Сборник задач по высшей математике

	/		1		0				0			0		0
			- 1		1				0			0		0	0
1.4.22.			1		- 1				1			0		0	0
			- 1		1			- 1				1		0	0
	\(--1)П-1				(_1)п-2						( - 1	Г " 4		- 1	1/
	/ 1		- 1	1	- 1 ...		( - 1)			\			/ 1	0	0	о\
									п _ 1				_1	1	п	о
			1	- 1	1		(_l)n-2
														- 1	1	о
1.4.23.			О	1	- 1						1.4.24.
		Vo	0	0	0 .								О	о	о	- 1 1/
													\ 0	о	о
		/ 1 - 1			0		0\				(	71	п— 1	71 — 2		1\
		0	1	-	1 . .		0				71 — 1		71—1	71 — 2		1
1.4.25.		0	0		1 . .		0	1.4.26.			71-2 71-2			71-2		1
	\о		о				1/				\	1

1.4.29.1.4.30. ^ х2 2)' 1 - 4 ' 3 1 - Х не существует. 1.4.32. ^

1.4.34.[ — 5 1. 1.4.35. X не существует. -Зу

1.4.38.

/ - 1 - 1 / 3

2/3 \

/11/41

6/41

- 4 / 4 1 \

1.4.39.

О

- 2 / 3

1/3

. 1.4.40.

- 5 / 4 1

1/41

13/41 .

\1

1/2

- 1 / 2 /

\ 14/41

- 11/41

- 2 0 / 4 1 /

/

1/8

1/4

- 1 / 8 \

/3

11^

1.4.41. А"1 не существует. 1.4.42.

1/26

2/13

3/26

. 1.4.43. 1

1 0

\—7/104

1/52

31/104/

\1 0 1>

- 7 / 3

2

/ - 1 9 / 6 0

1/4

1/5

-13/60^

3/40

1/8

- 1 / 1 0

1/40

5/3

- 1

11/60

- 1 / 4

1/5

17/60

- 2

1

V 23/60

1/10

11/60 /

(

- 1 / 4

0

0

0

о\

/ 1

0

—а

1

0

0

0

0

1.4.46.

а2

—о

1

0

0

0

-а3

а2

—а

1

0

0

\("в)п

( - а Г " 1

( - а ) п " 2

( - а Г " 3

..

—а

1/

520

	/1	- а	О	О	о\			/1	- 2	1	0 .	.	0	0 \
								0	1	- 2	1	.	0	0
	О	1	- а	О	О
								0	0	1	- 2 .	.	0	0
1.4.47.	О	О	1	- а	О	. 1.4.48.
	Vo	О	О	О	1/			0	0	0	0 .	.	1	- 2
								\0	0	0	0 .	.	0	1 /
		/2 — 71 1			1		1		\
			1	2 — 71	1		1				(S		X)
1.4.49.	71-1		1	1	2 -	71	1
		V	1				2 - 71/
1.4.51. ^Д				1.4.52. X не существует. 1.4.53. (2							- *)'

	/ - 1 / 7		4/7	1 \
1.4.58.	V	2/7	- 1 / 7	-1 . 1.4.59. а) Да. б) Да.
		4/7	- 2 / 7	- l /

1.4.60.Указание. Воспользоваться определением обратной матрицы.

1.4.61.а) Да. б) Нет. в) Да. г) Нет. д) Да. е) Да.

1.4.62.а) Нет. б) Нет. в) Да. г) Да. 1.4.63. Да.

1.4.64. а) Нет. б) Нет. в) Нет. 1.4.65. а) Да. б) Да.

1.4.66.а) Да. б) Нет. в) Нет. г) Да.

1.4.67.а) Да, если |А| ф 0. б) Нет. в) Нет. г) Нет.

1.4.68.а) Поменяются местами г-й и j-ft столбцы (г-я и j-я строчки), б) г-й столбец (строка) умножится на Л-1, в) Из j-ro столбца (строки) вычтется г-й столбец (строка), умноженный на Л.

1.4.69.Указание. При \А\ ф 0 умножить обе части уравнения на матрицу А~1. 1.4.70. Указание. Воспользоваться задачей 1.4.61 д).

	/1	1	1	.	•	х	\
	0	1	1		..	1
1.4.71.	0	0	1	.	..	1		1.4.72. Указание. (Е - А)(Е + А + • • • + Ak~l).
	\0	0	0	.	.	1/
•4-™-(Eok			я ? ) 1 - 4 - 7 5 - Указание. Воспользоваться задачами 1.4.61 д)

и 1.4.68 а). 1.4.77. Указание. Воспользоваться задачей 1.4.76. Если А = А\ЕтАг, то одно из решений X = А^1 EjА^1.

521

Глава 2. Системы линейных уравнений

§ 1. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса

2.1.5. Система совместна и определенна; общее решение (о. р.) = частное решение (ч.р.) (1;2). 2.1.6. Несовместна. 2.1.7. Совместна и неопределенна; о.р. (£ + 1;£); ч.р. (1;0). 2.1.8. Совместна и неопределенна; о.р.

