) . 1.2.75. 0^7.
1.2.76.	2. 1.2.77.	—2 cos a cos fl cos 7.					1.2.78. 0. 1.2.79. 14. 1.2.80. -14.
1.2.81.	27. 1.2.82	. xyz.		1.2.83. cos a			-cos/3- cos 7. 1.2.84. 2.
1.2.85.	( - 0 0 ; - ^ ] .		1.2.86.		2. 1.2.87. 1. 1.2.88. (-л/23; л/23).

1.2.89. Указание. Рассмотреть три определителя, полученных из исходного при вычитании, соответственно, из первой строки — второй, из второй строки — третьей, из третьей строки — первой. 1.2.92. 0. 1.2.93. 0. 1.2.94. —xyzuv. 1.2.95. 60. 1.2.96. 2 a - 8 6 + c + 5d. 1.2.97. - 6 . 1.2.98. 150.

1.2.99. 5. 1.2.100.	(—2)n_1. 1.2.101. ( - l ) 1 1 1 ^ .
1.2.102. ( x - a i ) ( x	- a 2 ) . . . ( x - a n ) . 1.2.103. 0. 1.2.104. (a0 + ai +		ban )-xn .

1.2.105. ( - l ) n + ( - l ) n _ 1 • ai + ( - l ) n _ 2 a i a 2 + • • • + aia2 • • • an-2 - aia2 • • • an -i + + aia2 • • • an _ian .

1.2.106. 9 - 2n + 1 . 1.2.107. Нет. 1.2.108. Единичная и нулевая матрицы.

1.2.109. ^ ^ и Q	^ 1-2.110. Да. 1.2.111. Да. 1.2.112. Да.
1.2.113. Нет. 1.2.114. п • det А. 1.2.115. Нет. 1.2.116. Не изменится.
1.2.117. Умножится на ( - l ) n _ 1 . 1.2.118. (С* )2 + (С2)2 + • • • + (С^"1)2 +		)2.
1.2.119. Ci • Схш + С2	• С* + • • • + С Г 1 • С Г 1 + CZ • (при п ^ т).

1.2.120. Да. 1.2.121. Да. 1.2.122. (1 - ацх)( 1 - а22х) х • • • х (1 - аппх). 1.2.123. 0. 1.2.124. Указание. Любой минор 2-го порядка принимает одно из трех значений {—2; 0; 2}. 1.2.125. Указание. Дискриминант квадратного уравнения равен (а — с)2 4- 462. 1.2.126. Указание. Прибавить к 3-му столбцу определителя 1-й столбец, умноженный на 100, и 2-й столбец, умноженный на 10. 1.2.127. Не изменится. 1.2.128. 5 • 271"1 - 4 • 3n _ 1 .

§3. Ранг матрицы

1.3.2.2. 1.3.3. 3. 1.3.4. 3. 1.3.5. 3. 1.3.6. 3. 1.3.7. 4. 1.3.9. 3; \А\.

	1.3.10. 2;	2	3	1.3.11. 2;	1	- 2	1.3.12. 3;	1	- 2	1	1.3.13. 2;
								3	2	3
		4	5		3	2
								5	- 2	4

1	3	- 1	9§, г = 4 при А /	/
1.3.14. 3; 2	- 1 4	. 1.3.15. г = 3 при А =
7	7	1

- 1	3
- 2	5

518

1.3.16 г = 2 при Л = 3, г = 3 при Л ф 3. 1.3.17. 2. 1.3.18. 3. 1.3.19. 3.

	1.3.20. 3. 1.3.21. 2. 1.3.22. 2. 1.3.23. 2;						3	- 1	1.3.24. 3; \А\.
							4	- 3
		- 1		1	- 2	3			1	- 2	1
	1.3.25. 2;		1.3.26. 3;	0	1	- 1	. 1.3.27. 3 2			1	- 1
		1
				1	3	О			3	- 2	- 1

1

1.3.28.2; 1.3.29. г = 3 при Л = 3, г = 4 при Л / 3.

-1

1.3.30.г = 2 при Л = 0, г = 3 при А ^ 0.

1.3.31.г = 1 при Л = 1, г = 3 при Л ф 1. 1.3.32. Да; нет; нет. 1.3.33. г; г; 0.

1.3.34.Не изменится. 1.3.35. Может не измениться или увеличиться на 1.

1.3.36.Может не измениться или уменьшиться на 1.

1.3.37. Указание. Воспользоваться равенством a%jaik = aijdjk, V

к, I.

1.3.38.r ( A ± B ) ^ n +Г2. 1.3.39. He изменится.

1.3.40.Указание. Использовать задачу 1.3.37. 1.3.41. п. 1.3.42. п.

1.3.47.га-1.

§ 4. Обратная матрицаМатричные уравнения

/1

0

0\

/ 1 / 3

2/3

2/3 \

/ - 4 3 —2\

1.4.2.

О

0

1

. 1.4.3.

2/3

1/3

- 2 / 3

. 1.4.4.

-8

6

-5 1.

\0

1

0/

\2/3

- 2 / 3

1/3 /

V" 7

5

~ 4 /

/ - 1

2

-1\

/ 2/3

- 5 / 1 2

-1/12\

1.4.5.

-2

1

0

. 1.4.6.

- 1 / 3

7/12

- 1 / 1 2 .

\ - 3

- 1

2 /

V-VS

1/12

5/12 J

f

1/19

- 1 / 1 9

- 3 / 1 9 \

1.4.7. А~г не существует. 1.4.8. j

9/19

10/19

11/19 .

\—13/19

- 25/19

- 1 8 / 1 9 /

1 . 4 . 1 0 . ^

" 2 ) . 1.4.11.

(3 -;2

_ } / 2 ) . 1.4.12.

- ; ) .

з

- 1

- i>

/ 3

0

- 1

1.4.13. А 1

не существует. 1.4.15. I —1

1

1.4.16.

2

1

О

1-1

О

\—4

- 1

1

/ 4/3

7/3

—5/3\

1.4.17.

- 2 / 3

- 1 / 6

1/3 . 1.4.18. А'1

не существует.

V 1/3

- 2 / 3

1/3 /

/—1/6

- 1 / 5

-61/60

23/60 \

1.4.19.

1/3

3/10

11/15

-11/30

. 1.4.20. А 1

не существует.

- 1 /6

0

1/12

1/12

V

0

- 1 / 1 0

- 1 / 2 0

3/20

/