Предел функции

50

Пример 4.10.7. L = lim ax − 1.

x→0 x

Сделаем замену α = ax − 1. Отсюда следует, что ax = α + 1, à x = loga (α + 1) .

Подставляя вместо x его выражение через α, получаем

L = lim

α

α→0 loga (α + 1)

= lim

1

α→0 α1 loga (α + 1)

1 = .

lim 1 loga (α + 1)

α→0 α

Используя свойства логарифмов, получаем

L =	1			=		1
	1					1
	lim loga (α + 1)	α			loga	lim (1 + α)	α
	α→0					α→0

1

= loga e = ln a.

4.11. Основные теоремы о пределах

Сформулируем и докажем сначала основные теоремы о бесконечно малых функциях. Мы сделаем это для случая, когда их аргументы x → a, ãäå a некоторое число, но

эти теоремы справедливы и в случае, когда a = ±∞. Первую теорему мы докажем

очень подробно, "разжевывая" буквально все.

Теорема 4.11.1 (о сумме бесконечно малых функций).

Если функции α(x) è β(x) являются бесконечно малыми при			x → a, òî èõ
сумма γ(x) = α(x) + β(x) также является бесконечно малой при			x → a.
Доказательство.
Возьмем любое число ε > 0.
По условию теоремы функция α(x) является бесконечно малой при				x → a.
Применяя определение 4.3.1, заключаем, что lim α(x) = 0.
		x→a
Согласно определению 4.1.2, отсюда следует, что найдется такое число				δ1 > 0,
÷òî ïðè âñåõ x, удовлетворяющих неравенству
0 < |x − a| < δ1,				(1)
выполняется неравенство	ε
|α(x)| <
		.		(2)
	2

Предел функции				51
По условию теоремы функция β(x) также является бесконечно малой при				x → a.
Применяя определение 4.3.1, заключаем, что lim β(x) = 0.
			x→a
Согласно определению 4.1.2, отсюда следует, что найдется такое число				δ2 > 0,
÷òî ïðè âñåõ x, удовлетворяющих неравенству
	0 < |x − a| < δ2,			(3)
выполняется неравенство		ε
	|β(x)| <
			.	(4)
		2
Возьмем число δ = min{δ1, δ2}	(так обозначается наименьшее из двух чисел)
и потребуем, чтобы переменная	x удовлетворяла неравенству

0 < |x − a| < δ.

Тогда неравенства (1) и (3) выполняются одновременно, а это дает нам право использовать неравенства (2) и (4).

Рассмотрим

|γ(x)| = |α(x) + β(x)| 6 |α(x)| + |β(x)| <		ε		+		ε		= ε.	(5)
	2				2

Используя определение 4.1.2, мы теперь приходим к выводу, что lim γ(x) = 0.

x→a

Тогда по определению 4.3.1 получается, что γ(x) также является бесконечно малой функцией при x → a.

Теорема доказана.

Замечания.

1.Небольшое изменение доказательства позволяет получить аналогичный результат и для разности бесконечно малых функций.

2.В доказательстве мы применили неравенство треугольника, согласно которому модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей.

3.В неравенствах (2) и (4) мы, используя произвол в выборе числа ε, разделили его пополам. Это сделано лишь для того, чтобы в самом конце доказательства, в неравенстве (5) получить справа именно ε, что дает нам далее возможность применить определение 4.1.2.

Предел функции

52

Теорема 4.11.2 (о произведении бесконечно малой и ограниченной функций).

Если функция α(x) является бесконечно малой при x → a, а функция f(x)

ограничена, по крайней мере, при x, близких к a, то произведение этих функций

β(x) = α(x)f(x) является бесконечно малой функцией при x → a.

Доказательство.

Возьмем любое число ε > 0.

По условию теоремы функция f(x) является ограниченной. Согласно определе-

нию 3.6.3 (см. также замечания к нему), существует такое число M > 0, ÷òî

|f(x)| 6 M,	(1)
ïðè x, близких к a.
По условию теоремы функция α(x) является бесконечно малой при	x → a.

