2.5. Импульс, момент импульса.
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ СОХРАНЕНИЯ
Уравнения движения (1.2), (2.2) определяют закон изменения импульса материальной точки, из которых следует, что если , то вектор импульса точки где - постоянный вектор. Это утверждение носит характер теоремы. Так как - трехмерный вектор, то в случае равенства нулю всех трех компонент силы остаются неизменными во время движения все три проекции импульса на неподвижные оси. Однако из (1.2) следует также, что в случае равенства нулю какой-либо проекции силы на неподвижную ось соответствующая проекция импульса сохраняется. Функции
(19.2)
являются тремя первыми независимыми интегралами движения. Найдем векторное произведение , где - радиус-вектор точки. Из (1.2) получим
,
или
, (21.2)
где - момент импульса точки, а - момент силы. Уравнение (21.2) определяет закон изменения момента импульса точки со временем. Из (21.2) следует теорема:
Если вектор момента силы в любой момент времени равен нулю , то момент импульса точки не изменяется во время движения, т. е. , или по компонентам .
В случае равенства нулю какой-либо проекции момента силы соответствующая проекция момента импульса будет оставаться постоянной. Компоненты вектора по декартовым осям
. (22.2)
Из (6.1) и (22.2) видно, что , где - секторная скорость точки. Поставим общий вопрос: в каких случаях , т. е. когда является интегралом движения? Оказывается, это будет в двух случаях: 1) ; 2) . Первый случай тривиален, так как на точку не действуют силы. Во втором случае линия действия параллельна (или антипараллельна) радиус-вектору частицы и проходит через некоторую неподвижную точку-центр силы. Очевидно, центр силы находится в начале координат. Тогда . Силы вида называются центральными.
Таким образом, момент импульса точки относительно центра силы сохраняется. Однако между тремя проекциями момента импульса имеется зависимость, так как
, (23.2)
. (24.2)
Аналогично
(25.2)
Но если , то , и, следовательно
. (26.2)
Из (26.2) видим, что под действием центральной силы точка движется по плоской траектории, плоскость которой проходит через центр силы и перпендикулярна постоянному моменту импульса точки.
Заметим, что существование зависимостей (24.2), (25.2) связано с невозможностью решения системы линейных уравнений
(27.2)
как относительно (при фиксированных ), так и относительно (при фиксированных ). Легко проверить, что функциональный определитель этой системы равен нулю.
Вычислим скалярное произведение векторов и , умножая (2.2) скалярно на вектор :
. (28.2)
Левая часть (28.2) равна полной производной по t от кинетической энергии точки
. (29.2)
Правая часть (28.2) равна мощности силы. Рассмотрим случай потенциальной силы. Силу называют потенциальной, если она зависит только от координат и времени и удовлетворяет векторному уравнению
. (30.2)
Если (30.2) выполняется, то можно представить в виде
, (31.2)
скалярную функцию U называют потенциальной энергией точки. Пусть и не зависят от явно. Используя (31.2), представим в виде
. (32.2)
Выражая из (29.2) и подставляя полученное, а также (32.2) в (28.2), находим
. (33.2)
Здесь - элементарная работа потенциальной силы, т. е.. Так как и являются в данном случае полными дифференциалами, то
, (34.2),
т. е.
. (35.2)
Мы получили закон сохранения полной механической энергии точки, которая определяется как сумма ее кинетической и потенциальная энергии. Если и зависят явно от , то
. (36.2)
Выражая отсюда и подставляя в (28.2), получим
. (37.2)
Это закон изменения полной механической энергии точки, движущейся в поле потенциальной силы.
В задачах механики помимо потенциальных сил рассматривают также диссипативные и гироскопические силы. Диссипативная сила направлена всегда противоположно скорости тела относительно среды, вызывающей торможение тела:
, (38.2)
причём в общем случае является положительной скалярной функцией координат и скорости точки. Гироскопическая сила представима в виде
, (39.2)
где - скорость точки. Из (39.2) следует, что вектор ортогонален вектору скорости, т. е. . Если и , то эти силы нужно учитывать в уравнениях движения. В частности, закон изменения полной энергии точки при наличии потенциальных, гироскопических и диссипативных сил имеет вид
. (40.2)
1Здесь мы имеем в виду силы, которые возникают в результате фундаментальных взаимодействий: ядерных (сильных), электромагнитных или гравитационных.
2Прекрасное изложение темы ИСО можно найти в книгах:ВейнбергС. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975,ЛогуновА. А. Лекции по теории относительности и гравитации. М.: Изд-во МГУ, 1985. Здесь мы во многом следуем этим работам.
3Пространства, в которых квадрат расстояния между точками, характеризуемыми радиус-векторами, определяется формулой
называют евклидовыми.