Функция |
27 |
задают одну и ту же зависимость. Если же мы захотим для обратной функции ввести переобозначение, заменив x íà y и наоборот, то график обратной функции, как не
трудно догадаться, получится отражением графика исходной функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (см. рис. 3.8.1).
3.9. Неявная функция
Строгое определение неявной функции в самом начале изучения курса высшей математики мы дать не можем, поскольку оно требует знания некоторых вопросов, которые будут рассмотрены гораздо позже. Ограничимся поэтому лишь неформальными и не очень точными рассуждениями и объясним понятие неявной функции на примере.
Предположим, что у нас имеется некоторая зависимость между двумя переменными
величинами x è y, заданная, скажем, формулой y3 − x2 |
= 0. |
||
|
√3 |
|
. |
формулу как уравнение для определения y, получим y = |
x2 |
||
Рассматривая эту
В такой ситуации
говорят, что данная формула определяет неявную функцию y = f(x), которую можно записать в явном виде.
В общем случае далеко не всякая зависимость между двумя переменными величинами определяет неявную функцию. Может оказаться, что она не существует или существует, но ее нельзя представить в аналитическом виде. Даже в приведенном нами примере, который выглядит вполне элементарным, нас подстерегает проблема, если мы попы-
таемся найти из рассматриваемого уравнения неявную функцию x = g(y). Â ýòîì
p
случае мы приходим к зависимости x = ± y3, которую мы не можем считать функ-
цией, иначе получилось бы, что для нее одному значению аргумента y соответствуют
два значения функции x, что противоречит определению 3.2.1.
3.10. Однозначная и многозначная функция
Давая определение функции, мы потребовали, чтобы каждому значению независимой переменной x соответствовало единственное значение зависимой переменной y. Ýòî
позволяет нам в дальнейшем не делать массу оговорок в формулировках теорем о различных свойствах функций, их пределов, производных и т. д. Это значительно упрощает изложение материала, а значит, и восприятие его студентами. Такие функции называются однозначными.
Функция |
28 |
На самом деле это требование можно убрать и рассматривать многозначные функции, у которых каждому значению x может соответствовать одно или несколько значений
y. Мы, однако, такие функции изучать не будем.
3.11. Рекомендации
Студентам, испытывающим серьезные трудности при изучении курса высшей математики, рекомендуется в первую очередь разобрать следующие вопросы.
1.Определение функции.
2.Область определения и множество значения функции.
3.Ограниченная функция.
4.Суперпозиция функций.
3.12. Вопросы для самоконтроля
1.Дать определение функции.
2.Что такое область определения и множество значений функции?
3.Дать определение четной функции.
4.Дать определение нечетной функции.
5.Дать определение периодической функции.
6.Дать определение ограниченной функции.
7.Дать определение суперпозиции функций.
8.Дать определение обратной функций.
9.Чем однозначная функция отличается от многозначной?
10.Привести пример функции, которая не определена в точке x = 0.
11.Привести пример функции, которая не определена в точках x = −1 è x = 1.
Функция |
29 |
12.Привести пример четной функции.
13.Привести пример нечетной функции.
14.Привести пример функции, которая не является четной или нечетной.
15.Привести пример ограниченной на отрезке [−1, 1] функции.
16.Привести пример суперпозиции функций.