7 |
Приложения производной |
107 |
|
|
|
Применения производных в самых различных разделах математики и многих других науках весьма широки и разнообразны. В этом учебнике мы рассмотрим лишь очень ограниченный круг вопросов, связанных с использованием производных для исследования поведения функций, построения графиков, раскрытия неопределенностей при
вычислении пределов и приближенного решения уравнений вида f(x) = 0.
7.1. Возрастание и убывание функции
Одним из важнейших приложений производной является ее применение к исследованию поведения функции.
Пусть функция y = f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки x0 (ñì. îïðå- деление 3.2.2 на стр. 21). Возьмем такое число h > 0, чтобы значения аргумента
x = x0 + h è x = x0 − h не выходили из окрестности точки x0.
Определение 7.1.1.
Функция f(x) называется возрастающей в точке x0, если при любом достаточно малом h > 0 выполняется условие f(x0 − h) < f(x0) < f(x0 + h).
Рис. 7.1.1. Эта функция возрастает в точке x0.
Приложения производной |
108 |
Определение 7.1.2.
Функция f(x) называется убывающей в точке x0, если при любом достаточно малом h > 0 выполняется условие f(x0 − h) > f(x0) > f(x0 + h).
Рис. 7.1.2. Эта функция убывает в точке x0.
Определение 7.1.3.
Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на интервале (a, b), если она возрастает (убывает) в каждой внутренней точке этого интервала.
Определение 7.1.4.
Функция f(x) называется монотонной на интервале (a, b), если она на этом интервале является либо возрастающей, либо убывающей.
Замечания.
1.Если в определении 7.1.1 строгие неравенства f(x0 − h) < f(x0) < f(x0 + h)
заменить нестрогими f(x0 − h) 6 f(x0) 6 f(x0 + h), то получится определение неубывающей функции.
2.Если в определении 7.1.2 строгие неравенства f(x0 − h) > f(x0) > f(x0 + h)
заменить нестрогими f(x0 − h) > f(x0) > f(x0 + h), то получится определение невозрастающей функции.
Приложения производной |
109 |
3.Не следует думать, что функция всегда либо возрастает, либо убывает в каждой фиксированной точке x0. Так, например, функция f(x) = const остается
постоянной при любом x, а значит, она не возрастает и не убывает ни в одной точке.
4.Определения, которые мы сформулировали, позволяют судить о возрастании или
убывании функции лишь во внутренних точках ее области определения. Если, например, функция определена на отрезке [a, b], то при любом h > 0 значения аргумента a − h è b + h выходят за границы области определения функции, а значит, проверить выполнение условий определений 7.1.1 и 7.1.2 в точках x = a
è x = b невозможно. Эти определения допускают обобщения, позволяющие во
многих случаях судить о возрастании и убывании функции и на границах отрезков. Заниматься этим вопросом мы, тем не менее, не будем, стремясь максимально упростить изложение данного вопроса.
5.Наш подход к исследованию возрастания и убывания функций несколько отлича- ется от того, который обычно используется в школьном курсе элементарной математики. Мы предпочитаем начинать с локального анализа поведения функции, говоря сначала о ее возрастании или убывании в некоторой точке. Это позволяет легко перейти к оценке поведения функции на интервале, опираясь на локальный анализ ее поведения в каждой внутренней точке данного интервала. В школе же нередко сразу начинают изучать возрастание и убывание функции на интервале, совершенно не рассматривая вопрос о ее поведении в отдельных точках интервала. Отличие это, впрочем, носит скорее методологический характер, поскольку правильными являются оба подхода.
Рассмотрим теперь теоремы, показывающие связь поведения функции f(x) â íåêî-
торой точке x0 со знаком ее производной в этой точке. Мы будем предполагать, что в этой точке функция является дифференцируемой, т. е. имеет конечную производную.
Сначала мы сформулируем и докажем две теоремы, одна из которых дает необходимое, а другая достаточное условие возрастания функции в некоторой точке.
Теорема 7.1.1 (необходимое условие возрастания).