Применяя определение 4.3.1, заключаем, что lim α(x) = 0. Согласно определе-

		x→a	δ > 0, ÷òî ïðè âñåõ x,
нию 4.1.2, отсюда следует, что найдется такое число
удовлетворяющих неравенству
0 < |x − a| < δ,			(2)
выполняется неравенство	ε
|α(x)| <
		.	(3)
	M

Считая, что неравенство (2) определяет необходимую для ограниченности функции f(x) меру близости x ê a, мы можем заключить, что неравенства (1) и (3) выполняются одновременно. Отсюда следует, что

|β(x)| = |α(x)f(x)| = |α(x)||f(x)| <	ε
		M = ε.	(4)
	M

Значит, β(x) является бесконечно малой функцией при x → a.

Теорема доказана.

Предел функции

53

Теорема 4.11.3 (о произведении бесконечно малых функций).

Если функции α(x) è β(x) являются бесконечно малыми при x → a, òî èõ

произведение γ(x) = α(x)β(x) также является бесконечно малой функцией при

x → a.

Доказательство.

Мы уже отмечали (см. свойства бесконечно малых на стр. 37) что бесконечно малая при x → a функция ограничена, по крайней мере, при x, близких к a. Поэтому утверждение данной теоремы следует из теоремы 4.11.2.

Теорема доказана.

Сформулируем и докажем теперь две леммы, которые понадобятся нам для доказательства основных теорем о пределах. Леммой называется математическое утверждение, которое носит вспомогательный характер. Чаще всего леммы служат для доказательства теорем.

Лемма 4.11.1.

Åñëè lim f(x) = A, то функцию f(x) можно представить в виде f(x) = A+α(x),

x→a

где функция α(x) является бесконечно малой при x → a.

Доказательство.

Очевидно, что любую функцию f(x) можно представить в виде f(x) = A+α(x).

Для этого достаточно взять α(x) = f(x) − A. В доказательстве нуждается лишь тот факт, что функция α(x) является бесконечно малой при x → a.

Возьмем любое число ε > 0. По условию леммы lim f(x) = A. Согласно опре-

x→a

делению 4.1.2, отсюда следует, что найдется такое число δ > 0,							÷òî ïðè âñåõ
x,		удовлетворяющих неравенству			0 < |x − a| < δ,	выполняется неравенство
|f(x) − A| < ε.
Последнее означает, что функция					α(x) = f(x) − A	удовлетворяет неравенству
|	(	x	)|	< ε. Применяя определение 4.1.2 еще раз, делаем вывод, что			x a
	α						lim α(x) = 0.

→

По определению 4.3.1 отсюда следует, что функция α(x) является бесконечно

малой при x → a.

Лемма доказана.

Предел функции								54
Лемма 4.11.2.
Если функцию f(x)				можно представить в виде			f(x) = A + α(x),	где функция
α	x	)	является бесконечно малой при x		→	a, òî	lim f(x) = A.
(							x→a
Доказательство.
Возьмем любое число				ε > 0.
По условию леммы функция α(x) является бесконечно малой при								x → a. Ïðè-
меняя определение 4.3.1, делаем вывод, что lim α(x) = 0.
						x→a
Согласно определению 4.1.2, отсюда следует, что найдется такое число δ > 0,
÷òî ïðè âñåõ x, удовлетворяющих неравенству							0 < |x − a| < δ,	выполняется

неравенство

|f(x) − A| = |α(x)| < ε.

Применяя определение 4.1.2 еще раз, делаем вывод, что lim f(x) = A.

x→a

Лемма доказана.

Теперь займемся основными теоремами о пределах. Мы будем доказывать их для слу- чая, когда аргументы функций x → a, ãäå a некоторое число, но эти теоремы

справедливы и в случае, когда a = ±∞.

Теорема 4.11.4 (о пределе постоянной).

Если функция f(x) = c (ãäå c = const ) ïðè x, òî lim f(x) = c ïðè a.

x→a

Доказательство.

Возьмем любое число ε > 0.

По условию теоремы f(x) = c ïðè x. Значит, |f(x) − c| = 0 < ε ïðè x.

Применяя определение 4.1.2, заключаем, что lim f(x) = c.

x→a

Теорема доказана.

Предел функции

55

Теорема 4.11.5 (о пределе суммы).

Если существуют конечные пределы функций то

lim f1(x) = A1 è	lim f2(x) = A2,
x→a	x→a

lim[f1	(x) + f2	(x)] = lim f1	(x) + lim f2(x) = A1 + A2,
x→a		x→a	x→a

т. е. предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций.

Доказательство.

Используя лемму 4.11.1, представим функции f1(x) è f2(x) â âèäå

f1(x) = A1 + α1(x), f2(x) = A2 + α2(x),

где функции α1(x) è α2(x) являются бесконечно малыми при x → a.

