- •Задача о площади криволинейной трапеции.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям.
- •Замена переменной под знаком определенного интеграла.
- •Объем тела с известным поперечным сечением.
- •Объем тела вращения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Несобственные интегралы.
- •Основные свойства несобственных интегралов.
- •Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •Интеграл от неограниченной функции.
- •Интегралы, зависящие от параметра.
Основные свойства несобственных интегралов.
На несобственные интеграла распространяются многие свойства определенных интегралов. Пусть F(x) – первообразная от f(x). Тогда
П р и м е р .
.
Следовательно, интеграл сходится при p > 1 и расходится при p≤ 1.
y
p < 1
1 p = 1
0 1 x
p > 1
Признаки сходимости несобственных интегралов.
-
Если 0 ≤ f(x) ≤ φ(x) и
-
Если 0 ≤ φ (x) ≤ f(x) и
Для сравнения, как правило, используются интегралы
П р и м е р ы .
В предыдущих примерах рассматривались интегралы от неотрицательных функций. Если f(x) произвольного знака, то применяется следующий признак
-
Если
В этом случае интеграл (**) называется абсолютно сходящимся.
П р и м е р
Интеграл от неограниченной функции.
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале [a, b], а при x = b обращается в бесконечность. f(b) = ∞. Обобщим понятие определенного интеграла на такую функцию.
y
a b-ε b x
Возьмем значение ε > 0 и найдем интеграл .
Найдем предел - несобственный интеграл от неограниченной функции f(x) на промежутке [a, b).
Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяются и другие несобственные интегралы от неограниченной функции.
Пусть f(x) - непрерывна в промежутке (a, b], а в точке x = a обращается в бесконечность.
y
x
a a+ε b
Пусть функция f(x) непрерывна в интервалах [a, c) и (c, b], а f(c) = ∞. Тогда
y
a c-ε1 c c+ε2 b x
П р и м е р 1
.Все свойства, рассмотренные для интеграла , переносятся и на интеграл от неограниченных функций. Для сравнения следует брать функции
Интегралы, зависящие от параметра.
Рассмотрим интеграл вида
Здесь λ – параметр, т.е. величина, которая в процессе интегрирования остается постоянной. но может принимать различные значения. Интеграл является функцией параметра λ.
П р и м е р ы .
Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.
-
Предположим, что f(x, λ) и f′λ (x, λ) − непрерывные функции при
c ≤ λ ≤ d, a ≤ x ≤ b.
Найдем производную от интеграла по параметру λ.
.
Последняя формула называется формулой Лейбница.
-
Предположим, что в интеграле (1) пределы интегрирования тоже зависят от параметра λ.
(2)
Можно показать, что производная от интеграла (2) по параметру α имеет вид
С помощью формулы Лейбница можно вычислить некоторые определенные интегралы.
П р и м е р 1. Вычислить интеграл
Интеграл не берется.
Остается определить С. Для этого заметим, что
Подставив в равенстве (*) λ = 0, получим 0 = arctg 0 + C. Отсюда С = 0.
Следовательно, для любого значения λ имеет место равенство I(λ) = arctg λ, т.е.
П р и м е р 2 . Гамма-функция. Это неэлементарная функция, введенная Эйлером в 1729 г.
(1)
Покажем, что этот несобственный интеграл сходится при p > 0. Представим интеграл в виде суммы
Первый интеграл в правой части – это интеграл от неограниченной функции, если p - 1 < 0. Он сходится, т.к. 0 < e-x ≤ 1 и
Второй интеграл тоже сходится. Действительно, пусть n – целое число, такое, что n > p – 1. Тогда, очевидно,
Рассмотрим интеграл . Вычисляя этот интеграл n раз по частям с учетом того, что
(2)
можно доказать, что он сходится. Следовательно, интеграл (1) сходится при p > 0.
Эта функция часто используется в приложениях. Найдем значения Γ(p) при целых p. При p = 1 имеем
Пусть p > 1. интегрируем по частям
u = x p – 1, d v = e –xdx,
du = (p – 1)x p – 2dx
Γ(p)
Γ(2) = 1, Γ(3) = 2∙1 = 2!, Γ(4) = 3∙Γ(3) = 3∙2∙1 = 3!, .... Γ(n) = (n – 1)!