4	Предел функции	30

Понятие предела функции является достаточно сложным, но обойтись без него невозможно, поскольку пределы используются далее во многих темах, которые входят в курс высшей математики.

4.1. Определение предела функции

Вначале дадим интуитивное, нестрогое определение предела функции.

Определение 4.1.1.

Число A называется пределом функции y = f(x) ïðè x → a (ïðè x, стремящемся к a), если значения f(x) сколь угодно близки к A äëÿ âñåõ x, достаточно близких к a.

Рис. 4.1.1. Когда значение аргумента x приближается к a, точка графика

с координатами (x, f(x)), двигаясь вдоль кривой, приближается к точке графика

с координатами (a, A). Отсюда следует, что ордината f(x) приближается к A.

Значит, число A является пределом функции f(x) ïðè x → a.

Анимация

Предел функции

31

Приведенное выше определение предела функции является не вполне точным, т. к. в нем не определен термин "близость". Дадим теперь строгое математическое определение предела функции, свободное от этого недостатка.

Определение 4.1.2.

Число A называется пределом функции									y = f (x) ïðè x → a (или пределом
в точке x = a),					если для любого числа				ε > 0	найдется такое число δ > 0,
÷òî ïðè âñåõ		x,			удовлетворяющих неравенству					0 < |x − a| < δ, выполняется
неравенство	|	f	(	x	) −	A	|	< ε. В этом случае пишут lim f (x) = A.
										x→a

Замечания.

1.Это определение, строго говоря, также не безгрешно. На самом деле, нужно еще потребовать, чтобы a являлось так называемой "предельной точкой" множества,

на котором функция y = f (x) определена. Мы этот вопрос разбирать не будем.

2.Неравенство 0 < |x − a| означает, всего лишь, что x 6=a. Это позволяет нам применять данное определение и в случае, когда функция f (x) не определена при x = a.

3.В этом определении δ зависит от ε.

Данное нами определение предела является отнюдь не простым. Оно нередко приводит в трепет не только биологов и почвоведов, но и первокурсников мехмата. Тем не менее, разобрать его досконально весьма полезно, поскольку это позволит не только гораздо лучше понимать дальнейшее, но и значительно упростит изучение доказательств теорем, которые даются в данном курсе.

Неравенство |x − a| < δ определяет меру близости значения аргумента x к числу a.

В самом деле, из этого неравенства следует, что −δ < x − a < δ. Последнее, в свою

очередь, равносильно неравенству a−δ < x < a+δ. Если число δ > 0 мало, то отсюда вытекает, что значение аргумента x будет близким к a.

Неравенство |f(x)−A| < ε определяет меру близости значения функции f(x) к числу

A. Из этого неравенства следует, что −ε < f(x) − A < ε, а последнее неравенство равносильно неравенству A − ε < f(x) < A + ε. Согласно нашему определению, число

ε > 0 может быть любым, а значит, оно может быть сколь угодно маленьким. Отсюда следует, что значение функции f(x) будет сколь угодно близким к числу A, если только значение аргумента x окажется достаточно близким к числу a.

Предел функции	32
Пример.
Здравый смысл подсказывает, что	lim(x+3) = 5, поскольку значение f(x) = x+3
	x→2
приближается к числу f(2) = 5,	когда x → 2.

Строгое доказательство этого факта с использованием определения 4.1.1 представляет, однако, уже существенно более трудную задачу. От студентов биофака преподаватели обычно не требуют умения проводить такие доказательства.

Опираясь на здравый смысл и знание формул элементарной математики ( см. главу 11, стр. 165), легко найти и следующие пределы.

lim

x3 − 5x + 1

=

1

,

lim

1 + 2 sin x2

=

4

.

x→2

4x + 1

−

9

x→π3

1 + √3 cos x2

5

В этих примерах, отыскивая предел lim f(x) = A, мы легко убеждались, что A = f(a).

x→a

Заметим, что столь простой способ вычисления предела функции f(x) ïðè x → a применим лишь в случае, когда функция определена и непрерывна ( см. главу 5, стр. 64) в точке x = a. Если функция этим свойством не обладает, то задача вычисления предела существенно усложняется. Этот вопрос рассматривается в разделах 4.6 4.10.

Найти предел функции можно отнюдь не всегда, поскольку он может и не существовать.

Примеры.

		lim	√						не существует, т. к. при x, близких к	, подкоренное значение функ-
	1.				x
		öèèx 5								−5
		→−	√x будет отрицательным.
	2.	lim sin				1
						x2			не существует, т. к. периодическая функция не может стремиться
		x→0
		к определенному значению, когда ее аргумент неограниченно растет, а именно

это и происходит, когда x → 0.