Если функция f(x) возрастает в точке x0, òî f 0(x0) > 0.
Доказательство.
Приложения производной |
110 |
Рассмотрим приращение 4f = f(x0 + 4x) − f(x0) функции f(x) в точке x0, |
|
соответствующее приращению аргумента |
4x. |
Пусть для определенности 4x > 0. Тогда |
x0 + 4x > x0. Из возрастания функ- |
öèè f(x) в точке x0 тогда следует, что ее приращение 4f > 0. Но тогда и |
|
4f
4x > 0.
Переходя в этом неравенстве к пределу при 4x → 0, получаем
f 0(x0) = lim 4f > 0.
4x→0 4x
Теорема доказана.
Теорема 7.1.2 (достаточное условие возрастания).
Åñëè f 0(x0) > 0, то функция f(x) в точке x0 возрастает.
Доказательство.
По условию теоремы
f 0(x0) = lim 4f > 0.
4x→0 4x
Это означает (см. п. 4.5, стр. 39), что при всех достаточно маленьких значениях приращения аргумента 4x выполняется неравенство
|
4f |
> 0. |
(1) |
|
4x |
||
Åñëè |
4x > 0, то из (1) следует, что 4f = f(x0 + 4x) − f(x0) > 0. Обозначив |
||
через |
h = |4x|, получаем отсюда неравенство |
|
|
|
f(x0 + h) > f(x0). |
(2) |
|
Åñëè |
4x < 0, то из (1) следует, что 4f = f(x0 + 4x) − f(x0) < 0. Отсюда, как |
||
легко видеть, следует неравенство |
|
||
|
f(x0 − h) < f(x0). |
(3) |
|
Из неравенств (2) и (3), согласно определению 7.1.1, вытекает, что в точке |
x0 |
||
функция f(x) является возрастающей. |
|
||
Теорема доказана.
Приложения производной |
111 |
Теперь сформулируем аналогичные теоремы, дающие условия убывания функции в некоторой точке.
Теорема 7.1.3 (необходимое условие убывания).
Если функция f(x) убывает в точке x0, òî f 0(x0) 6 0.
Теорема 7.1.4 (достаточное условие убывания).
Åñëè f 0(x0) < 0, то функция f(x) в точке x0 убывает.
Доказательства теорем 7.1.3 и 7.1.4 почти дословно повторяют соответственно доказательства теорем 7.1.1 и 7.1.2. Мы предлагаем читателям провести их самостоятельно.
Замечания.
1.Обратите внимание на то, что в теоремах 7.1.1 и 7.1.3 неравенства для производных не строгие, а в теоремах 7.1.2 и 7.1.4 строгие. Это связано с тем, что случай,
когда производная в некоторой точке x0 обращается в ноль, является особым
(критическим). Без дополнительных исследований про поведение функции в такой критической точке ничего сказать нельзя. В такой точке функция может, как возрастать или убывать (см. рис. 7.1.3), так и иметь экстремум ( ñì. ï. 7.2, ñòð.
115). Возможна также и вырожденная ситуация, когда функция f(x) = const
в некоторой окрестности точки x0.
2.Не следует думать, что исследовать возрастание и убывание можно только в слу- чае дифференцируемых функций. В определениях 7.1.1 и 7.1.2 про дифференцируемость ничего не говорится. Просто доказанные нами теоремы применимы только к дифференцируемым функциям, а изучение других методов исследования возрастания и убывания функций выходит за рамки изучаемого нами курса.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих применение рассмотренных выше теорем.
Пример 7.1.1.
Функция f(x) = x возрастает при любом x, поскольку ее производная f 0(x) = 1 положительна.
Приложения производной |
112 |
Пример 7.1.2. |
|
Функция f(x) = x2 возрастает при |
x > 0 и убывает при x < 0, поскольку ее |
производная f 0(x) = 2x. В точке x = 0 эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей.
Рис. 7.1.3. Графики функции y = −x3 (слева) и y = x3 (справа).