(3 — £i — t2\ti\t2)\ ч.р. (3; 0; 0). 2.1.9. Несовместна. 2.1.10. Совместна и неопределенна; о. р. (—3£;£;5£); ч.р. (0; 0; 0). 2.1.11. Совместна и определенна;

о.р. = ч.р. (0;0; 0). 2.1.12. Совместна и определенна; о.р. = ч.р. (2;3;5).

2.1.13.Совместна и определенна; о.р. = ч.р. (0,5; 1). 2.1.14. Совместна и неопределенна; о.р. (—3£;£;5£ + 1); ч.р. (0;0;1). 2.1.15. Несовместна.

2.1.16.Совместна и неопределенна; о. р. (2 4-1\ — £2; 3 — 2t\ 4- £2; £1; £2); ч.р. (2; 2; 1; 1). 2.1.17. Совместна и неопределенна; о. р.

(£i;£2;5-8£i + 4£2 ;-3; 1 + 2£i - £2); ч.р. (0;0; 5;-3; 1). 2.1.18. Совместна и определенна; о. р. = ч.р. (3; 0; —5; 11). 2.1.19. Совместна и неопределенна; о.р. (1 + 2£i +£2 - 3£3;£i; 1;£2;£з); ч.р. (1;0;1;0;0). 2.1.20. Совместна и неопределенна; о. р. (£; 3£ — 13; —7; 0); ч. р. (1; —10; —7; 0). 2.1.22. Совместна и неопределенна; о. р. (п — t\ — £2 — . . . — tn-i\£1; £ 2 ; . . . ; tn-1); ч. р. (гг; 0; 0; ... ; 0).

2.1.23.Несовместна. 2.1.24. Совместна и определенна; о.р. = ч.р.

(J1 ^ 2 П^ 2; 3; ...; п — . 2.1.25. Совместна и определенна; о. р. = ч. р.

(гг; 0; 0; ... ; 0). 2.1.27. При любом А система совместна и определенна; о. р. = ч. р. (0,25А + 2; 0,5А — 4). 2.1.28. При А = —4 система несовместна; при А = 4 система совместна и неопределенна, о. р. (3 — 2£; £), ч. р. (3; 0); при А ф —4,

А ф 4 система совместна и определенна, о. р. = ч. р. (д"^ д ^ •

2.1.29. При А = 2 система совместна и неопределенна, о. р. (5 + £1 — 2£2; £1; £2),

ч.р. (6; 1; 0); при А ф 2 система совместна и неопределенна, о. р. (0; 2£ — 5; £),

ч.р. (0; —5; 0). 2.1.30. При А Ф 8 система совместна и определенна, о. р. = ч. р. (3; —1; 0); при А = 8 система совместна и неопределенна, о. р. (3 + 2£; — 1 — £; £), ч.р. (3; —1; 0). 2.1.31. При А = 0 или А = —3 система несовместна; при А Ф 0, А Ф — 3 система совместна и определенна, о. р. = ч. р.

Щ ^ Т У	2 Л - 3 2 ' Несовместна.
2.1.33. Совместна и неопределенна; о. р.		—	Ч Р-

2.1.34. Несовместна. 2.1.35. Совместна и неопределенна; о.р. (1 + £л/3;£); ч.р. (1;0). 2.1.36. Совместна и определенна; о.р. = ч.р. (—1;2). 2.1.37. Совместна

иопределенна; о.р. = ч.р. (2; —1;3). 2.1.38. Несовместна. 2.1.39. Совместна

иопределенна; о. р. = ч.р. (0;0;0). 2.1.40. Совместна и неопределенна; о.р. (11£;2£;7£) ч.р. (11; 2; 7). 2.1.41. Совместна и определенна; о.р. = ч.р.

(2;— 2; 3). 2.1.42. Совместна и неопределенна; о. р.

' Ч'Р'

522

(—1; —1; 2). 2.1.43. Неопределенна; о. p. ( - — Щ k ; £ i; £ 2 ;l) ч.р. (—1; 1; 0; 1).

2.1.44. Определенна; о.р. = ч.р. (1; —1;0;1). 2.1.45. Определенна; о.р. = ч.р. (1; 2; —4; —3). 2.1.46. Неопределенна; о. p. (£i; £2; 13; 19 - 3£i - 2 £ 2 ; - 3 4 ) ч.р. (1; 8; 13; 0; —34). 2.1.47. Несовместна. 2.1.48. Неопределенна; о. р.

(1 — 2t\ — 3*2 - • • • - ntn-i\t\\t2\ • • •; tn-1). 2.1.49. Несовместна.

2.1.50. Определенна; о. р. = ч. р.

.

— 1);...; —3; —2; —.

