Производная функции

77

Рис. 6.2.2. Геометрический смысл производной.

Замечание.

Угол наклона касательной должен отсчитываться от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

6.3. Механический смысл производной

В механике (это один из разделов физики) широко используется понятие мгновенной скорости движущегося объекта. Это понятие вводится следующим образом. Рас-

смотрим материальную точку, которая двигается с переменной скоростью V (t) вдоль

некоторой прямой и проходит за время t ïóòü S(t).

Дадим текущему значению времени t приращение 4t. Тогда путь S(t) также полу-

чит приращение, которое определяется по формуле 4S = S(t + 4t) − S(t). Значение

дроби

4S

4t

представляет собой среднюю скорость движения точки от момента времени t äî ìî-

мента t + 4t. Предел этого отношения при 4t → 0 и называется мгновенной скоро-

стью точки в момент времени t.

Производная функции

78

Применяя далее определение производной 6.1.1, приходим к выводу, что мгновенная скорость точки в момент времени t равна производной пути по времени, т. е.

V (t) = lim 4S = S 0(t).

4t→0 4t

Замечание.

Аналогичные соображения можно использовать и в других науках. Так, например, считая, что в биологии численность некоторой популяции с течением времени

меняется по закону N(t), причем значения этой функции являются вещественными числами, мы можем заключить, что мгновенная скорость изменения численности данной популяции с течением времени меняется по закону V (t) = N 0(t).

В этой модели мы не можем считать целочисленными значения функции N(t), поскольку это лишило бы нас возможности искать производную данной функции. Именно поэтому мы предполагаем, что значения функции N(t) являются вещественными числами.

Рис. 6.3.1. Слишком большие значения производной пути по времени на дорогах опасны.

Производная функции

79

6.4. Основные теоремы о производных

Покажем сначала, что из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке.

Теорема 6.4.1 (о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции).

Если функция y = f(x) в точке x имеет конечную производную, то в этой точке данная функция непрерывна.

Доказательство.

Рассмотрим тождество:

4f = 44fx4x

и перейдем в нем к пределу при 4x → 0. Получим:

lim 4f = lim 4f · lim 4x = f 0(x) · 0 = 0.

4x→0 4x→0 4x 4x→0

Таким образом, приращение функции 4f в точке x является бесконечно ма-

лой величиной при 4x → 0, а это, согласно определению 5.2.1 (ñì. ñòð. 65),

доказывает непрерывность функции f(x) в точке x.

Теорема доказана.

Замечание.

Из этой теоремы следует, что непрерывность функции является необходимым условием существования конечной производной этой функции. А вот достаточ- ным это условие не является: непрерывность функции в некоторой точке не гарантирует ее дифференцируемости в этой точке. Примером здесь может служить

функция f(x) = |x|, которая непрерывна в точке x = 0, но ее производная в этой точке не существует (см. пример 6.1.3 íà ñòð. 75).

Сформулируем и докажем теперь серию теорем, которые широко используются при решении примеров на отыскание производных.

Производная функции											80
Теорема 6.4.2 (о производной постоянной).
Åñëè f(x)	≡	c, ãäå	c = const,	òî f 0(x)			≡	0, т. е. производная постоянной равна
íóëþ.
Доказательство.
В самом деле, пусть			f(x) = c	äëÿ âñåõ x				из области определения данной функ-
ции. Тогда и		f(x + 4x) = c,		а значит,				4f			= f(x + 4x) − f(x) = c − c = 0.
Следовательно,					4f		0
						=				= 0
при любых 4x 6= 0,					4x		4x
			а поэтому
			f 0(x) = lim						4f		= 0.
						4x→0 4x

Теорема доказана.

Теорема 6.4.3 (о производной суммы функций).

Если функции u(x) è v(x) дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем ее производная находится по формуле

[u(x) + v(x)] 0 = u 0(x) + v 0(x).

Доказательство.

Обозначим f(x) = u(x) + v(x). Тогда

4f = f(x + 4x) − f(x) =

=[u(x + 4x) + v(x + 4x)] − [u(x) + v(x)] =

=[u(x + 4x) − u(x)] + [v(x + 4x) − v(x)] = 4u + 4v.

Теперь уже нетрудно убедиться, что

	f 0(x) = lim	4f	= lim	4u + 4v	= lim	4u	+ lim	4v	= u 0(x) + v 0(x).
		4x		4x		4x		4x
	4x→0		4x→0		4x→0		4x→0

Теорема доказана.

v2(x)

Производная функции

81

Замечания.

1.Этот результат без труда распространяется на любое конечное число слагаемых.