Первая из них убывает при x, а вторая возрастает, но и в том, и в другом случае производная
равна нулю в точке x0 = 0.
Пример 7.1.3.
Функция f(x) = ax определена при любом |
x. Ее производная f 0(x) = ax ln a. |
||
Åñëè a > 1, |
òî ln a > 0, |
значит, f 0(x) > 0 |
и функция является возрастающей |
при любом |
x. Åñëè æå |
0 < a < 1, òî ln a < 0, значит, f 0(x) < 0 и функция |
|
является убывающей при любом x.
Пример 7.1.4.
Функция f(x) = loga x определена при любом x > 0. Она имеет производную
1 . x ln a
Åñëè a > 1, òî ln a > 0, значит, f 0(x) > 0 и функция является возрастающей
всюду, где она определена. Если же 0 < a < 1, òî ln a < 0, значит, f 0(x) < 0 и функция является убывающей всюду, где она определена.
Приложения производной |
113 |
Пример 7.1.5.
Функции f(x) = tg x è f(x) = ctg x имеют следующие производные
(tg x) 0 = |
1 |
|
(ctg x) 0 |
1 |
|
|
|
> 0 è |
= − |
|
< 0. |
||
cos2 x |
sin2 x |
|||||
Поэтому первая из них возрастает, а вторая убывает всюду в своей области определения.
Пример 7.1.6.
Требуется найти области возрастания и убывания функции f(x) = x3 − 3x + 5.
Ее производная f 0(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Решая неравенство f 0(x) > 0, приходим на основании теоремы 7.1.2 к выводу, что данная функция возрастает, когда x (−∞, −1) (1, +∞). Решая неравенство f 0(x) < 0, приходим на осно-
вании теоремы 7.1.4 к выводу, что данная функция убывает, когда x (−1, 1).
Сделать какие-либо выводы о поведении этой функции при x = 1 è x = −1, îïè-
раясь лишь на уже доказанные нами теоремы, мы не можем, поскольку в этих точках ее производная обращается в ноль. Но, забегая несколько вперед, отметим, что в этих двух критических точках рассматриваемая функция имеет экстремумы (ñì. ï. 7.2, стр. 115). Ее график изображен на рис. 7.1.4.
Рис. 7.1.4. График функции y = x3 − 3x + 5.
Приложения производной |
114 |
Пример 7.1.7.
Требуется исследовать функцию f(x) = x3 − 12x − 2 на возрастание и убы-
вание. Ее производная f 0(x) = 3x2 − 12 = 3(x2 − 4) = 3(x − 2)(x + 2). Ðå-
шая неравенство f 0(x) > 0, заключаем, что данная функция возрастает, когда
x (−∞, −2) (2, +∞). Решая неравенство f 0(x) < 0, заключаем, что данная
функция убывает, когда x (−2, 2). Полученные результаты удобно представить в виде следующей схемы.
На ось абсцисс здесь нанесены точки, в которых производная f 0(x) обращается в ноль. Выше оси показаны знаки производной, а ниже характер поведения функции: возрастание изображается стрелкой %, а убывание стрелкой & .
Пример 7.1.8.
Дана функция f(x) = x3 −3x2, а также точки x = −1; x = 0, 5; x = 1 è x = 3. Требуется установить, в каких из них функция возрастает, а в каких убывает. Производная данной функции f 0(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2). Легко видеть, что
f 0(−1) = 9; f 0(0, 5) = −2, 25; f 0(1) = −3 è f 0(3) = 9. Следовательно, в точках
x = −1 è x = 3 данная функция возрастает, а в точках x = 0, 5 è x = 1 она убывает.
Пример 7.1.9.
Требуется исследовать возрастание и убывание функции f(x) = 1 − √x. Эта функция определена при x > 0, а вот ее производная
f 0(x) = 1
−2√x
определена лишь при x > 0, причем всюду в этом интервале она отрицательна. Отсюда следует, что при x > 0 рассматриваемая функция убывает, а о ее поведении в точке x = 0 мы ничего сказать не можем.