Курсовая работа Мат. Анализу 1 семестр

Вариант 21

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а)	lim		(2x −π)2				(1 + x)1 x 1 x
				2		; б) lim
	x→π	2 cos			x		e
						x→0

2. Провести исследование и построить график функции y = xarctgx .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность.

	5.	Вычислить y(21) функции y = 2xcos2 (x / 3).
	6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора: lg11 с точностью до 10−4 .
								t
	7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					x = e		в точке
		t		=0 и вычислить y′′	(x ).		y =arcsin t
			0
				xx	0
	8.	x2 − y2 =π2 .				ln (1 − x2 )+ x2e−x2
	9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim								.
					x→0			x3
	10. Будет ли выполняться теорема Ролля для функции y = 3 8x − x2								на отрезке
		[0;8].

11. По графику функции построить график ее первой производной

				Вариант 22
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
		1
	а) lim x3 ln2 x ; б)	lim x	ln(shx)
	x→+0	x→0+
2.	Провести исследование и построить график функции y = ln (x + x2 +1).

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.

5.Вычислить y(22) функции y =(x2 + x)cos2 x .

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

n

x

k

приближенной формулы: ex ≈ ∑

,0 ≤ x ≤1.

k!

k=0

x = cost

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке

y =sin4 (t / 2)

= π

t

0

и вычислить y′′

(x ).

3

xx

0

8. y −0.5sin y = x .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ex2

−1 − xsin x

.

x4

x→0

10.В какой точке касательная к параболе y = x2 параллельна хорде, соединяющей точки A(−1;1) и B(3;9)?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 23

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1

arctgx

(3x

2

x

)

1 x

а) lim

−

4

; б)

lim

+3

3

x

x→0

x

x→+∞

1

2. Провести исследование и построить график функции y =(x − 2)ex .

4.На правой ветви гиперболы y =12x , x > 0 , найти точку C , ближайшую к прямой l : 3x + 4 y +16 = 0 .

5.

Вычислить y(23) функции y =

x

.

1

−5x

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: sin x ≈ x −

x3

+

x5

,

x

≤1.

3!

5!

x = arctgt

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке

t

=1 и вычислить y′′

(x ).

y =t2

/ 2

0

xx

0

8. ex −ey = y − x .

ln (1 − x)

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

+ xe−x

lim

.

x2

x→0

10.Проверить, что между корнями функции f (x) = x2 −4x +3 находится корень

еепроизводной. Пояснить графически.

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 24

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim	arctg (x −1)	; б) lim	(π −2x)cos x
x→1+ x2 + x −2		x→π 2−

− 1

2. Провести исследование и построить график функции y = xe x2 .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность.

5.

Вычислить y

(24)

функции

y =

x2

.

1

− 2x

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

cos x ≈1 −

x2

+

x4

−

x6

,

x

≤ 0,5 .

2!

4!

6!

x =tgt

в точке

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

y =1 / sin 2t

t

0

= π и вычислить y′′

(x

).

3

xx

0

8.

y ln y = x .

ex −ln (1 + x)2

−e−x

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

.

x2

x→0

на [−1;2].

10. Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= x3 −5 и найти c

11. По графику функции построить график ее первой производной

				Вариант 25
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
	а) lim arcsin x −arctgx			; б) lim (tgx)cos x
	(	+ x2	)	x→π 2−
	x→0 ln 1
2.	Провести исследование и построить график функции y = ln (x2 −1)+					1	.
					x2	−1

4.Найти радиус основания R и высоту H прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольший объем.

Вычислить y

(3)

x/2

3

5.

функции

y =e

cos

x .

2

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

tgx ≈ x +

x3

,

x

≤0,1.

3

x =cost +sin t

в точке

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

y =sin 2t

t

0

= π и вычислить y′′

(x

).

2

xx

0

8.

y = cos(x + y) .

ln (1 −2x)+ 2x2

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

+sin 2x

x3

x→0

10.На кривой y = x3 найти точку, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(−1;−1) и B(2,8).

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 26

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

		1	−			1			; б) lim xx
а) lim
				e	x	−1
x→0	tgx								x→+0

2. Провести исследование и построить график функции y = lnxx .

4.На отрезке прямой между точками A(2;1) и B(4;5) найти такую точку C ,

чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух прямых: l1 : 4x − y −8 = 0 , и l2 : x + y −10 = 0 , была наименьшей.