2.1.51. Определенна; о. р. = ч. р. (2; 1; 1;...; 1). 2.1.52. Определенна; о. р. =

ч.р. (—1; 1; 1;...; 1; 2). 2.1.53. При Л ф — 2 система совместна и определенна, о. р. = ч.р. (1; 2 — Л); при Л = —2 система совместна и неопределенна; о.р. (0,5£ — 1 ;£), ч.р. (—1;0). 2.1.54. При Л = 2 система несовместна; при Л = —2 система совместна и неопределенна; о. р. (—2£ — 1; £), ч.р. (—1; 0); при Л Ф 2,

Л Ф —2 система совместна и определенна, о.р. = ч.р. ^д ^ д - ^ ) '

2.1.55. При Л = — 2 система несовместна; при Л = 2 совместна и неопределенна, о. p. (2£ + 1; £) ч. р. (1; 0); при Л ф ±2 система совместна и

определенна, о. р. = ч Р-(д~|г2' ~ Л + 2)' лК)бом А система

совместна и неопределенна; о. р. (30 — 2А — 21£; 9£ + А — 12; £), ч. р.

(30 — 2А; А — 12; 0). 2.1.57. При А = —2 система несовместна; при А = 1 система совместна и неопределенна, о. р. (3 — t\ — £2; £1; £2), ч. p. (2; 0; 1); при А ф —2,

А ф 1 система совместна и определенна, о.р. = ч.р. + А' 2~+~А' 2 + А)'

2.1.58. При А = — 3 система несовместна; при А = 1 система совместна и неопределенна, о. р. (4 — t\ — £2 — £3; £1; £2; £3), ч. р. (1; 1; 1; 1); при А ф — 3, А ф 1

система совместна и определенна, о.р. = ч.р. /^ 4 д; 3 4 д; 3 4 д; ^ 4 дJ.

2.1.59. Не изменится или сузится. 2.1.60. Может стать совместной или остаться несовместной. 2.1.61. Матрицы не обязательно равны; ранги матриц равны. 2.1.62. Да. 2.1.63. Да; неоднородные. 2.1.64. Множество решений — все возможные наборы значений переменных. 2.1.65. Таких систем не существует. 2.1.66. Да. 2.1.67. а) Да. б) Да. в) Да. г) Нет. 2.1.68. Да; нет; нет. 2.1.71. В любом решении х\ = 0. Если равны нулю коэффициенты при всех неизвестных, кроме х\ и Xi (г ф 1), то Xi = const в любом решении, все остальные неизвестные Xj (j ф l,jf) могут принимать любые значения. Если не равны нулю коэффициенты при я*, Xj (1, г, j — три разных числа), то все неизвестные, кроме х\ могут принимать любые значения. 2.1.72. к-й столбец не является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы системы. 2.1.73. к-й столбец является линейной комбинацией остальных столбцов расширенной матрицы системы. 2.1.75. (1; 4; 0,5).

Указание. Прологарифмировать левые и правые части всех уравнений.
о 1 7fi	.2 . 2	2	2 ,	2	,2		2 , ,2 2
	т — b +С	- а	_ а	+ с	-о		_ а +о - с
l.l.Tb.X-	2bc			2ас		,2-	2аЪ
2 1 7 8				т			т
2Л-78- Х	- (d — а)/'(а)' 27 -		(d- b)ff(by			Z	~ (d- c)f'(cy ГДО
/(х) = (х — а)(я — 6)(х — с). 2.1.79. Если						= abc — а — Ь — с + 2 ^ 0 , то система

523

имеет единственное решение х =		+ 26 + 2с	— 26с — 2),
2/ =	+ 2а 4- 2с - 2ас -2), z =	+ 2а +	26 - 2а6 - 2). Если D = 0 и все

числа а, 6, с не равны 1, то система несовместна. Если D = 0 n a = 6 = c= l, то общее решение имеет вид х = 1 — у — z, где у и z — свободные неизвестные. Если D = 0 и два из чисел а, 6 и с равны 1, а третье — не равно, например, а / 6 = с = 1, то общее решение имеет вид х = 1, у = — я, где z — свободное неизвестное.

§ 2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера

2.2.4. ( - 3; 1). 2.2.5. (л/3; 4). 2.2.6.	( - 6;	при аЪ ф 0; невозможно решить
при аЬ = 0. 2.2.7. ( ^ Z fc*>	~ ^ )	при ad-Ьсф 0; невозможно решить

при ad — be = 0. 2.2.8. (-2; 2; 1). 2.2.9. (1; 2; -3). 2.2.10. Невозможно решить.

2.2.11. (—3; 3; 0). 2.2.12. ( _ J ± 1 ; при Л ф 1, Л # 2;

невозможно решить при Л = 1 или Л = 2. 2.2.13. (—2; 0; 1; —1).

2.2.14.(2; -3; 2; -1). 2.2.15. (0; 0; 0; 0). 2.2.16. a = - 1, 6 = 3, с = 2.