Тогда сумму функций f1(x) è f2(x) можно записать в виде

f1(x) + f2(x) = A1 + α1(x) + A2 + α2(x) = A1 + A2 + α(x),

где функция α(x) = α1(x) + α2(x) является бесконечно малой при x → a по теореме о сумме бесконечно малых 4.11.1.

Из леммы 4.11.2 тогда следует, что

lim[f1(x) + f2(x)] = A1 + A2	= lim f1	(x) + lim f2(x).
x→a	x→a	x→a

Теорема доказана.

Теорема 4.11.6 (о пределе произведения).

Если существуют конечные пределы функций то

lim f1(x) = A1 è	lim f2(x) = A2,
x→a	x→a

lim[f1	(x)f2	(x)] = lim f1	(x) lim f2(x) = A1A2,
x→a		x→a	x→a

т. е. предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

Доказательство.

является бесконечно малой

Предел функции	56
Используя лемму 4.11.1, представим функции f1(x) è f2(x) â âèäå
f1(x) = A1 + α1(x), f2(x) = A2 + α2(x),
где функции α1(x) è α2(x) являются бесконечно малыми при	x → a.

Тогда произведение функций f1(x) è f2(x) можно записать в виде

f1(x)f2(x) = (A1 + α1(x))(A2 + α2(x)) =

= A1A2 + A1α2(x) + A2α1(x) + α1(x)α2(x) = A1A2 + α(x),

где функция α(x) = A1α2(x) + A2α1(x) + α1(x)α2(x)

ïðè x → a по теоремам 4.11.1 4.11.3. Из леммы 4.11.2 тогда следует, что

lim[f1(x)f2(x)] = A1A2	= lim f1	(x) lim f2(x).
x→a	x→a	x→a

Теорема доказана.

Теорема 4.11.7 (о пределе отношения).

Если существуют конечные пределы функций

причем A2 6= 0, òî

		f1(x)		lim f1(x)
	lim		=	x→a
	x→a f2(x)			lim f2(x)
				x→a

lim f1(x) = A1 è	lim f2(x) = A2,
x→a	x→a

=A1 , A2

т. е. предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя отличен от нуля.

Доказательство.

Используя лемму 4.11.1, представим функции									f1(x) è f2(x) â âèäå
		f1(x) = A1 + α1(x), f2(x) = A2 + α2(x),
где функции α1(x) è α2(x)					являются бесконечно малыми при x → a.
Рассмотрим разность
	f1(x)		A1	=	A1 + α1(x)		A1	=		A2α1(x) − A1α2(x)	.
	f2(x) − A2				A2 + α2(x) − A2					A2[A2 + α2(x)]

Предел функции

57

При значениях x, близких к a, знаменатель этой дроби является ограниченной функцией, которая не обращается в ноль (докажите этот факт самостоятельно). Ее числитель является бесконечно малой функцией при x → a по теореме 4.11.2. Значит, рассматриваемая разность является бесконечно малой функцией при x → a. Следовательно,

lim f1(x) − A1 = 0, x→a f2(x) A2

а поэтому

Теорема доказана.

		f1(x)		A1			lim f1(x)
	lim		=			=	x→a	.
				A2
	x→a f2(x)						lim f2(x)
							x→a

Теорема 4.11.8 (о единственности предела).

Если существуют конечные пределы функции lim f(x) = A1	è lim f(x) = A2, òî
x→a	x→a

A1 = A2, т. е. функция не может стремиться к нескольким различным пределам.

Доказательство.

Используя лемму 4.11.1, представим функцию f(x) â âèäå

f(x) = A1 + α1(x), f(x) = A2 + α2(x),

где функции α1(x) è α2(x) являются бесконечно малыми при x → a.

Рассмотрим разность

A1 − A2 = f(x) − α1(x) − f(x) + α2(x) = α(x),
где функция α(x) = α2(x) − α1(x) является бесконечно малой при x → a.
Из леммы 4.11.2 тогда следует, что lim(A	1 −	A	) = 0. Но разность	A		−	A
x→a		2			1			2

является постоянной, значит, A1 − A2 = 0.

Теорема доказана.

Теорема 4.11.9 (об ограниченности функции, имеющей конечный предел).

Если существует конечный предел функции lim f(x) = A, то функция f(x)

x→a

ограничена, по крайней мере, при x, близких к a.