2.6. Метод преобразования частотной переменной.

Метод преобразования частотной переменной используется для синтеза ФВЧ и ПФ. Преобразование применяется только к нормированным частотам Ω.

2.6.1. Синтез ФВЧ. Сравнивая характеристики ФНЧ и ФВЧ на рисунках 2.9 и 2.10, можно заметить, что они взаимно обратные. Это означает, что если выполнить замену частотной переменной

или (2.27)

в выражении характеристики ФНЧ, то получится характеристика ФВЧ. Например, для фильтра с характеристикой Баттерворта

Использование этого преобразования эквивалентно замене емкостных элементов на индуктивные и наоборот:

, то есть

, то есть .

Чтобы синтезировать ФВЧ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.

Рис. 2.9. ФНЧ с нормированной Рис. 2.10. ФВЧ с нормированной

характеристикой. характеристикой.

1. Выполнить нормирование частотной переменной .

2. Применить формулу (2.27) для преобразования частотной переменной

.

Пересчитанные требования к характеристике рабочего ослабления представляют собой требования к рабочему ослаблению так называемого ФНЧ-прототипа.

3. Синтезировать ФНЧ-прототип.

4. Применить формулу (2.27) для перехода от ФНЧ-прототипа к требуемому ФВЧ.

5. Выполнить денормирование параметров элементов синтезированного ФВЧ.

2.6.2. Синтез ПФ. На рисунке 2.1.3. изображена симметричная характеристика рабочего ослабления полосового фильтра. Так называется характеристика, геометрически симметричная относительно средней частоты .

Чтобы синтезировать ПФ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.

1. Для перехода от требуемой симметричной характеристики ПФ к нормированной характеристике ФНЧ-прототипа (и воспользоваться уже известной методикой синтеза), необходима замена частотной переменной (рисунок 2.11)

Рис. 2.11.

2. Синтезировать нормированный ФНЧ-прототип по методике, представленной в разделах 2.4 и 2.5.

3. От схемы ФНЧ-прототипа перейти к схеме ПФ с нормированной характеристикой путём замены каждого индуктивного элемента в продольной ветви на последовательное соединение индуктивного и емкостного элементов с параметрами

;

и замены каждого емкостного элемента в поперечной ветви на параллельное соединение индуктивного и емкостного элементов с параметрами (рис. 2.12)

.

Рис. 2.12.

4. Выполнить денормирование параметров элементов

.

2.7. Активные фильтры.

Активные фильтры характеризуются отсутствием катушек индуктивности, так как свойства индуктивных элементов можно воспроизвести с помощью активных схем, содержащих активные элементы (операционные усилители), резисторы и конденсаторы. Такие схемы обозначаются: ARC-схемы. Недостатками катушек индуктивности являются низкая добротность (большие потери), большие габариты, высокая стоимость производства.

2.7.1. Основы теории ARC-фильтров. Для линейного четырёхполюсника (в том числе – линейного ARC-фильтра) соотношение между входным и выходным напряжением (в операторной форме) выражается передаточной функцией по напряжению:

,

где w(p) – чётный (К·р⁰ для ФНЧ) или нечётный (для ФВЧ) полином,

v(p) – полином Гурвица порядка N.

Для ФНЧ передаточную функцию (нормированную величину) можно представить в виде произведения сомножителей

где К = Н_U(0)= К2­₁·К2₂·…·К2_(N/2) – значение функции H_U(p) (для фильтра чётного порядка) при передаче постоянного напряжения (то есть при f=0 или, в операторной форме, при р=0);

сомножители в знаменателе образованы произведением комплексно-сопряжённых корней

; (2.30)

в случае фильтра нечётного порядка имеется один сомножитель, образованный с использованием корня полинома Гурвица с реальным значением .

Каждый сомножитель передаточной функции может быть реализован активным фильтром (ARC) нижних частот второго или первого порядка. А вся заданная передаточная функция H_U(p) –каскадным соединением таких четырёхполюсников (рисунок 2.13).

Активный четырёхполюсник на базе операционного усилителя обладает очень полезным свойством - его входное сопротивление гораздо больше, чем его выходное сопротивление. Подключение к четырёхполюснику в качестве нагрузки сопротивления очень большой величины (такой режим работы близок к режиму холостого хода) не оказывает влияния на характеристики самого четырёхполюсника.

Н_U(р) = Н1_U(p) · H2_U(p) · … · Hk_U(p)

Рис. 2.13.

Например, активный фильтр нижних частот 5-го порядка может быть реализован схемой, представляющей собой каскадное соединение двух четырёхполюсников второго порядка и одного четырёхполюсника первого порядка (рис. 2.14), а ФНЧ 4-го порядка – состоит из каскадного соединения двух четырёхполюсников второго порядка. Четырёхполюсники с большей величиной добротности подключаются первыми в тракт передачи сигнала; четырёхполюсник первого порядка (с наименьшей добротностью и наименьшей крутизной частотной характеристики) подключается последним.

2.7.2. Синтез ARC фильтра производится с использованием передаточной функции по напряжению (2.29). Нормирование по частоте производится относительно частоты среза f_c. При частоте среза значение передаточной функции по напряжению меньше максимального Hmax в раз, а значение ослабления равно 3 дБ

.

Рис. 2.14. ARC фильтр нижних частот 5-го порядка.

Нормирование частотных характеристик производится относительно f_c. Если решить уравнения (2.16) и (2.23) относительно частоты среза, то получим выражения

- для ФНЧ с характеристикой Баттерворта;

- с характеристикой Чебышёва.

В зависимости от типа характеристики фильтра – Баттерворта или Чебышёва, - определяется порядок аппроксимирующей функции по формулам (2.19) или (2.26).

Корни полинома Гурвица определяются по формулам (2.20) или (2.26). Передаточная функция по напряжению для четырёхполюсника второго порядка может быть образована с использованием пары комплексно-сопряжённых корней, а, кроме того, может быть выражена через параметры элементов схемы (рис. 2.14). Анализ схемы и вывод выражения (2.31) не приводится. Аналогичным образом записывается выражение (2.32) для четырёхполюсника первого порядка.

(2.31)

(2.32)

Поскольку величина сопротивления нагрузки не влияет на характеристики активного фильтра, денормирование выполняется исходя из следующего. Сначала выбираются приемлемые значения резистивных сопротивлений (10 … 30 кОм). Затем определяются реальные значения параметров ёмкости; для этого в выражении (2.15) используется f_c.

CОДЕРЖАНИЕ
1.Общие сведения о дисциплине ………….………………………………			3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………….			3
2. Методические указания по изучению курса ……………………….….			4
Анализ цепей с распределёнными параметрами …………………			4
Теоретические основы синтеза фильтров ……………………….…			22
Содержание	……………………………………………………………..		36

35