4.2. Обобщения понятия предела функции

В определении предела функции, которое мы дали в предыдущем разделе, a è A

являются числами. Понятие предела обобщается и на случай, когда a = ±∞ èëè

Предел функции

33

A = ±∞. Такую запись следует понимать как некоторую условность: достичь бесконечности нельзя, к ней какая-либо величина может лишь стремиться.

Замечание.

Употребление перед символом ∞ двух знаков подразумевает, что величина может стремиться по отдельности либо к +∞, ëèáî ê −∞. Это соглашение распространяется и на случай, когда знак перед символом ∞ отсутствует.

Определение 4.2.1.

Число

A

называется пределом функции

f (x) ïðè x → +∞,

åñëè äëÿ ëþáî-

ãî ε > 0

найдется такое число M > 0, ÷òî ïðè âñåõ

x > M выполняется

неравенство

f

x

) −

A

|

< ε. В этом случае пишут

lim

f

(

x

) =

A.

| (

x→+∞

Определение 4.2.2.

Число

A

называется пределом функции

f (x) ïðè x → −∞,

åñëè äëÿ ëþáî-

ãî ε > 0

найдется такое число M > 0, ÷òî ïðè âñåõ

x < −M выполняется

неравенство

|f (x) − A| < ε. В этом случае пишут

x lim

f (x) = A.

→−∞

Определение 4.2.3.

Говорят, что предел функции

f (x) ïðè

x → a

равен

+∞,

если для любого

сколь угодно большого числа

M > 0

найдется такое число

δ > 0, ÷òî ïðè

âñåõ x, удовлетворяющих неравенству

0 < |x −a| < δ, выполняется неравенство

f (x) > M. В этом случае пишут lim f (x) = +

∞

.

x→a

Определение 4.2.4.

Говорят, что предел функции

f (x) ïðè

x → a

равен

−∞,

если для любого

сколь угодно большого числа

M > 0

найдется такое число

δ > 0, ÷òî ïðè

âñåõ x, удовлетворяющих неравенству

0 < |x −a| < δ, выполняется неравенство

f (x) <

−

x→a

−∞

M. В этом случае пишут lim f (x) =

.

Случай, когда одновременно a = ∞ è A = ∞, мы предоставляем студентам рассмотреть самостоятельно.

Предел функции

34

Замечания.

1.В определении 4.2.1 условие x > M означает, что значения аргумента x должны быть достаточно велики.

2.В определении 4.2.2 условие x < −M означает, что значения аргумента x должны быть отрицательны и достаточно велики по абсолютной величине.

3.В определениях 4.2.3 условие f(x) > M означает, что при значениях аргумента

x, достаточно близких к a, значения функции должны быть положительны, при этом они могут быть сколь угодно велики.

4.В определениях 4.2.4 условие f(x) < −M означает, что при значениях аргумента

x, достаточно близких к a, значения функции должны быть отрицательны, при этом они могут быть сколь угодно велики по абсолютной величине.

x	+	x a	∞		x	lim f (x) =	−∞	.
Рис. 4.2.1. Здесь	lim f (x) = A,	lim f (x) =		è
	→ ∞	→				→−∞

Иллюстрацией к рассматриваемому случаю, когда a = ±∞ èëè A = ±∞, могут

служить следующие примеры, для решения которых требуется лишь знать, что дробь убывает, когда ее знаменатель растет, и наоборот она растет, когда знаменатель убывает.

Примеры.

1. lim 5 = 0.

x→+∞ x

2. lim 5 = 0.

x→−∞ x

Предел функции

35

3. lim 5 = +∞.

x→0 x2

4. lim −5 = −∞.

x→0 x2

5. lim 5

x→0 x3 не существует.

В пояснениях нуждается лишь последний пример. Мы не знаем, с какой стороны x

стремится к 0. Если справа (x > 0), то дробь окажется положительной, а если слева

(x < 0), то отрицательной. Это означает, что предел данной дроби при x → 0 íå

существует, но можно говорить о существовании односторонних пределов. В рассматриваемом примере существуют оба таких предела:

lim			5	= +∞	(предел справа),		5	= −∞	(предел слева).
						xlim0 x3
x	→	+0 x3
						→−

Мы не будем давать строгое определение интуитивно ясного, как нам представляется, понятия одностороннего предела, отметив только, что обозначения

A = lim f(x) èëè A = f(a + 0)

x→a+0

используются для предела справа, а обозначения

A = lim f(x) èëè A = f(a − 0)

x→a−0

используются для предела слева.

Можно доказать, что "обычный" (не односторонний) конечный или бесконечный пре-

дел функции lim f(x) = A существует тогда и только тогда, когда существуют и сов-

x→a

падают оба односторонних предела этой функции: lim f(x) = lim f(x) = A.

x→a+0 x→a−0

Рис. 4.2.2. Достичь бесконечности нельзя, к ней величина может лишь стремиться.