- •Задача о площади криволинейной трапеции.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям.
- •Замена переменной под знаком определенного интеграла.
- •Объем тела с известным поперечным сечением.
- •Объем тела вращения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Несобственные интегралы.
- •Основные свойства несобственных интегралов.
- •Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •Интеграл от неограниченной функции.
- •Интегралы, зависящие от параметра.
Объем тела с известным поперечным сечением.
Q = Q(x) – известная функция задающая площадь поперечного сечения плоскостью x = Const.
∆Vi = Q(xi) ∆xi . ∆xi =xi+1– xi
Объем тела вращения.
y y = f(x) Q(x) = π r2 = π (f(x))2
y x = b
r
a xx x
x = b x = f(y)
x r = f(x)
x
x = a
П р и м е р .
Вычислить объем, образованный вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной кривыми y = x2, y = -x + 2, y = 0.
y
x = 2
x
x = 1
Теорема о среднем.
Если функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то внутри этого промежутка найдется такая точка x = ξ, что
Пусть F(x) – первообразная функции f(x). F′(x) = f(x). Тогда
Геометрическая иллюстрация. y= f(x)
f(ξ)
0 a ξ b
- среднее значение функции f(x) на промежутке [a, b].
Интеграл с переменным верхним пределом.
Пусть f(x) – непрерывна на [a, b] и Если x изменяется, то меняется и величина интеграла.
Теорема.
Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.
Пусть f(x) – непрерывна. F(x) – первообразная f(x), т.е. F′(x) = f(x). Тогда
Следовательно, Φ(x) – первообразная f(x).
- формула связи определенного и неопределенного интегралов.
Несобственные интегралы.
Понятие определенного интеграла было введено для конечного интервала [a, b] и ограниченной функции f(x). Если же интервал интегрирования бесконечный или подынтегральная функция не ограничена, то понятие определенного интеграла теряет смысл. В ряде задач, однако, есть необходимость распространить понятие интеграла и на эти случаи.
y Интегралы с бесконечными пределами.
Пусть f(x) непрерывна на промежутке
[a, ∞). Рассмотрим b > a. Найдем
a b x
Тогда
- несобственный интеграл по бесконечному промежутку [a, ∞) от функции f(x).
Если предел (*) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяются и другие несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
Пусть f(x) непрерывна на интервале (-∞, b]. Тогда (a < b)
y Пусть f(x) непрерывна на (-∞, ∞), тогда
(**)
a 0 b x
Интеграл называется
y сходящимся, если сходится каждый
из интегралов в правой части равенства
(**).
a x
П р и м е р ы