- •11.Вероятность появления хотя бы одного события.
- •32. Понятие двумерной случайной величины и закон ее распределения.
- •45.Выборочная дисперсия и ее свойства;
- •48.Точечная оценка математического ожидания
- •49.. Точечная оценка для дисперсии
- •50. Несмщенная точечная оценка генеральной совокупности.
- •53. Интервальная оценка мат.Ожидания
- •56- Методика проверки статистических гипотез
- •57. Критерий согласия Пирсона
- •58. Критерий согласия Колмагорова
- •59. Системы массового обслуживания.
- •60. Основные понятия теории графов.
57. Критерий согласия Пирсона
Критерий согласия Пирсона (χ2) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределенияпредполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.
Использование критерия χ2 предусматривает разбиение размаха варьированиявыборкина интервалы и определения числа наблюдений (частоты) nj для каждого из e интервалов. Для удобства оценокпараметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.
Число интервалов зависит от объема выборки. Обычно принимают: при n = 100 e = 10 ÷ 15, при n = 200 e = 15 ÷ 20, при n = 400 e = 25 ÷ 30, при n = 1000 e = 35 ÷ 40.
Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними. Однако, если число таких интервалов составляет менее 20 % от их общего количества, допускаются интервалы с частотой nj ≥ 2.
Статистикой критерия Пирсона служит величина , (3.91) где pj - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x). При вычислении вероятности pj нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.
Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле (3.91) величины с критическим значением χ2α, найденным по табл. VIприложения для уровня значимости α и числа степеней свободы k =e1 - m - 1. Здесь e1 - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Если выполняется неравенство χ2 ≤ χ2α (3.92) то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.
Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию χ2 другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).
Критерий согласия Пирсона – один из основных:где k – число групп, на которые разбито эмпирическое распределение,– наблюдаемая частота признака в i-й группе,– теоретическая частота.
58. Критерий согласия Колмагорова
Критерий Колмогорова l основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами и частостями эмпирических и теоретических распределений: или, где D и d – соответственно максимальная разность между накопленными частотамии накопленными частостямиэмпирического и теоретического рядов распределений; N – число единиц совокупности. Рассчитав значение l, по таблице Р(l) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Вероятность Р(l) может изменяться от 0 до 1. При Р(l)=1 происходит полное совпадение частот, Р(l)=0 – полное расхождение. Если l принимает значения до 0,3, то Р(l)=1. Основное условие использования критерия Колмогорова – достаточно большое число наблюдений.
Критерий согласия Колмогорова
Последовательность действий при проверке гипотезы о законе распределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая.
1. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения F*(x), где эмпирическая функция распределения определяется формулой
2. По виду графика F*(x) выдвинуть гипотезу:
, ,
где F0(x) – функция гипотетического закона распределения.
3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения.
4. Рассчитать 10−20 значений функции F0(x) и построить ее график в одной системе координат с функцией F*(x).
5. По графику определить максимальное отклонение по модулю между
функциями F*(x) и F0(x).
.
6. Вычислить значение критерия Колмогорова
.
7. Из таблицы распределения Колмогорова выбрать критическое значение , здесь α – заданный уровень значимости (α = 0,05 или 0,01).
8. Если λ > λγ , то нулевая гипотеза H0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.