Курсовая работа Мат. Анализу 1 семестр

Вариант 11

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim	sin 2x −2x			; б) lim(π	2	−arctgx)	1x
	x	2	arcsin x
x→0				x→∞

2. Провести исследование и построить график функции: y = lnxx .

4.На прямой l : y = 2x −1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух точек P1 (1;3) и P2 (5;2) была наименьшей.

5.

Вычислить y(11) функции

y = x3 ln x .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора 3 e с точностью до 10−3 .

7.

x = cost /

(1 + 2cost

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

(1 + 2cost

y =sin t /

= −π и вычислить y′′

точке t

0

(x ).

3

xx

0

x

8.

ln y +

=1.

y

2xln (1 + x)−2x2 + x3

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

x4

x→0

π

, x ≠ 0, на

10. Применима ли теорема Ролля к функции f

(

x

)

=

xsin

x

[

0;1 ?

]

x = 0.

0,

Вкаких точках f ′(x)=0 ?

11.По графику функции построить график ее первой производной

)

) в

.

				Вариант 12
	1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
		а) lim	2x4 +3x3 −4x2 −9x −4	; б) lim(1 −cos x)x
		x→−1	3x4 +5x3 +3x2 +3x + 2	x→0	ex
	2.	Провести исследование и построить график функции: y =					.
					x +1

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность.

5.Вычислить y(12) функции y =(x −1)2x−1 .

6.Вычислить с помощью формулы Тейлора sin850 с точностью до 10−3 .

							3	+1
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой				x =t				в точке
								+t +1
					y =t2
	t		=1 и вычислить y′′	(x ).
		0
			xx	0
8.	arctg(x + y) = x .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim				2xe−(x+1)			− x3 − x	.
						(x +1)3
				x→−1

10.Доказать, что если x является корнем многочлена P(x) кратности k , то для P′(x) он будет корнем кратности k −1.

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 13

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim ln x − x +1		; б)	lim	(arcsin x)1 / ln x
x→1	x − xx		x→+0

2. Провести исследование и построить график функции: y = x −ln x .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.

5.

Вычислить y(13) функции

y =

x

, используя формулу Лейбница.

x2

− 4x −12

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора cos720

с точностью до 10−3 .

2

x =(1 +ln t )/ t

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в

+ 2ln t )

y =(3

/ t

t

=1 / e и вычислить y′′ (x ).

точке

0

xx

0

8.

x +

y = a .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

x2 −sin2 x

.

x4

y = 4 − x2

x→0

10. В какой точке касательная к параболе

параллельна хорде, соеди-

няющей точки A(−2;0)

и B(1;3)?

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 14

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

	а) lim	x4 + x3 −3x2 −5x −2	; б)	lim	(ctgx)1 / ln x
		x4 + 2x3 −2x −1
	x→−1			x→+0

2. Провести исследование и построить график функции: y =ex − x .

4.На отрезке прямой между точками A(1;2) и B(5;4) найти такую точку C , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до точки P(2;6) и прямой l :

x− y −5 = 0 , была наименьшей.

5.	Вычислить y(14) функции			y =(2x −1) 23x 32 x .
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора ln1,3с точностью до 10−3 .
								+t )/ t
							x =(1
										2
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой									в
							y =3 / (2t2 )			+ 2 / t
	точке t		= −4 и вычислить y′′		(x ).
		0
				xx	0
8.	y = x +ln y .					ln (1 + x)
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim							− xex		.
							x2
					x→0

10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x)=1 − x на отрезке [−1;1]?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 15

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

	ln 1 −cos x	)		sin x		x−3
а) lim	(		; б) lim
	ln (tgx)
x→0+			x→+0		x

2. Провести исследование и построить график функции: y = x + e−x .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность.

5.	Вычислить y(15) функции					y =(3 − 2x)2 e2−3x .
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора arctg0,8 с точностью до 10−3 .
								2	t
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой						x =cos			в точке
							y =tg2t
			= π
	t	0		и вычислить y′′	(x	).
			4	xx	0

8. ye−y = ex+1 .

	9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	ln (1 + x)−e−x −1		.
		x3
	x→0

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= ln x и найти c на [1;2].