2.2.17.a = - 2, 6 = 3, с = 2. 2.2.18. (2; -3). 2.2.19. (2>/5; 2).

2.2.20. (2<	? + *;	2.2.21. f—L-; о/ *			при a / ±6; невозможно
Va	+ 2 a + 2 /			+ 6)/	v	^	'
		\a + 6'3(a

решить при a = ±6. 2.2.22. (-1; 1; 3). 2.2.23. (2; - 3; 2). 2.2.24. Невозможно решить. 2.2.25. (-4;1;2).

2 - 2 ' 2 6 - ( ( a - W W 6(a-+ l)(a"+2)' ^ W	+ 2 j ) ПРИ	"	W * +
невозможно решить при 6(a — l)(a + 2) = 0.	2.2.27. (0; 0; 0; 0).
2.2.28. (-1; 1; 2; -2). 2.2.29. (3; - 2; 0; 1). 2.2.30. a = - 1,		6 = - 3,	с = 5.

2.2.31. a = -1, 6 = 2, с = 3. 2.2.32. Нет. 2.2.33. Да. 2.2.34. Нет. 2.2.35. Да; нет. 2.2.36. Указание. Записать разложение определителей Di по г-му

столбцу, г = 1, 2, ... , п. 2.2.37. Xi = 77—^7777—г где

(Ь - ai)f (aij

f(x) = (х - ai)(x - a 2 ) ... (x - an ). 2.2.38. CTA~lB, где С, и В —

вектор-столбцы, составленные соответственно из чисел {с*} и {б*}.

§ 3. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

2.3.4.Общее решение (0;0); фундаментальной системы решений нет.

2.3.5.( - t ; 0 , ( - !;!)• 2.3.6. (3*;20, (3; 2). 2.3.7. (0;*;*), (0; 1; 1). 2.3.8. (л/3t\t)t (л/3; 1). 2.3.9. (*; 20, (1; 2). 2.3.10. (*2 - ti\ti\ fc), (-1; 1; 0), (1; 0; 1).

2.3.11.(*; -21\t), (1; - 2; 1). 2.3.12. Общее решение (0; 0; 0; 0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет. 2.3.13. (2ti — 3£2;£I;£2), (2; 1;0);

( - 3 ; 0; 1). 2.3.14. (*i;*2; t2 - 2*i), (1; 0; - 2); (0; 1; 1). 2.3.15. Общее решение

524

(0;0;0); фундаментальной системы решений нет.
2.3.16. (8*i - 7*2; -6*i + 5<2; ti\ <2),	(8; -6; 1; 0);	( - 7; 5; 0; 1).
2.3.17. (—2£; lt\0; 9 ( - 2 ; 7; 0; 9).	2.3.18. (-3*i	- 5t2\2ti + 3*2;«и 0; t2),
(-3; 2; 1; 0; 0); (-3; 3; 0; 0; 1). 2.3.19. При Л = 6 общее решение (7*; 21\31),

фундаментальная система решений (7; 2; 3). При Л ф — 6 общее решение (0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет. 2.3.20. При Л = 2 общее

решение (£;0; —2£), фундаментальная система решений (1; 0; —2). При Л = —4 общее решение (5£; — 24£; —4£), фундаментальная система решений

(5; —24; —4). При Л ф 2, X Ф — 4 общее решение (0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет. 2.3.22. а) а\ и а2\ б) В2\ в) о.р. одн. сист. (2t\ — £); о.р. неодн. сист. (21 — 2; 3 — t) или (21\ 2 — t). 2.3.23. а) Система несовместна;

б)	Вг\ в) о.р. одн. сист. (13*;2i;7£).		2.3.24. a) ai и а3; б) В2	и Я3;
в)	о.р. одн. сист. (ti;t2;ti + t2) или (2£i — t2\ —1\ + 2t2\t\ + t2)\ о.p. неодн. сист.
(1 + ti\ 1 + t2\ 1 + ti 4-12) или (1 + 2*i - t2\ 1 - + 2i2; 1 +				+ «2) или
(ti; l + t2]ti + t2) или (2*i - t2\ 1 -			+*2;<i + <2). 2.3.25. a)	ai, a2, a3; б) Я3;
в) о.р. одн. сист. (3£; 0;		0); о.р. неодн. сист. (3£ — 1; —2; 4t + 1; 2) или
(31 + 2; - 2; 4* + 5; 2) или		(3t - 4; - 2; 4* - 3; 2). 2.3.26. (*; 2*);		(1; 2).

2.3.27.(£\/3;£); (л/3; 1). 2.3.28. (0;0); фундаментальной системы решений нет.

2.3.29.(-2*;*); (—2; 1). 2.3.30. (^ + t2\ti\ t2)\ (1; 1; 0); (1;0;1).

