- •Дополнительные главы
- •Список литературы
- •Методические указания по изучению курса Анализ цепей с распределёнными параметрами.
- •1. Первичные параметры длинной линии.
- •2. Уравнения передачи однородной линии.
- •3. Падающие и отражённые волны.
- •4. Вторичные параметры.
- •5. Входное сопротивление линии.
- •5.1. Определение входного сопротивления.
- •5.2. Определение вторичных параметров.
- •5.3. Определение первичных параметров.
- •6. Линия без искажений.
- •7. Линия без потерь.
- •8. Принципы использования отрезков длинных линий.
- •8.1. Линия как фидер.
- •8.2. Применение линий для измерений.
- •8.3. Линия как элемент резонансной цепи.
- •2.3. Построение дуальных схем.
- •2.4. Аппроксимация частотных характеристик.
- •2.4.1. Аппроксимация по критерию Тейлора.
- •2.4.2. Аппроксимация по критерию Чебышёва.
- •2.5. Реализация аппроксимирующей функции электрической цепью.
- •2.6. Метод преобразования частотной переменной.
- •2.7. Активные фильтры.
Методические указания по изучению курса Анализ цепей с распределёнными параметрами.
Введение.
В технике электросвязи, радиосвязи, вещания и телевидения используют устройства, линейные размеры которых соизмеримы с длиной волны проходящего по ним электромагнитного колебания. Такими, в частности, являются различные типы линий передачи электромагнитных волн: воздушные, коаксиальные, микрополосковые линии, антенные системы и другие.
Электромагнитная энергия распространяется вдоль линии с конечной скоростью , не превышающей скорость света (), но в большинстве случаев приближающейся к этому значению. Если по линии передаются электромагнитные колебания с верхней граничной частотой, то наименьшая длина волны составит:Например, отрезок коаксиального кабеля длиной0,2 м может считаться цепью с сосредоточенными элементами, если он служит для передачи телевизионных сигналов диапазона метровых волн (fmax = 56,5 МГц), так как м >>0,2 м; и должен рассматриваться как цепь сраспределёнными параметрами, если он служит для передачи дециметровых волн (fmax =558 МГц), так как м. Таким образом, линии, геометрическая длина которых соизмерима с четвертью длины волны, называются длинными линиями или цепями с распределёнными параметрами.
1. Первичные параметры длинной линии.
Электрические свойства линии определяются сопротивлением и индуктивностью её проводов, ёмкостью и проводимостью между проводами, равномерно распределёнными по длине линии. Их значения, отнесённые к единице длины линии, называются первичными параметрами линии и обозначаются R0, L0, C0, G0. Первичные параметры линии зависят от материала и диаметра проводов, расстояния между проводами, свойств изоляционных материалов, температуры окружающей среды и частоты тока. Если первичные параметры не изменяются по длине линии, то такая линия называется однородной. Если выполняются условия ωL0>> R0, ωC0>> G0, то линию считают линией без потерь.
Эквивалентную электрическую схему однородной линии можно представить в виде цепочечной схемы, состоящей из бесконечно большого количества звеньев длинойdx (рис. 1).
2. Уравнения передачи однородной линии.
Поскольку электромагнитные колебания в линии распространяются с конечной скоростью, не превышающей скорости распространения света, то мгновенные значения напряжения u и тока i в любой точке линии являются не только функциями времени t, но и расстояния от начала линии x: u(x,t); i(x,t). В элементах с сосредоточенными параметрами ток и напряжение зависят только от времени t: u(t), i(t).
Для элемента линии длиной dx на основании законов Кирхгофа, пренебрегая величинами второго порядка малости, можно записать уравнения:
(2.1)
Данные уравнения называются телеграфными, поскольку впервые были получены для телеграфной связи. Решение телеграфных уравнений в общем виде – задача сложная, поэтому рассмотрим частный случай – установившийся режим в линии при воздействии гармонического напряжения на её входе. Если на входе линии действует источник гармонического напряжения
,
то напряжение и ток в любой точке линии с координатой x будут изменяться во времени также по гармоническому закону с частотой входного сигнала ω. Комплексные мгновенные значения напряжения и тока можно записать в виде:
,
где - комплексная амплитуда напряжения;
- комплексная амплитуда тока.
Подставляя эти выражения в уравнения (2.1), получим систему телеграфных уравнений для комплексных действующих значений:
, (2.2)
где оператору дифференцирования во временной области соответствует операторjω в области комплексной переменной. Продифференцируем уравнения (2.2) по x:
.
Подставив в эти выражения значения производных (2.2), получим:
(2.3)
(2.4)
Решение дифференциального уравнения (2.3) имеет вид:
, (2.5)
где и- постоянные интегрирования, а величина
(2.6)
является корнем характеристического уравнения. Эта величина γ называется постоянной распространения, поскольку определяет изменение амплитуды и фазы распространяющегося по линии сигнала.
Аналогичный вид имеет решение уравнения (2.4), однако, чтобы избежать увеличения количества неизвестных постоянных дифференцирования, удобнее определить выражение комплексного действующего значения тока на основании уравнения (2.2):
.
Согласно (2.5):
,
тогда
, (2.7)
где
(2.8)
Для того чтобы определить постоянные интегрирования и, необходимо ввести дополнительные условия, учитывающие физические процессы в линии. Рассмотрим линию длинойс сопротивлением нагрузкиZн. Тогда комплексные действующие значения напряжения и тока в конце линии можно представить в виде:
; .
Применив эти условия к (2.5) и (2.7), получим:
.
Из решения этой системы уравнений находим постоянные интегрирования:
, .
Подставляя значения и в (2.5) и (2.7), получим формулы для расчёта комплексных значений напряжения и тока в любой точке линии:
(2.9)
Вместо координаты x, отсчитываемой от начала линии, в ряде случаев удобно использовать координату , отсчитываемую от конца линии. В этом случае уравнения (2.9) приобретают вид:
(2.10 а)
Можно сгруппировать слагаемые, входящие в уравнения (2.10 а), иначе:
(2.10 б)
Если в качестве дополнительных условий, учитывающих физические процессы в линии, ввести комплексные действующие значения напряжения и тока в начале линии ;, то формулы для расчёта комплексных значений напряжения и тока в любой точке линии:
(2.11)
Уравнения (2.9), (2.10) и (2.11) называются уравнениями передачи однородной длинной линии.