5.

Вычислить y(3) функции y =e2 x sin2 x .

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: ln (1 + x)≈ x −

x2

+

x3

−

x4

,

x

≤ 0,1.

2

3

4

3

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x =t

в точке

t

=π и вычислить y′′

(x ).

y =sin t

0

xx

0

8. x2 −3xy + y2 =1.

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ex −1 − x

.

1 − x −cos

x→0

x

10. Написать формулу Коши для функций

f (x)= x2 −2x +3 и

g (x)= x3 −7x2 + 20x −5 , и найти c на [1;4].

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 27

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

		2				1		; б) lim x	(ln 3)/ (1 − x)
а) lim					−
			2	x
x→0	sin					1 −cos x		x→1

2. Провести исследование и построить график функции y =

x .

3 x2 −1

4.Найти основание a и боковую сторону b равнобедренного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких треугольников наибольший периметр.

5.

Вычислить y(4) функции

y = x2 sin2 x .

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

1 + x ≈1 +

x

−

x2

+

x3

,0 ≤ x ≤ 0,2 .

2

8

16

t

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x =

в точке t0

= 26

t

y = 3

ивычислить y′′xx (x0 ).

8.ey = 4x −7 y .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	xcos x −arctgx			.
(		3	)

x→0	ln 1 − x

10. Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= 3x3 +3x и найти c на

[0;1].

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 28

1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
		π	(	tgx + 2 /	(	2x −π	))	π	(	cos x	)	− ln(π−2x) −1
	а) lim							; б) lim
	x→	2						x→ 2−
2.	Провести исследование и построить график функции													y =	18		(x + 2)2	.
																	x3

4.Найти основание a и боковую сторону b равнобедренного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких треугольников наибольшую площадь.

5.

Вычислить y

(28)

функции

y =

3 − 2x2

.

2x2

+ 3x

−

2

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

1 − x ≈

1 −

x

−

x2

−

x3

,0 ≤ x ≤ 0,2 .

2

8

16

7.Составить уравнения касательной и нормали к кривой и вычислить y′′xx (x0 ).

8.x − y = ex+y .

9.Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

x→0

	−t
x = 2		в точке t0 =1
y = 22t

	1 + 2tgx −ex + x2	.
	arcsin x −sin x

10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x)= 3 x2 −3x +2 на отрезке [1;2]? Если да, то найти c .

11.По графику функции построить график ее первой производной

e2−x

Вариант 29

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim	(π −2arctgx) ln x	; б) lim		1		−1 / 1 −ln x
					2
x→+∞		x→+0	x

2. Провести исследование и построить график функции y = 2 − x .

	4.	На правой ветви квадратичной гиперболы y =	4 2	, x > 0 , найти точку C ,
			x2
		ближайшую к началу координат.
	5.	Вычислить y(3) функции y = x28 ln x .

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: ctgx ≈1 −2 x − π + 2 x − π 2 , π ≤ x ≤ π .

4 4 4 2

7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					x =sin 2t		в точке
	t		=0 и вычислить y′′	(x ).		y =et
		0
			xx	0
8.	3		x + 3 y = 3 6 .
	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim					1 +2x3	−cos x4
9.									.
						tgx	− x
				x→0

10.В какой точке касательная к кривой y =ln x параллельна хорде соединяющей точки A(1;0) и B(e;1)?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 30

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а)

lim

(π / 2)−arctgx

; б) lim

1 + x

2

−1 / ln x

(

)

((

)

(

))

ln

x

(

)

x→+∞

1 / 2

x −1 /

+1

x→+∞

2. Провести исследование и построить график функции

y =

4x3

+3x2 −8x −2

.

2 −3x2

4. Найти радиус основания R и высоту H прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольшую полную поверхность.

5.

Вычислить y(3) функции

y = x20ex .

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

arcsin x ≈ x +

x3

, 0 ≤ x ≤ 0,5 .

6

−t

2

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x =1

в точке

−t3

y =t

t

= 2 и вычислить y′′

(x

).

0

xx

0

8.

3x −5 = y2 .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

x

1 +sin x +ln (1 − x)

tgx −sin x

x→0

10.Удовлетворяют ли функции f (x)=ex и g (x)= x2 / (1 + x2 ) условиям теоремы Коши на отрезке [−3;3]?

11.По графику функции построить график ее первой производной