2.3.31. (t\7t\-bt)\ (1; 7; —5). 2.3.32. (0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет. 2.3.33. (*; (1;-1;1). 2.3.34. (2ti -Zt2\ti\t2)\ (2;1;0);

(-3; 0; 1). 2.3.35. (t\31\5t); (1; 3; 5). 2.3.36. (ti - t2; ti - ts\*i; t2\t3)\ (1; 1; 1; 0; 0); (-1; 0; 0; 1; 0); (0; - 1; 0; 0; 1). 2.3.37. (0; 0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет. 2.3.38. (2*i + 2*2; ti; -bt2\7t2)\ (2;1;0;0); (2;0;-5;7).

2.3.39.(0; h - 2t2\3ti; 0; 312)\ (0; 1; 3; 0; 0); (0; - 2; 0; 0; 3). 2.3.40. При a = -1 общее решение (—5t;t;3t), фундаментальная система решений (—5; 1;3). При

аф — 1 общее решение (0; 0; 0) фундаментальной системы решений нет.

2.3.41.При Л = 3 общее решение (2*i + bt2\3*i - 3*2;7ti\lt2), фундаментальная система решений (2; 3; 7; 0), (5; —3; 0; 7). При Л = 3 общее решение (5£; — 3£; 0; 7£), фундаментальная система решений (5; —3; 0; 7).

2.3.42.Нет; да; да. 2.3.43. Да. 2.3.44. Да; нет; нет. 2.3.45. Нет; да.

2.3.46.Нет; да. 2.3.47. Да. 2.3.48. Да; нет. 2.3.49. Нет. 2.3.50. Да — у определенной системы. 2.3.51. а) Да. б) Нет. 2.3.52. Нет. 2.3.53. Нет; да.

2.3.54.При т > п — ничего; при т ^ п — фундаментальная система решений содержит не менее одного решения (здесь т — число уравнений, п — число неизвестных системы). 2.3.55. Множество решений первой системы содержит множество решений второй системы.

2.3.56.ai 4- а2 4- Ь ап = 1. 2.3.57. e = adbe.

Глава 3. Векторная алгебра

§ 1. Векторы. Линейные операции над ними. Разложение векторов

3.1.4. Да. d = —у/Зс. 3.1.5. (-00; 0_)_U (1; 00). 3.1.6. (-oojj-1) U (0; 2). 3.1.7. 22. 3.1.8. 13; 13. 3.1.9. АВ = За —b\ ВС = 2b — 3a. 3.1.10. BD = 2b - 2a;

525

AD = - |a. 3.1.21. x = y = z = V3. 3.1.22. 45°. 3.1.23. a = - 2 .

3.1.24. | 4 £ i = 2; в одну. 3.1.25. d = a + b - c. 3.1.26. (0;1;0). 3.1.27. (7;0) и

\CD |

(—1; 0). 3.1.28. 7. 3.1.29. -48г + 45j - 36fc. 3.1.30. a = 2, 0 = - ± ,

Ш= - i ^ C	. 3.1.32.	q-p]	-p\ -q\ p-q\p+q; 2g; 2q - p. 3.1.34.	л/129; 7.
3.1.35. 2гг	- 2га; 2тг	4- 2m;	Зга + тг; 2m - гг. 3.1.37. 0. 3.1.38. с =	- 2a 4- 26.

3.1.39. —12г — 21] 4-12&. 3.1.40. -5г 4- 10J 4- Ш. 3.1.41. 1) ( - ^ L ; -^L; o) 2) (З; Ц-] О) 3) —2] 4) 6. 3.1.42. fi - r2 + r3. 3.1.44. (-4; 4; 4л/2). 3.1.45. 7;

S; I ) . 3.1.46. 15. 3.1.47. R = {23,173}; a « 18°; /3 « 27°. 3.1.48. 54°;

7,7 м/с. 3.1.49. |A| = 10>/3 (H); IF2J = 20%/3 (H).
3.1.50. ОМ =	" 0Л 4- —Щ—ОВ. 3.1.53. 1; - 2 . 3.1.54. f ra 4- |тг 4-				5
	ra 4- гг	m 4- гг		5 5
3.1.55. | c + ±6. 3.1.56. x = |гт4-			y ^ - 3.1.57. 1)	(a, 6) — острый;

2) (a, Ь) — тупой; 3) одинаково направлены; 4) противоположно направлены.

3.1.58.Вектор суммы не изменится по модулю, но будет повернут на тот же угол. 3.1.59. а) возможно, единственное; б) возможно единственное; в) 0, 1 или 2 решения в зависимости от модулей слагаемых. 3.1.60. Ai = Л2 = 0, если

с= 0; Ai = 0, Л2 ф 0, если с || 6; Ai ф 0; А2 = 0, если с || а. 3.1.61. Да.

3.1.62.Да. 3.1.63. Нет.

§ 2. Скалярное произведение векторов

3.2.2. л/13. 3.2.3. л/73. 3.2.6.

3.2.7. - § * +

\к. 3.2.9. - 4 .

3.2.10.а) -3; б) 26. 3.2.11. 5. 3.2.13. -1,5. 3.2.14. 7. 3.2.15. 2г - 3j.

