14_15_1курс_2сем_21_ВопросыТеория_1часть_02
.pdfВОПРОСЫ к экзамену по математическому анализу
(1 курс, II семестр, 2014-2015 учебный год)
(первая часть – к коллоквиуму)
Дифференцируемые функции
1.Понятие дифференцируемой функции. Производная. Дифференциал. Геометрический смысл, физический смысл.
2.Формулы дифференцирования (производные основных функций,
производная степенной функции y = xα , α – вещественной число)
3.Производная произведения двух функций.
4.Производная частного двух функций).
5.Производная композиции двух функций.
6.Производная обратной функции (производная функции y = arcsin x ).
7.Производная степенно показательной функции y = u(x)v(x) .
8.Производные и дифференциалы высших порядков (формула Лейбница – производные произведения двух функций).
9.Инвариантность формы первого дифференциала.
10.Нарушение инвариантности форма второго дифференциала.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
11.Лемма Ферма (локальный экстремум дифференцируемой функции).
12.Теорема Ролля.
13.Теорема Лагранжа.
14.Теорема Лагранжа (следствие о постоянстве функций).
15.Теорема Лагранжа (следствие о монотонности функций).
16.Теорема Лагранжа (следствие о неравенстве Липшица).
17.Теорема Коши.
Формула Тейлора и ряд Тейлора
18.Формула Тейлора (многочлен Тейлора).
19.Формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа).
20.Формула Тейлора (с остатком в форме Пеано, доказательство с использованием остатка в форме Лагранжа).
21.Формула Тейлора (с остатком в форме Пеано).
22.Формула Тейлора для многочлена pk (x) в произвольной точке x0 .
23.Формула Тейлора для exp(x) в точке x0 = 0 .
24.Формула Тейлора для sin(x) в точке x0 = 0 .
25.Формула Тейлора для cos(x) в точке x0 = 0 .
26.Формула Тейлора для (1 + x)α в точке x0 = 0 , x < 1 (формулировка).
27.Формула Тейлора для ln(1 + x) в точке x0 = 0 , x < 1 (формулировка).
28.Формула Тейлора для exp(− x−2 ) в точке x0 = 0 (формулировка).
29.Формула Тейлора и ряд Тейлора (основные понятия).
30.Ряд Тейлора для exp(x) в точке x0 = 0 , x – любое.
31.Ряд Тейлора для sin(x) в точке x0 = 0 , x – любое.
32.Ряд Тейлора для cos(x) в точке x0 = 0 , x – любое.
33.Ряд Тейлора для (1 + x)α в точке x0 = 0 , x < 1 (формулировка).
34.Ряд Тейлора для ln(1 + x) в точке x0 = 0 , x < 1 (формулировка).
Исследование функций
35. Постоянство функций.
36 Монотонность функций.
37.Экстремумы (необходимый признак).
38.Экстремумы (первый достаточный признак – перемена знака первой производной).
39.Экстремумы (второй достаточный признак – знак второй производной).
40.Экстремумы (общий признак – первая отличная от нуля производная).
41.Выпуклость (график функции и хорда). Свойства выпуклых функций (умножение на константу, сумма).
42.Условия выпуклости на промежутке для дифференцируемой функции (монотонность первой производной).
43.Условия выпуклости на промежутке для дифференцируемой функции (знак второй производной).
44.Выпуклость (график функции и касательная).
45.Выпуклость. Точки перегиба (необходимое условие, достаточное условие).
46.Асимптоты (вертикальные, наклонные, горизонтальные)
47.Общая схема исследования функций и построения графиков.
48.Приближенное решение уравнений (метод хорд или метод пропорциональных частей – описание).
49.Приближенное решение уравнений (метод касательных или метод Ньютона
– описание).