11.По графику функции построить график ее первой производной

					Вариант 16
	1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
		а) lim		3 +ln x	; б) lim(4 − x)tg (πx / 6)
				−3ln sin x
		x→0+ 2			x→3	ex
	2.	Провести исследование и построить график функции: y =						.
						ex −1

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.

5.	Вычислить y(16) функции				y = xlog2 (1 −3x).
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора число e с точностью до 10−7 .
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой							x =t sin t +cost							в
								y =sin t −t cost
	точке t		0	= π и вычислить y′′		(x ).
				3	xx	0
		x
	−
8.	y = e y .						1 −(1 + x2 )cos 2x
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim													.
								x	3	(	+ x	2	)
						x→0

10.Написать формулу Коши для функций f (x)= x2 + 2 и g (x)= x3 −1, и найти c

на [1;2].

11.По графику функции построить график ее первой производной

					Вариант 17
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
					1/ x2
	а) limsin x ln ctgx ; б) lim(cos x)
			x→0	x→0			1
2.	Провести исследование и построить график функции: y =(x + 2)e−x .
4.	На прямой l : y =3x + 2 , найти такую точку C , чтобы сумма квадратов
	расстояний от неё до прямой l1 : x + y +1 = 0 , и точки					P2 (6;3)	была
	наименьшей.
5.	Вычислить y(17)			функции y =ln (x −1)2 x .
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора: 10 с точностью до 10−3 .
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					x =t +sin t		в точке
						y = 2 +cost
	t	0	= π и вычислить y′′		(x ).
			3	xx	0
8. ln x2 +e2 =e2 y .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim 2					1 + x −2 − x .
					x→0	x2

10.На интервалах (−1;1) и (1;2) найти точки, в которых касательная к графику функции f (x)=(x2 −1)(x −2) горизонтальна.

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 18

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
	2					1	ln(1−x)
а) lim xln			arctgx	; б)	lim
x→∞	π				x→+0	x

2. Провести исследование и построить график функции: y = xx .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность.

5.

Вычислить y(18) функции

y = xln

3 + x

.

3 − x

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора: sin10 с точностью до 10−6 .

2

)

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x = ln (1 +t

=t −arctgt

y

(x

).

t

0

=1

и вычислить y′′

xx

0

8.

x − y

= x .

x + y

ln x −(x −1)ex−1

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2

(x −1)3

x→1

в точке

.

10.Доказать, что функция f ′′(x), где f (x)=(x −4)2 (x + 2)2 , имеет на промежутке [−2;4] два корня.

11.По графику функции построить график ее первой производной

			Вариант 19
	1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
		а)	xlim→+∞ x(π −2arcsin (x / x2 +1)); б) limx→0 (sin 2x)1/lnsin x
	2.	Провести исследование и построить график функции:		y = arcsin		4x	.
					4	+ x2

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.

5.

Вычислить y(19) функции

y = xln (x2 −3x + 2).

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора: cos50 с точностью до 10−5 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x =cos 2t

в точке

2 / cos2 t

= π и вычислить y′′

y =

t

0

(x

).

4

xx

0

8.

y2 = 2 + 2 px .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

lim

2xex+2

− x3 −6x2 −10x

.

(x + 2)

2

x→−2

10. Написать формулу Коши для функций f (x)= x2

и g (x)=

x , и найти c на

[

]

.

1;4

11. По графику функции построить график ее первой производной

						Вариант 20
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
		1	−	1		lim (1 + x)ln x
	а) lim				; б)
				2
	x→0 xarctgx			x		x→+0
2.	Провести исследование и построить график функции y = 3 x − ln (1 + 3 x ).

4.На окружности x2 + y2 −4x −6 y +12 = 0 найти такую точку C , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух точек A(6;1) и B(5;5) была наименьшей.

5.	Вычислить y(20) функции			y = x3 cos x .
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора: 3 30 с точностью до 10−4 .
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					x =(1 +t2 )/ (t2 −1)		в
							−1)
						y =t / (t2
			= 2 и вычислить y′′		(x ).
	точке t	0
				xx	0

8.(x + y)2 = 6(x − y) .

9.Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim 2 −cos2 x + 2sin x .

π2 (x +π 2 )4

10. Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= x3 и найти c на отрезке

[a;b].

11.По графику функции построить график ее первой производной