3.2.18.(2; 4;-6). 3.2.19. а) 3; б) « 77°; в) « 0,7; г) 1. 3.2.20. 20.

3.2.21. 2 (ед. раб.). 3.2.22. - 5 . 3.2.23. а) 3; 3; л/2; б) « 76°; « 76°; « 27°; в) « 50°. 3.2.24. « 122°; « 37°; « 74°. 3.2.26. - 3 . 3.2.27. - 1 .

3.2.28. |;arccos^&; a r c c o s ^ . 3.2.29. -13. 3.2.30. 60°. 3.2.31.

3.2.32. с = (1; 0; —1) или с = ( - ± ; ±). 3.2.34. 8t+ 8 j + 7к. 3.2.35.	5.
_	к

3.2.37. Плоскость, перпендикулярная к оси вектора а. 3.2.38. <р = arccos g.

3.2.41.Нет. 3.2.44. а || с, Ь J_ а и 6 J_ с. 3.2.45. Нет. Нет. Да. 3.2.46. Нет.

3.2.47.Нет. 3.2.48. а) Да; б) Нет, т.к. из 2-го Ф> 1-ое; в) Да.

§ 3. Векторное произведение векторов

3.3.2.(5;1,7). 3.3.3. (10;10;10); 10\/3. 3.3.4. л/3; 5л/3. 3.3.6. ^ 9 5 .

3.3.7.18л/2. 3.3.8. 50л/2. 3.3.10. -Юг + 13J4- Ilk; а « 120°; /3 и 49°; 7 « 56°.

526

	-	2 .	_	_ 1
3.3.11. \М\ = 15; cosa =			COS7 =		3.3.12. а) 3; б) 2(a х с);
	cos/3 =

в) 34г — 7J + 26Й. 3.3.13. Удвоенная площадь параллелограмма равна площади параллелограмма, построенного на его диагоналях. 3.3.15. 30\/3.

3.3.16. ±30. 3.3.17. ±^ - ±==(5г - ] - 8 к ) . 3.3.18. ± ( 0 ; | ; - | ) . Указание. ё±г

3.3.19. 42л/2. 3.3.20. 4>Д. 3.3.21. (-40; 40; 20);

60.

	3.3.22.	—46г 4- 29j — 12k; -li + l] + lk. 3.3.23.						(45;24;0). 3.3.24. л/5; л/5; л/б.
	3.3.25.			3.3.26. 5. 3.3.27. (7;5;1). 3.3.29.				58	3.3.33. См. 3.3.14
	3.3.34. ±		2/2	- 2/1	22 - Zi	Z2 - Z1	Z2 - Я1		X2 — Xi У2 — 2/1
			2/3	- 2/1	^з - zi	23 — 2l	Хз — Xi		хз — xi	2/3 — 2/1
	3.3.35.		1		3.3.37. |a| = |6| = |c| = 1. Векторы попарно
	перпендикулярны. 3.3.40. a || b. 3.3.41. a =							/3 =	3.3.42. Нет.
	3.3.45. Нет. Из 2-ro				1-ое. 3.3.46. Да, если а JL 6; среди них есть вектор я,
	наименьшей длины				= |5[; нет, если b = 0, а ф 0 или a JLb.
	§ 4. Смешанное произведение векторов
	3.4.2. а) Да; б) Нет. 3.4.3.					3.4.5. 12.	3.4.6.		3.4.7.	3.4.9. 0.

3.4.10.Забс. 3.4.11. а) Левую; б) Правую. 3.4.12. 24. 3.4.13. (3;3;0).

3.4.14.-10. 3.4.15. ±27. 3.4.16. 20. 3.4.18. 11. 3.4.19. (0;8;0) или (0;-7;0).

3.4.20. а)	12; б) 2л/26; в)		г) arccos		3.4.21.	а) л/17; 2л/ТЗ; 5л/2;
б) 14; в)	a j c c o s ( - ^ - L ) ; г) 30; д)			3.4.24. (8;-17;-		13).
3.4.25.	Х\ — Х\ 2/1 — 2/4 2l — Z4				при V = 0. 3.4.27. (с х а) • b = 0.
	^2 -Х4	2/2 ~ 2/4	22 - Z4
	( ХЗ — Х4	УЗ — 2/4 Z3 — Z4

3.4.28. Когда а, 6, с взаимно перпендикулярны. 3.4.29. abc.

Глава 4. Аналитическая геометрия на плоскости

4.1.2. (3; 2); ( - 3 ; - 2 ) ; (—3; 2). 4.1.3. 1) ( - 4 ; - 2 ) ; 2) (4; 2). 4.1.6. (—1; 3).