2.Легко доказать и аналогичную теорему для разности двух функций.

Теорема 6.4.4 (о производной произведения функций).

Если функции u(x) è v(x) дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемо и их произведение, причем его производная находится по формуле

[u(x)v(x)] 0 = u 0(x)v(x) + u(x)v 0(x).

Доказательство.

Обозначим f(x) = u(x)v(x). Тогда

4f = f(x + 4x) − f(x) = u(x + 4x)v(x + 4x) − u(x)v(x) =

= [u(x) + 4u] [v(x) + 4v] − u(x)v(x) = v(x)4u + u(x)4v + 4u4v.

Теперь уже нетрудно убедиться, что

	f 0(x) = lim	4f	= v(x) lim
		4x
	4x→0		4x→0

= v(x)u 0(x) + u(x)v 0(x) +

	4u	+ u(x) lim	4v	+ lim	4u	4	v =
	4x		4x		4x
		4x→0		4x→0

u 0(x) · 0 = u 0(x)v(x) + u(x)v 0(x).

Теорема доказана.

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cf(x))0 = c 0f(x) + cf 0(x) = cf 0(x), åñëè c = const.

Теорема 6.4.5 (о производной отношения функций).

Если функции u(x) è v(x) дифференцируемы в точке x è v(x) 6= 0, то в этой точке дифференцируемо и их отношение, причем его производная находится по

формуле

0

0(

0(

u(x)

u

x

v x

u x

v

x

=

)

( ) −

( )

)

.

v(x)

Производная функции

82

Доказательство.

Обозначим f(x) =

u(x)

. Тогда

v(x)

f = f(x +

x)

f(x) =

u(x + 4x)

u(x)

=

4

4

−

v(x + 4x) − v(x)

=

u(x) + 4u

u(x)

=

v(x)4u − u(x)4v

.

v(x) + 4v

− v(x)

v(x) [v(x) + 4v]

Теперь уже нетрудно убедиться, что

4f

v(x) lim

4u

−

u(x) lim

4v

v(x)u 0(x) − u(x)v 0(x)

4x

4x

f 0(x) = lim

=

4x→0

4x→0

=

.

4x→0

4x

v2(x)

v2(x)

Теорема доказана.

Теорема 6.4.6 (о производной сложной функции).

Пусть заданы функции y = f(z) è z = g(x), причем функция y = f(z) дифференцируема в точке z, а функция z = g(x) дифференцируема в точке x. Тогда

сложная функция y = f(g(x)) = F (x) дифференцируема в точке x, причем ее производная находится по формуле

F 0(x) = f 0(z)g 0(x).

Эту формулу можно записать и в следующем виде:

y 0x = y 0z z 0x.

Здесь нижний индекс указывает, по какой переменной производится дифференцирование.

Доказательство.

По определению производной

f 0(z) = y 0z = lim 4y ,

4z→0 4z

g 0(x) = z 0x = lim 4z .

4x→0 4x

Но тогда

4y

4z

f 0(z)g 0(x) = y z0 z x0 = lim

lim

=

4x

4z→0 4z

4x→0

= lim lim

4y

4z

= lim

4y

= y x0

= F 0(x).

4

4z→0 4x→0

4

z

4

x 4x→0

x

Теорема доказана.

Производная функции

83

Замечание.

В формулировке и доказательстве этой теоремы мы опустили ряд довольно тонких моментов, связанных с областями определения и множествами значений функций, о которых идет речь.

Теорема 6.4.7 (о производной обратной функции).

Пусть функции y = f(x) è x = g(y) являются взаимно обратными (g = f−1). Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в точке x è f 0(x) 6= 0,

а функция x = g(y) дифференцируема в точке y è g 0(y) 6= 0. Тогда производные этих функций связаны соотношением

f 0(x) g 0(y) = 1.

Эту формулу можно записать и в следующем виде:

y 0x x 0y = 1.

Здесь нижний индекс указывает, по какой переменной производится дифференцирование.

Доказательство.

По определению производной (см. определение 6.1.1 íà ñòð. 73)

f 0(x) = y x0 = lim			4y		,	g 0(y) = x y0	= lim		4x	.
Но тогда	4x→0		4x				4y→0		4y
f 0(x) g 0(y) = y x0 x y0 = lim	4y	lim		4x		= lim lim	4y	4x	= lim lim 1 = 1.
				4y			4x 4y
4x→0	4x 4y→0					4x→0 4y→0			4x→0 4y→0

Теорема доказана.

Замечание.

Как и в предыдущей теореме, несколько тонких моментов мы здесь опустили.