Глава 1 Математические и алгоритмические основы решения задачи

1.1 Решение систем нелинейных уравнений методом простой итерации

Система нелинейных уравнений с неизвестными обычно имеет вид

где хотя бы одна функция нелинейная.

Для решения такой системы в редких случаях можно применить метод последовательного исключения неизвестных, который приводит решение системы к решению одного нелинейного уравнения с одним неизвестным с последующей подстановкой.

Метод простой итерации применим к системам, которые предварительно приведены к виду

(1.1)

или, в векторной форме,

(1.2)

Пусть — начальное приближение. Последующие приближения в методе простой итерации находятся по формулам

(1.3)

или, в векторной форме,

(1.4)

Если последовательность векторов сходится к вектору , а функции непрерывны, то вектор является решением системы (1.2). Для получения условий сходимости метода итераций введем в -мерном векторном пространстве какую-либо норму (например, кубическую, октаэдрическую или сферическую).

Теорема. Пусть для уравнения (1.2) и начального приближения выполнены условия:

1. 1) для из сферы

(1.5)

вектор-функция удовлетворяет условию

(1.6)

где ;

2)

Тогда уравнение (1.2) в сфере (1.5) имеет единственное решение , к нему сходится последовательность (1.4) и погрешность метода оценивается неравенством

(1.7)

Сходимость метода итераций считается хорошей, если.

Приведем достаточное условие, обеспечивающее выполнение неравенства (1.6) в кубической норме. Сфера (1.5) в кубической норме является -мерным кубом с центром в точке :

(1.8)

Предположим, что в кубе (1.8) функции имеют непрерывные частные производные Неравенство (1.6) будет выполнено, если удовлетворяют в кубе (1.8)[2].

(1.9)

Пример 1.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке с точностью

Решение:

Выделим и в этой системе:

Разделим на 5 и получим:

Запишем заданную систему в следующем виде:

Проверим сходимость итерационного процесса:

;

.

Отсюда

так как

Требование сходимости итерационного процесса выполняется.

В качестве начальных значений выберем . Найдем:

Подставим эти значения и получим:

Далее:

Далее:

Так как , имеем окончательное решение x=0.24, y=0.38.

Пример 2.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке с точностью

Решение:

Выделим и в этой системе:

Разделим на 6 и получим:

Запишем заданную систему в следующем виде:

Проверим сходимость итерационного процесса:

;

.

Отсюда

так как

Требование сходимости итерационного процесса выполняется.

В качестве начальных значений выберем . Найдем:

Далее:

Далее:

Далее:

Так как , имеем окончательное решение x=0.532, y=0.351.

1.2 Алгоритм метода простой итерации при решении систем нелинейных уравнений