4.1.7. 6. 4.1.10. (|;	4.1.11. (0; - 4 ) и (0; -12). 4.1.12. л/8; |тг.
4.1.13. ( 2 ; - J ) и ( 3 ; 1 ) . 4.1.14.		+	+ *з . yi + 02 + уз ^ 4 л л 5 > ( 5 ; 2)
или (2; 2). 4.1.16. (4;0)	или (—2; 0). 4.1.17. (5; 5) и (13; 13). 4.1.18. Да, /.ВАС.
4.1.19. л/82. 4.1.20. 34.	4.1.21. 26.	4.1.22. (3;-2); 10. 4.1.23. 2у/Ъ.

527

4.1.24. (6;-2) и (2;-4). 4.1.25. (—4; 3); (2; 7); (6;-1). 4.1.26. 5;

4.1.27.( - 5; - 6); ( - j ; -б); (10; 4). 4.1.28. (3; 0) и (-7; 0).

4.1.29.(0; 4) и (—1; —3). 4.1.30. 60°. 4.1.31. (4;-5). 4.1.32. (5;5). 4.1.33. 20.

4.1.34. х =	+ х2?тг2		+ x3 m3 .	= утц + у2гп2		+ у3га3	4.1.35.	Л.
	mi + т 2	+	га3	rai	+ гаг +	газ	'	V ' 2/
4.1.37. (—5; 0) и ( - 2 ; - 4 ) или (3; 6) и (6; 2). 4.1.38. (8; 0) или (—1; Зл/З).
4.1.39. 7. 4.1.40.		А±Д). 4.1.41. 1) I и III; 2) II и IV; 3) I и III; 4) I, III,
IV; 5) II и IV. 4.1.42. (-9; 11). 4.1.44. (2х2 -					yi)	и (х2\ 2yi - у2) или
(xii2y2-yi) и (2яп - а»;уа). 4.1.47. А(3;0); Я(1; —л/3); С(0;5); £>(0;0);
E ( ~ b ^Т)• 4 л ' 4 9 '			Н ; в ( 5 ; " f ) ;			" Н ; D ( 4 ; ж ) ;		f ) •
4.1.51. (1; 0);	(л/3;	(2;§); (N/3;§); (l; §ТГ). 4.1.52. (3;§тг);						( б ; - * ) .
4.1.53. 8. 4.1.54. >/3 - 1 . 4.1.55. (l;-|тг). 4.1.57. а) (2;-|тг); (l;§7r);
(3;7г); б) ( 2 ; - | ) ; ( l ; | ) ;			(3;0). 4.1.58. 25. 4.1.59.				4.1.60. 3(4л/3-1).

4.1.61.а) На окружности радиуса г с центром в точке О. б) На луче, выходящем из полюса под углом ^^ к полярной оси. в) На полярной оси.

4.1.62.(7; 0). 4.1.65. Зх + у - 4 = 0. 4.1.66. у2 = 4х - 12. 4.1.68. у = ±|.

4.1.69. х2о+ у2о- 4х + 6у - 12 = 0. 4.1.71. < IX = CL COS t',	4.1.72. г = 2#sin<р.
I у = a sin t.

4.1.73. ip = 4.1.75. Ai и А3. 4.1.76. (0;6); (6; 0); (—1; 0). 4.1.77. (—3; 4) и (4;3). 4.1.78. а) (3;4) и (3;-4); б) ( V ^ 5 ^ ; y 0 ) и ( - > / 2 5 = ^ ; уо).

			2	у2	= эллипс; в) у2 — х = 0,
4.1.79. а) х — 2у + 2 = 0, прямая; б) If +				9
парабола. 4.1.80.		2	2	7	2
		+ у2	= 1. 4.1.81. ZL— ^ = 1, гипербола.
4.1.82. г2 = 2a2cos2</?. Кривая называется лемнискатой Бернулли.
. -в	\ х — a(t ~ sin Л,		^

4.1.83.< . ота кривая называется циклоидой.

уу = a(l - cos t)

4.1.84.г = a sin 2 4 . 1 . 8 5 . я2 - 4я - 6у + 13 = 0. 4.1.86. ху =

4.1.87. у2 = 2ря. 4.1.88. а) Оси координат, б) Ось Оу и биссектриса II и IV координат углов.

§ 2. Прямая на плоскости
4.2.2. % +	- 3	= 1.	4.2.3. а) a = 0; a = 1; б) a = 1	4.2.4. ±4=-
f			з	уз
4.2.5. 15я - 5у + 32			= 0. 4.2.7. Расстояния: а) ^ р ; б) 2,5; в)		г) 0.

528

4.2.9. к =

Ь = 4.2.10. (о;

4.2.11. 1. 4.2.13. Зх + у - 3 = 0.

4.2.15. а) у = у/Зх - 6; б) у = 2; в) 4х 4- Зу - 12 = 0. 4.2.16. х + 2у - 8 = 0. 4.2.17. х 4- у - 7 = 0. 4.2.18. 4.2.19. (1;0); я 4- у - 1 = 0. 4.2.20. а = 3;

/3 = -4. 4.2.21. 2я - у - 4 = 0 или х - 2у + 4 = 0. 4.2.22. Ъх + у - 3 = 0. 4.2.23. Зх - 4у - 25 = 0. 4.2.24. х = 3; у = 2; 2я + у - 14 = 0.

