IU1

Задания по теории

Часть 1.

1.Теорема об эквивалентности решения интегрального уравнения и решения алгебраической системы.

2.Теорема об условии разрешимости интегрального уравнения* (доказательство необходимости для произвольного непрерывного ядра.)

3.Резольвента. Запись решения через резольвенту. Определение резольвенты.

4.Теорема Банаха.

5.Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма с «малым» ядром.

6.Итерированные ядра и построение резольвенты с выводом формулы и доказательством для интегрального уравнения Фредгольма с «малым» ядром.

7.Метод решения интегрального уравнения с произвольным непрерывным ядром. Сведение интегрального уравнения с произвольным непрерывным ядром к интегральному уравнению с вырожденным ядром.

8.Теорема Фредгольма 1 для интегрального уравнения Фредгольма с произвольным непрерывным ядром.

9.Лемма (обобщение теоремы Банаха).

10.Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Вольтерра.

11.Итерированные ядра и построение резольвенты с выводом формулы и доказательством для интегрального уравнения Вольтерра.

12.Интегральное уравнение типа Вольтерра со слабой особенностью. Определение. Лемма. Следствие.

13.Теорема о возможности сведения уравнения Вольтерра I рода к интегральному уравнению II рода.

14.Обобщённое уравнение Абеля, метод его решения. Обычное уравнение Абеля.

15.Определение максимума (минимума) функционала. Теорема (Необходимое условие экстремума функционала.) Определение слабого экстремума, сильного экстремума.

16.Вывод уравнения Эйлера для простейшего функционала.

17.Основная лемма вариационного исчисления.

18.Решение уравнения Эйлера. Частные случаи уравнения Эйлера.

19.Вывод уравнения Эйлера, в случае, когда функционал зависит от производных более высокого порядка, чем первый.

Часть 2.

1.Определение линейные интегрального уравнения I, II, III рода, однородного, неоднородного, транспонированного.

2.Определение интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром

3.Связь между матрицами алгебраических систем, полученных из интегрального уравнения и ему транспонированного. Вид алгебраической системы для однородного уравнения.

4.Определениеправильных и собственных чиселλ дляинтегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром, количество решений для λ правильного и собственного.

5.Определениеправильных и собственных чиселλ дляинтегрального уравнения Фредгольма с непрерывным ядром.

6.Теорема Фредгольма 1,2,3,4 для интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.

7.Теорема (об альтернативе) для интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.

8.Понятие оператора. Примеры. Определение метрического пространства. Определение пространства C[a,b]. Определение сходимости в метрическом пространстве. Определение предела последовательности. Определение фундаментальности последовательности, теорема о связи со сходимостью. Контрпример. Определение полного пространства.

9.Следствие из теоремы Банаха об оценке ошибки n-ого приближения. 3 замечания из теоремы Банаха.

10.2 замечания из теоремы про интегральное уравнение Фредгольма с «малым» ядром.

11.Теоремы Фредгольма 1,2,3,4 для интегрального уравнения Фредгольма произвольным непрерывным ядром. Теорема (об альтернативе) для интегрального уравнения Фредгольма произвольным непрерывным ядром.

12.Замечание про операторный способ задания резольвенты для интегрального уравнения Фредгольма произвольным непрерывным ядром.

13.Замечание об интегральных уравнениях Фредгольма со слабой особенностью.

14.Определение уравнения Вольтерра I рода и необходимые условия его разрешимости.

15.4 замечания к теореме об уравнении Вольтерра I рода.

16.Определение функционала. Определение вариации функции. Определение непрерывности функционала. Понятие близости функций в смысле к-го порядка. Определение линейного функционала. Два эквивалентных определения вариации функционала. Определение максимума (минимума) функционала. Определение слабого экстремума, сильного экстремума.

17.Понятие экстремалей функционала.

18.Обобщения уравнения Эйлера: на случай, когда функционал зависит от нескольких функций.

Часть 1:

1. Теорема об эквивалентности решения интегрального уравнения и решения алгебраической системы.

2.Теорема об условии разрешимости интегрального уравнения* (доказательство необходимости для произвольного непрерывного ядра.)

3.Резольвента. Запись решения через резольвенту. Определение резольвенты.

4. Теорема Банаха.

5. Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма с «малым» ядром.

6. Итерированные ядра и построение резольвенты с выводом формулы и доказательством для интегрального уравнения Фредгольма с «малым» ядром.