4.2.25. х - у + 2 = 0. 4.2.26. 5. 4.2.27. г cos^ ~ \) = 2\/2. 4.2.28. у = 0; у = 3;я + 2 / - 5 = 0 ; я - 2 / + 5 = 0. 4.2.29. я + 2у - 8 = 0; х - 2у 4- 4 = 0.

4.2.30. у = -х + 3. 4.2.31. 6;		-9. 4.2.32. х + у - 1 = 0. 4.2.33. 5я + 13			= 0.
4.2.34. х + у - 6	= 0. 4.2.35. х + у + 4 = 0их-у-8 = 0. 4.2.36.			(2;0);	(0; - 3)
или (-4; 0); (О;	. 4.2.37. (1;0). 4.2.38. 2х + у + 4 = 0; 2х - у 4- 4 = 0;
2х 4- у - 4 = 0. 4.2.40. у 4- 2 = 0. 4.2.41. А —В. 4.2.42. у = ^х + 4.
4.2.43. а = 1. 4.2.50. С = ±90. 4.2.51. у =			+ 6. 4.2.53. 1)	2) 0;
3) arctg 4)	4.2.54. а)	б) arctg	4.2.55. 1) Перпендикулярны;

2) Пересекаются; 3) Совпадают; 4) Параллельны; 5) Совпадают; 6) Перпендикулярны; 7) Пересекаются; 8) Параллельны; 9) Пересекаются; 10) Пер-

пендикулярны. 4.2.56. 1) а) 4; б) -9; 2) а) 8; б) -2; 3) а)		б) -12; 4) а)
б)	4.2.58. а) 2х - у 4- 4 = 0; б) Зх - у + 5 = 0. 4.2.59. а) я - Зу - 11 = 0;

б) х + у + 1 = 0. 4.2.63. 5. 4.2.64. 49. 4.2.65. 4х 4- у - 6 = 0 или Зх + 2у - 7 = 0. 4.2.66. Ъх - 12у - 52 = 0, Ъх - 12у + 26 = 0. 4.2.69. л/13.

4.2.70. 5,1 • л/2. 4.2.71. 4. 4.2.72. у - 5 = 0 или Ъх 4-12у - 65 = 0. 4.2.73. (1;3). 4.2.74. (2;4). 4.2.75. Зх 4- 2у - 11 = 0. 4.2.76. (-3; -1). 4.2.77. (6;6).

4.2.78. х 4- 2у - 10 = 0. 4.2.80. 7х - 56у 4- 83 = 0 и 32я + 4у 4- 73 = 0.

4.2.81. 4я - Зу 4- 7 = 0, х = 2. 4.2.82. 4х - Зу - 7 = 0. 4.2.83. (2;1) и (5;2) или (0;7) и (3;8). 4.2.84. Ъх - Зу - 2 = 0, 7я + 6у + 4 = 0, <р = arctg 3. 4.2.85. Да;

Ai = -10; А2 = 6. 4.2.86.	4.2.87. а =	а = Ьу/3. 4.2.88. в) и г).
4.2.89. ±л/2. 4.2.90.	4.2.91. 4а - Ь - 1 = 0. 4.2.92. а = 3, а = 4.

4.2.93. (1;6). 4.2.94. Пересекаются. 4.2.96. 13. 4.2.97. а) х = -2; б) у = - х - 1; в) 2х 4- у 4- 3 = 0; г) у = х + 3; д) х 4- 6у - 4 = 0; е) 2х - у 4- 5 = 0 или Зх + у + 5 = 0. 4.2.98. 7х - у = 0, 17у - 28 = 0. 4.2.99. arctg 2.

4.2.100. а) (4;4); б) 4.2.101. 2х + \\у - 26 = 0. 4.2.102.

4.2.103. х4-2у — 7 = 0, х — 4у — 1 = 0, х — 2/4-2 = 0. 4.2.104. (2; -3). 4.2.105. Зх - Зу - 8 = 0. 4.2.106. (0;2); (4;0); (2;4); (-2; 6). 4.2.107. (-3; 1). 4.2.108. а) (-3; ±3%/3); б) (-3; ±%/3). 4.2.109. Зх - 4у - 9 = О, Зх - 4у + 16 = 0, 4х 4- Зу - 37 = 0 или 4я 4- Зу 4-13 = 0. 4.2.110. Квадрат со сторонами, лежащими на прямых Зх + у = ±5, х — Зу = ±5.

4.2.111. 2я + 7у 4- 22 = 0; 7х + 2у - 13 = 0; х - у 4- 2 = 0. 4.2.112. 1) 5; 5; 2) 4х + Зу - 27 = 0 и Зх - 4у - 14 = 0; 3) 4х 4- Зу - 27 = 0; 4) 5;

529

34 - 2361